Algunos límites importantes (1ºBach)

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__TOC__ __TOC__
-==Suma de los términos de una progresión geométrica==+(Pág. 64)
-(pág. 60-61)+
-{{p}}+
-{{Teorema+
-|titulo= Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica+
-|enunciado= Sea <math>a_n\;</math> una progresión geométrica de razón <math>r\;</math> y sea <math>S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}</math> la suma de sus n primeros términos+
-::* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> existe y su valor es:+
- +
-<center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}</math></center>+
- +
-::*Si <math>r\ge 1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> es <math>+\infty \;</math> o <math>-\infty</math>:+
- +
-<center><math>S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>+
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-::*Si <math>r\le -1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe.+
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-|demo=+
-* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces+
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-<center><math>lim \ r^n = 0 \;</math>{{b4}}y{{b4}}<math>lim \ a_1 r^n = 0</math>.</center>+
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-(Por ejemplo, si <math>a_1=3</math> y <math>r=0.5</math>, al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.)+
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-y por tanto+
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-<center><math>S_{\infty}=lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math></center>+
- +
-*Si <math>r>1\;</math>, entonces +
- +
-<center><math>lim \ r^n \; = +\infty</math>{{b}} y {{b}}<math>lim \ a_1 r^n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>+
- +
-(Por ejemplo, si <math>a_1=3</math> y <math>r=5</math>, al multiplicar sucesivas veces 3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a <math>+\infty</math>. Mientras que si <math>a_1=-3</math> y <math>r=5</math>, al multiplicar sucesivas veces -3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a <math>-\infty</math>)+
- +
-y por tanto+
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-<center><math>S_{\infty}= lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>+
- +
-*Si <math>r<-1\;</math>, entonces <math>a_1 r^n\;</math> va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión <math>S_n\;</math> también va a oscilar en signo y no tiene límite.+
- +
-*Si <math>r=-1\;</math>, el caso es muy sencillo, porque la progresión quedaría: +
- +
-<center><math>a_1,\ -a_1,\ a_1,\ -a_1,\ \cdots</math></center>+
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-y la sucesión <math>S_n \;</math> sería: +
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-<center><math>a_1,\ 0,\ a_1,\ 0,\ \cdots</math></center>+
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-que oscila y no tiene límite.+
- +
-*Si <math>r=1\;</math>, la progresión quedaría constante: +
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-<center><math>a_1,\ a_1,\ a_1,\ a_1,\ \cdots</math>, .</center>+
- +
-y tendríamos que <math>S_n = a_1 n \;</math>, cuyo límite es: +
- +
-<center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = S_n = lim \ a_1 n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>+
- +
-}}+
- +
==El número ''e''== ==El número ''e''==
{{Tabla75 {{Tabla75
|celda2= |celda2=
-<center>[[Imagen:Eukler1.jpg|thumb|[[Euler|Leonard Euler]]: El número '''e''', base de los [[Logaritmos (1ºBach)|logaritmos]] neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)]]</center>+<center>[[Imagen:Eukler1.jpg|thumb|[[Euler|Leonard Euler]] El número '''e''', base de los [[Logaritmos (1ºBach)|logaritmos]] neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)]]</center>
|celda1= |celda1=
{{Teorema|titulo=''La sucesión del número e'' {{Teorema|titulo=''La sucesión del número e''
|enunciado= |enunciado=
-:El número <math>e\;</math>, se define como el límite de una sucesión:+El número <math>e\;</math>, se define como el límite de una sucesión:
<center><math>lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...</math></center> <center><math>lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...</math></center>
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}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Video_enlace+{{Teorema|titulo=''Otra sucesión del número e''
-|titulo1=Un número llamado e+
-|duracion=13'+
-|url1=http://www.rtve.es/alacarta/videos/mas-por-menos/aventura-del-saber-serie-mas-menos-numero-llamado/1296636/+
-|titulo2=Acceso por red TIC+
-|url2=http://c0/helvia/aula/archivos/repositorio//0/90/html/index.htm+
-|titulo3=acceso por maralboran.org+
-|url3=http://maralboran.org/web_ma/videos/elnumeroe/elnumeroe.htm+
-|sinopsis=Hay números que nos sorprenden por su tendencia a aparecer en las situaciones más inesperadas. ¿ Qué pueden tener en común los cables del tendido eléctrico, las cuentas bancarias, el desarrollo de una colonia de bacterias, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, las encuestas de población, la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado 100 veces...? Aparentemente nada. Sin embargo en todas estas situaciones interviene un extraño número comprendido entre 2 y 3, que tiene infinitas cifras decimales y un origen un tanto exótico. Al igual que el más famoso número pi, los matemáticos le conocen mediante una letra. Es un número llamado e.+
-}}+
-}}+
- +
-==El número áureo, <math>\phi \;</math>==+
-{{Tabla75|celda2=+
-[[Imagen:fibonacci.jpg|thumb|[[Fibonacci|Leonardo de Pisa (Fibonacci)]]]]+
-|celda1=+
-{{Teorema|titulo=''La sucesión de Fibonacci y el número áureo''+
|enunciado= |enunciado=
-Si a partir de la '''sucesión de [[Fibonacci]]'''+Dada la sucesión:
-<center><math>F_n\;</math> = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,</center>+<center><math>a_n=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+...+\cfrac{1}{n!}</math></center>
- +
-construimos, por recurrencia, la sucesión +
- +
-<center><math>b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}</math></center>+
se cumple que: se cumple que:
-<center><math>lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618...</math> ('''número áureo''')</center>+<center><math>lim \, a_n= e \;</math></center>
|demo= |demo=
-'''Comprobación:'''+Demostraremos sólo que esta sucesión tiene límite. Demostrar que el límite es el número <math>e \;</math> excede el nivel del curso.
-Si en la sucesión de Fibonacci+
-<center><math>1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots</math></center>+Para la demostración usaremos el teorema dice que "Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente".
-dividimos cada término entre el anterior, tenemos:+En este caso, nuetra sucesión es monotona creciente y acotada superiormente. Veámoslo:
-<center><math>\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots</math></center> +* Es creciente:
 +:Si, puesto que cada término se obtiene sumando al anterior un número positivo:
-que expresada con decimales nos da:+<center><math>a_{n+1}=a_n+\cfrac{1}{(n+1)!}</math></center>
-<center><math>1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi</math></center> +* Está acotada superiormente por 3:
----------------+
-'''Demostración:'''+
-Por construcción de la sucesión de Fibonacci:+:En efecto, como
-<center><math>F_{n+1}=F_n + F_{n-1} \;</math></center>+<center><math>\cfrac{1}{3!}<\cfrac{1}{4}, \ \cfrac{1}{4!}<\cfrac{1}{8}, \ \cfrac{1}{5!}<\cfrac{1}{16}, ...</math></center>
-Dividiendo ambos miembros por <math>F_n \;</math>:+:tenemos que
-<center><math>\frac {F_{n+1}}{F_n}=1 + \frac {F_{n-1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{\cfrac {F_n}{F_{n-1}}} </math></center>+<center><math>a_n < 1 + 1 + \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{4} + \cfrac{1}{8} + \cfrac{1}{16}+ ...=1+ \left( \cfrac{1}{1-\frac{1}{2}} \right)=1+2=3</math></center>
- +
-Tomando límites en ambos miembros:+
- +
-<center><math>lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}} </math></center>+
- +
-Llamando <math>L = lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n}=lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}} </math>, tenemos:+
- +
-<center><math>L = 1 + \frac {1}{L} \longrightarrow L^2-L-1=0 </math></center>+
- +
-ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es:+
- +
-<center><math>L = \frac {1+\sqrt{5}}{2} = \phi </math></center>+
- +
-con lo que queda demostrado.+
 +:donde hemos hecho uso de la fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón 1/2.
}} }}
}} }}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_clasematicas
 +|titulo1=Límites del número e
 +|duracion=34´22"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=TKkSMKfUBA0&index=8&list=PLZNmE9BEzVIkITepuGQcKXJ-FuD5p7cP5
 +|sinopsis=Tutorial en el que se explica y trabajan los límites que generan al número e. Mediante una primera explicación algo teórica y muchos ejemplos, se da a conocer este tipo de límites y los pasos a seguir para su cálculo, evitando la indeterminación de 1 elevado a infinito
 +}}
 +{{Videotutoriales|titulo=El número e|enunciado=
 +{{Video: Que es el numero e}}
 +{{Video: Un numero llamado e}}
 +}}
 +(Pág. 65)
 +
 +==El número áureo, <math>\phi \;</math>==
 +{{La sucesión de Fibonacci y el número áureo}}
 +{{p}}
{{Video_enlace {{Video_enlace
|titulo1=La divina proporción: el número phi |titulo1=La divina proporción: el número phi
Línea 178: Línea 100:
{{p}} {{p}}
-==Ejercicios==+==Suma de los términos de una progresión geométrica==
 +{{p}}
 +{{Teorema
 +|titulo= Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica
 +|enunciado=Sea <math>a_n\;</math> una progresión geométrica de razón <math>r\;</math> y sea <math>S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}</math> la suma de sus n primeros términos
 +:* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> existe y su valor es:
 + 
 +<center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}</math></center>
 + 
 +:*Si <math>r\ge 1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> es <math>+\infty \;</math> o <math>-\infty</math>:
 + 
 +<center><math>S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>
 + 
 +:*Si <math>r\le -1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe.
 + 
 + 
 +|demo=
 +* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces
 + 
 +<center><math>lim \ r^n = 0 \;</math>{{b4}}y{{b4}}<math>lim \ a_1 r^n = 0</math>.</center>
 + 
 +(Por ejemplo, si <math>a_1=3</math> y <math>r=0.5</math>, al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.)
 + 
 +y por tanto
 + 
 +<center><math>S_{\infty}=lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math></center>
 + 
 +*Si <math>r>1\;</math>, entonces
 + 
 +<center><math>lim \ r^n \; = +\infty</math>{{b}} y {{b}}<math>lim \ a_1 r^n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>
 + 
 +(Por ejemplo, si <math>a_1=3</math> y <math>r=5</math>, al multiplicar sucesivas veces 3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a <math>+\infty</math>. Mientras que si <math>a_1=-3</math> y <math>r=5</math>, al multiplicar sucesivas veces -3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a <math>-\infty</math>)
 + 
 +y por tanto
 + 
 +<center><math>S_{\infty}= lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>
 + 
 +*Si <math>r<-1\;</math>, entonces <math>a_1 r^n\;</math> va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión <math>S_n\;</math> también va a oscilar en signo y no tiene límite.
 + 
 +*Si <math>r=-1\;</math>, el caso es muy sencillo, porque la progresión quedaría:
 + 
 +<center><math>a_1,\ -a_1,\ a_1,\ -a_1,\ \cdots</math></center>
 + 
 +y la sucesión <math>S_n \;</math> sería:
 + 
 +<center><math>a_1,\ 0,\ a_1,\ 0,\ \cdots</math></center>
 + 
 +que oscila y no tiene límite.
 + 
 +*Si <math>r=1\;</math>, la progresión quedaría constante:
 + 
 +<center><math>a_1,\ a_1,\ a_1,\ a_1,\ \cdots</math>, .</center>
 + 
 +y tendríamos que <math>S_n = n \cdot a_1 \;</math>, cuyo límite es:
 + 
 +<center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = S_n = lim \ n \cdot a_1 = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>
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 +==Actividades==
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{{wolfram {{wolfram
|titulo=Actividad: ''Algunos límites importantes'' |titulo=Actividad: ''Algunos límites importantes''
Línea 185: Línea 168:
|enunciado= |enunciado=
-:'''1.''' Dada la sucesión de Fibonacci <math>F_n \;</math>+'''1.''' Dada la sucesión de Fibonacci <math>F_n \;</math>
-::a) Calcula sus 10 primeros términos.+ 
-::b) Calcula los 10 primeros términos de <math>\frac{F_{n+1}}{F_{n}}</math>.+:a) Calcula sus 10 primeros términos.
-::c) Calcula <math>lim \ \frac{F_{n+1}}{F_{n}}</math>+ 
 +:b) Calcula los 10 primeros términos de <math>\frac{F_{n+1}}{F_{n}}</math>.
 + 
 +:c) Calcula <math>lim \ \frac{F_{n+1}}{F_{n}}</math>
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-:'''2.''' Dada la sucesión <math>\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n</math>+'''2.''' Dada la sucesión <math>\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n</math>
-::a) Calcula sus 10 primeros términos.+ 
-::b) Calcula <math>lim \ \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n</math>+:a) Calcula sus 10 primeros términos.
 + 
 +:b) Calcula <math>lim \ \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n</math>
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 +'''3.''' Calcula <math>lim \ \left ( 1 - \frac{1}{n} \right )^n</math>
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Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
-:1.+1.
-::a) {{consulta|texto=Table[Fibonacci[n],{n,1,10}]}}+:a) {{consulta|texto=Table[Fibonacci[n],{n,1,10}]}}
-::b) {{consulta|texto=Table[Fibonacci[n+1]/Fibonacci[n],{n,1.,10.}]}}+:b) {{consulta|texto=Table[Fibonacci[n+1]/Fibonacci[n],{n,1.,10.}]}}
-::c) {{consulta|texto= limit Fibonacci[n+1]/Fibonacci[n] as n->+oo}}+:c) {{consulta|texto= limit Fibonacci[n+1]/Fibonacci[n] as n->+oo}}
-:2.+2.
-::a) {{consulta|texto=Table[(1+1/n)^n,{n,1.,10.}]}}+:a) {{consulta|texto=Table[(1+1/n)^n,{n,1.,10.}]}}
-::b) {{consulta|texto= limit (1+1/n)^n as n->+oo}}+:b) {{consulta|texto= limit (1+1/n)^n as n->+oo}}
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- 
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 +{{p}}
 +==Ejercicios propuestos==
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 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Algunos límites importantes''
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 +(Pág. 65)
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 +{{p}}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]

(Pág. 64)

[editar]

El número e

ejercicio

La sucesión del número e

El número e\;, se define como el límite de una sucesión:

lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...

ejercicio

Otra sucesión del número e

Dada la sucesión:

a_n=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+...+\cfrac{1}{n!}

se cumple que:

lim \, a_n= e \;
Leonard Euler El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)
Aumentar
Leonard Euler El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)

(Pág. 65)

[editar]

El número áureo, \phi \;

ejercicio

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Si a partir de la sucesión de Fibonacci

F_n\; = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,

construimos, por recurrencia, la sucesión

b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}

Entonces, esta sucesión tiende al número áureo:

lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi


[editar]

Suma de los términos de una progresión geométrica

ejercicio

Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica

Sea a_n\; una progresión geométrica de razón r\; y sea S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1} la suma de sus n primeros términos

  • Si 0<\; \mid r \mid \; <1, entonces el límite de S_n\; existe y su valor es:
S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}
  • Si r\ge 1\;, entonces el límite de S_n\; es +\infty \; o -\infty:
S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}
  • Si r\le -1\;, entonces el límite de S_n\; no existe.

[editar]

Actividades

[editar]

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Algunos límites importantes

(Pág. 65)

2, 3

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