Logaritmos (1ºBach)

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-==Logaritmos==+__TOC__
-{{Caja_Amarilla|texto=Dado un número real <math>a>0 \quad (a \ne 1)</math>, se define el '''logaritmo en base a''' de un número real <math>P\;</math>, y se designa <math>log_a \ P</math>, al exponente <math>x\;</math> al que hay que elevar la base <math>a\;</math> para obtener <math>P\;</math>, es decir:+
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-Por consiguiente, podemos ver al logaritmo como la operación inversa de la potenciación.+
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-==Propiedades de los logaritmos==+(pág. 37)
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-:'''3: Logaritmo de números negativos o nulos:'''+
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-:'''4: Igualdad y orden:'''+
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-:'''6: Logaritmo de un cociente:'''+
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-:'''7: Logaritmo de una potencia:'''+
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-:'''8: Logaritmo de una raíz:'''+
-:: <math>log_a \ \sqrt[n]{P}=\cfrac{1}{n} \cdot log_a \ P</math>+
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-Antes de la existencia de las calculadoras, los logaritmos decimales se obtenían a partir de las llamadas '''tablas logarítmicas'''.+
-Haciendo uso de la propiedad del cambio de base, vista en un apartado anterior, podemos calcular logaritmos en cualquier base utilizando logaritmos decimales. He aquí un ejemplo:+[[Imagen:red_star.png|12px]] 1a,b,c,h,i; 3a,c; 4a; 5
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-|enunciado=Calcula <math>log_2 \ 15</math> usando la calculadora.+
-|sol=Como la calculadora científica no tiene logaritmos en base 2, mediante la fórmula del cambio de base haremos un cambio de base 2 a base 10:+
- +
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- +
-ya que <math>log \ 2</math> y <math>log \ 15</math> se pueden obtener directamente con la calculadora.+
-}}+
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- +
-==Logaritmos neperianos==+
-[[Imagen:John_Napier.jpg|thumb|John Napier (Neper)]]+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-Los '''logaritmos neperianos''' son aquellos de '''base e''' ([[número e]]: 2.71828...). En vez de representarlos por <math>log_{e}\;</math>, los representaremos, simplemente, por <math>ln\;</math>. Esto es:+
-<center><math>log_{e} \ P=ln \ P</math></center>+
- +
-Deben su nombre a [[Neper]], matemático escocés que los inventó en 1614.+
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-====Calculadora==== 
-{{Calculadora 
-|titulo=Calculadora: ''Logaritmo neperiano'' 
-|cuerpo=Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla [[Imagen:logn.jpg|35px|Logaritmo neperiano]]. 
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-[[Imagen:logn.jpg|35px|Logaritmo neperioano]] <math>50\;\!</math> [[Imagen:igual.jpg|35px|Obtener resultado]] 
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-<math>3.912023005\;\!</math> 
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[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]

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Tabla de contenidos

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(pág. 37)

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Introducción

La siguiente lista de reproducción condensa todo lo tratado en este tema:

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Logaritmos

Sea a \in \mathbb{R}^+~,~(a \ne 1). Se define el logaritmo en base a de un número real P\;, y se designa por log_a \ P, al exponente x\; al que hay que elevar la base a\; para obtener P\;, es decir:

log_a \ P=x \iff a^x=P

Por consiguiente, podemos ver al logaritmo como la operación inversa de la potenciación.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Logaritmos

Hallar los siguientes logaritmos reconociendo la potencia correspondiente:

log_3 \ 81,\ log_{10} \ 0.01,\ log_5 \ 0.2, \ log_2 \ 0.125

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Propiedades de los logaritmos

ejercicio

Propiedades de los logaritmos:

1: Igualdad y orden:

a) P \ne Q \Rightarrow log_a \ P \ne log_a \ Q o equivalentemente,

           log_a \ P = log_a \ Q \Rightarrow P=Q

b) P < Q \Rightarrow log_a \ P < log_a \ Q, \quad si~ a>1
c) P < Q \Rightarrow log_a \ P > log_a \ Q, \quad si~ 0<a<1

2: Logaritmo de la base:

a) log_a \ a=1
b) log_a \ a^n=n
c) log_a \ 1=0

3: Logaritmo de números negativos o nulos:

Si P \le 0, entonces log_a \ P no existe.

4: Logaritmo de un producto:

log_a \ (P \cdot Q)=log_a \ P + log_a \ Q

5: Logaritmo de un cociente:

log_a \ \cfrac{P}{Q}=log_a \ P - log_a \ Q

6: Logaritmo de una potencia:

log_a \ P^n=n \cdot log_a \ P

7: Logaritmo de una raíz:

log_a \ \sqrt[n]{P}=\cfrac{1}{n} \cdot log_a \ P

8: Cambio de base:

log_a \ P=\cfrac{log_b \ P}{log_b \ a}

ejercicio

Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos

Sabiendo que log_2 \ A=3.5 \ y \ log_2 \ B=-1.4, calcula:

a) log_2 \ \cfrac{A \cdot B}{4}
b) log_2 \ \cfrac{2 \sqrt{A}} {B^3}

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Logaritmos decimales

Los logaritmos decimales son aquellos de base 10. En vez de representarlos por log_{10}\;, los representaremos, simplemente, por log\;. Esto es:

log_{10} \ P=log \ P

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Calculadora

Calculadora

Calculadora: Logaritmo decimal

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla Logaritmo decimal.

Antes de la existencia de las calculadoras, los logaritmos decimales se obtenían a partir de las llamadas tablas logarítmicas.

Haciendo uso de la propiedad del cambio de base, vista en un apartado anterior, podemos calcular logaritmos en cualquier base utilizando logaritmos decimales. He aquí un ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Cambio de base

Usa la calculadora para hallar log_2 \ 11.

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Logaritmos neperianos

Los logaritmos neperianos o logaritmos naturales son aquellos cuya base es el número e (2.71828...). En vez de representarlos por log_{e}\;, los representaremos, simplemente, por ln\;. Esto es:

log_{e} \ P=ln \ P

Deben su nombre a Neper, matemático escocés, que los inventó en 1614.

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Calculadora

Calculadora

Calculadora: Logaritmo neperiano

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla Logaritmo neperiano.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos

Averiguar la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: ln \ y=x+ ln \ 7

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Ejercicios

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Logaritmos

(Pág. 39)

1a,b,c,h,i; 3a,c; 4a; 5

1d,e,f,g,j; 3b,d; 4b

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