Logaritmos (1ºBach)
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- | ==Logaritmos== | + | __TOC__ |
- | {{Caja_Amarilla|texto=Dado un número real <math>a>0 \quad (a \ne 1)</math>, se define el '''logaritmo en base a''' de un número real <math>P\;</math>, y se designa <math>log_a \ P</math>, al exponente <math>x\;</math> al que hay que elevar la base <math>a\;</math> para obtener <math>P\;</math>, es decir: | + | |
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- | {{Caja|contenido=<math>log_a \ P=x \iff a^x=P</math>}} | + | |
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- | Por consiguiente, podemos ver al logaritmo como la operación inversa de la potenciación. | + | |
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- | |enunciado= Calcula los siguientes logaritmos: <math>log_2 \ 16,\ log_{10} \ 1000,\ log_2 \ \cfrac{1}{8}, \ log_{10} \ 0.01</math> | + | |
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- | *<math>log_2 \ 16=4</math> porque <math>2^4=16\;</math> | + | |
- | *<math>log_{10} \ 1000=3</math> porque <math>10^3=1000\;</math> | + | |
- | *<math>log_2 \ \cfrac{1}{8}=-3</math> porque <math>2^{-3}=\cfrac{1}{8}\;</math> | + | |
- | *<math>log_2 \ 0.01=log_2 \ 10^{-2}=-2</math> porque <math>10^{-2}=0.01\;</math> | + | |
- | }} | + | |
- | ==Propiedades de los logaritmos== | + | (pág. 37) |
- | {{Caja_Amarilla|texto= | + | |
- | Propiedades consecuencia directa de la definición de logaritmo: | + | |
- | :'''1: Logaritmo de la base:''' | + | {{Logaritmos (1ºBach)}} |
- | ::a) <math>log_a \ a=1</math> | + | |
- | ::b) <math>log_a \ a^n=n</math> | + | |
- | :'''2: Logaritmo de 1:''' | + | |
- | :: <math>log_a \ 1=0</math> | + | |
- | :'''3: Logaritmo de números negativos o nulos:''' | + | |
- | :: Si <math>P \le 0</math>, entonces <math>log_a \ P</math> no existe. | + | |
- | <br> | + | |
- | Otras propiedades: | + | |
- | + | ||
- | :'''4: Igualdad y orden:''' | + | |
- | ::a) <math>P \ne Q \Rightarrow log_a \ P \ne log_a \ Q</math> | + | |
- | ::b) <math>P < Q \Rightarrow log_a \ P < log_a \ Q, \quad \forall a>1</math> | + | |
- | :'''5: Logaritmo de un producto:''' | + | |
- | :: <math>log_a \ (P \cdot Q)=log_a \ P + log_a \ Q</math> | + | |
- | :'''6: Logaritmo de un cociente:''' | + | |
- | :: <math>log_a \ \cfrac{P}{Q}=log_a \ P - log_a \ Q</math> | + | |
- | :'''7: Logaritmo de una potencia:''' | + | |
- | :: <math>log_a \ P^n=n \cdot log_a \ P</math> | + | |
- | :'''8: Logaritmo de una raíz:''' | + | |
- | :: <math>log_a \ \sqrt[n]{P}=\cfrac{1}{n} \cdot log_a \ P</math> | + | |
- | :'''9: Cambio de base:''' | + | |
- | :: <math>log_a \ P=\cfrac{log_b \ P}{log_b \ a}</math> | + | |
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- | ==Logaritmos decimales== | + | ===Ejercicios propuestos=== |
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- | Los '''logaritmos decimales''' son aquellos de '''base 10'''. En vez de representarlos por <math>log_{10}\;</math>, los representaremos, simplemente, por <math>log\;</math>. Esto es: | + | |titulo=Ejercicios propuestos: ''Logaritmos'' |
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- | |enunciado=Calcula <math>log_2 \ 15</math> usando la calculadora. | + | |
- | |sol=Como la calculadora científica no tiene logaritmos en base 2, mediante la fórmula del cambio de base haremos un cambio de base 2 a base 10: | + | |
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- | <center><math>log_2 \ 15=\cfrac{log \ 2}{log \ 15}=</math></center> | + | |
- | + | ||
- | ya que <math>log \ 2</math> y <math>log \ 15</math> se pueden obtener directamente con la calculadora. | + | |
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- | ==Logaritmos neperianos== | + | |
- | [[Imagen:John_Napier.jpg|thumb|John Napier (Neper)]] | + | |
- | {{Caja_Amarilla|texto= | + | |
- | Los '''logaritmos neperianos''' son aquellos de '''base e''' ([[número e]]: 2.71828...). En vez de representarlos por <math>log_{e}\;</math>, los representaremos, simplemente, por <math>ln\;</math>. Esto es: | + | |
- | <center><math>log_{e} \ P=ln \ P</math></center> | + | |
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- | Deben su nombre a [[Neper]], matemático escocés que los inventó en 1614. | + | |
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- | ====Calculadora==== | ||
- | {{Calculadora | ||
- | |titulo=Calculadora: ''Logaritmo neperiano'' | ||
- | |cuerpo=Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla [[Imagen:logn.jpg|35px|Logaritmo neperiano]]. | ||
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- | <math>\ln \ 50</math> | ||
- | |procedimiento= | ||
- | [[Imagen:logn.jpg|35px|Logaritmo neperioano]] <math>50\;\!</math> [[Imagen:igual.jpg|35px|Obtener resultado]] | ||
- | |solucion= | ||
- | <math>3.912023005\;\!</math> | ||
}} | }} | ||
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] |
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Tabla de contenidos[esconder] |
(pág. 37)
Introducción
La siguiente lista de reproducción condensa todo lo tratado en este tema:
Logaritmos
Sea . Se define el logaritmo en base a de un número real
, y se designa por
, al exponente
al que hay que elevar la base
para obtener
, es decir:

Por consiguiente, podemos ver al logaritmo como la operación inversa de la potenciación.
Ejercicios resueltos: Logaritmos
Hallar los siguientes logaritmos reconociendo la potencia correspondiente:
Propiedades de los logaritmos
Propiedades de los logaritmos:
1: Igualdad y orden:
- a)
o equivalentemente,
- b)
- c)
2: Logaritmo de la base:
- a)
- b)
- c)
3: Logaritmo de números negativos o nulos:
- Si
, entonces
no existe.
4: Logaritmo de un producto:
5: Logaritmo de un cociente:
6: Logaritmo de una potencia:
7: Logaritmo de una raíz:
8: Cambio de base:
Logaritmos decimales
Los logaritmos decimales son aquellos de base 10. En vez de representarlos por , los representaremos, simplemente, por
. Esto es:

Calculadora
Calculadora: Logaritmo decimal |
Antes de la existencia de las calculadoras, los logaritmos decimales se obtenían a partir de las llamadas tablas logarítmicas.
Haciendo uso de la propiedad del cambio de base, vista en un apartado anterior, podemos calcular logaritmos en cualquier base utilizando logaritmos decimales. He aquí un ejemplo:
Logaritmos neperianos
[editar] Calculadora
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Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos
Averiguar la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica:
Ejercicios
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Logaritmos |