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| | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] | | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] |
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(pág. 37)
Introducción
La siguiente lista de reproducción condensa todo lo tratado en este tema:
Lista de reproducción que consta de 8 videos sobre logaritmos:
- Definición de logaritmo
- Logaritmo decimal y neperiano
- Propiedades de los logaritmos
- Cambio de base
- Ejercicios I
- Ejercicios 2
- Problemas
- Ecuaciones logarítmicas
Logaritmos
Por consiguiente, podemos ver al logaritmo como la operación inversa de la potenciación.
Relación entre logaritmo y exponencial [Mostrar]
Logaritmos en su forma exponencial:
Expresa en su forma exponencial equivalente la siguiente expresión logarítmica: 
Expresa en su forma exponencial equivalente la siguiente expresión logarítmica: 
Expresa en su forma exponencial equivalente la siguiente expresión logarítmica: 
Expresa en su forma exponencial equivalente la siguiente expresión logarítmica: 
Exponenciales en forma logarítmica:
Expresa en su forma logarítmica equivalente la siguiente expresión exponencial: 
Expresa en su forma logarítmica equivalente la siguiente expresión exponencial: 
Expresa en su forma logarítmica equivalente la siguiente expresión exponencial: 
Expresa en su forma logarítmica equivalente la siguiente expresión exponencial: 
Expresa en su forma logarítmica equivalente la siguiente expresión exponencial: 
Ejercicios resueltos: Logaritmos
Hallar los siguientes logaritmos reconociendo la potencia correspondiente:
Tutorial que explica la definición de logaritmo y realiza el cálculo de algunos logaritmos exactos (resultado racional) para comprender el significado de esta operación matemática.
- 00:00 a 06:40: Introducción a logaritmo.
- 06:40 a 09:18: Definición de Logaritmo. Explicación.
- 09:18 a 15:52: Ejercicios con Logaritmos (I).
- 14:40 : Logaritmo no exacto.
- 15:52 a 21:03: Ejercicios de Logaritmos (II).
Concepto de logaritmo de un número.
Definición del logaritmo de un número. Ejemplos
Calcula: 
Calcula: 
Calcula: 
Calcula: 
Calcula: 
Propiedades de los logaritmos
Propiedades de los logaritmos:
Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos
Sabiendo que 
, calcula:
- a)
- b)
Tutorial que explica la definición de logaritmo y realiza el cálculo de algunos logaritmos exactos (resultado racional) para comprender el significado de esta operación matemática.
- 00:00 a 03:10: Introducción a logaritmo. Ejercicios de repaso.
- 03:10 a 06:25: Propiedades Básicas.
- 06:25 a 08:30: Propiedad: Logaritmo de un Producto. Demostración.
- 08:30 a 09:20: Propiedad: Logaritmo de una Potencia. Demostración.
- 09:20 a 10:30: Propiedad: Logaritmo de un Cociente. Demostración.
- 10:30 a 13:45: Propiedad: Cambio de Base. Demostración.
- 13:45 a 25:59: Ejercicios de Logaritmos.
Demostración de las propiedades de los logaritmos.
Definición del logaritmo de un número. Propiedades. Ejemplos
Identidad fundamental del logaritmo. Ejemplos de aplicación.
Demostración de la propiedad del logaritmo de un producto. Ejemplos de aplicación.
Demostración de la propiedad del logaritmo de un cociente. Ejemplos de aplicación.
Demostración de la propiedad del logaritmo de una potencia. Ejemplos de aplicación.
Demostración de la propiedad del logaritmo de una raíz. Ejemplos de aplicación.
Desarrollo de logaritmos usando las propiedades:
Desarrolla: 
Desarrolla: 
Desarrolla: 
Desarrolla: ![log_e \, \sqrt[4]{e^3x^5} \;](/wikipedia/images/math/9/7/9/979eadabfb3b278c6e762d27ef7878e4.png)
Desarrolla: ![log_3 \, \cfrac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[3]{y}} \;](/wikipedia/images/math/1/6/1/16143fc979664aee83fe3ce7d48fd920.png)
Desarrolla: 
Expresar como un solo logaritmo:
Expresar como un solo logaritmo: 
Expresar como un solo logaritmo: 
Expresar como un solo logaritmo: 
Expresar como un solo logaritmo: 
Expresar como un solo logaritmo: 
Varios:
Escribe como un solo logaritmo: 
.
a) Reduce: 
.
b) Hallar "x" si 
.
Ejercicios:
- Expresa
en función de log 2.
- Expresa
![log \, \cfrac{12 \sqrt[3]{36}}{\sqrt{0.09^3 \cdot 160}}](/wikipedia/images/math/a/0/3/a03392a26b8add15e65806e0e4e45f6c.png)
en función de log 2 y log 3.
Definición del antilogaritmo de un número. Ejemplos.
Nota: El antilogaritmo es como la inversa del logaritmo, es decir, la exponencial.
Definición de cologaritmo de un número. Ejemplos.
Nota: El cologaritmo es igual al opuesto del logaritmo.
Demostración de la regla de la cadena, una generalización de la fórmula del cambio de base:
Demostración de la regla del intercambio:
a) Calcula: 
.
b) Halla "x": 
.
c) Halla "x": 
.
Logaritmos decimales
Los logaritmos decimales son aquellos de base 10. En vez de representarlos por 
, los representaremos, simplemente, por 
. Esto es:
Calculadora
|
Calculadora: Logaritmo decimal
Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla  .
- Operación:
- Solución:
|
Antes de la existencia de las calculadoras, los logaritmos decimales se obtenían a partir de las llamadas tablas logarítmicas.
Haciendo uso de la propiedad del cambio de base, vista en un apartado anterior, podemos calcular logaritmos en cualquier base utilizando logaritmos decimales. He aquí un ejemplo:
|
Actividad: Logaritmos
a) Calcula:  .
b) Averigua la relación entre x e y sabiendo que  .
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) log_10 0.1 log_2 16 log e^2
b) log y = x + log 7
|
Ejemplo: Cambio de base
Usa la calculadora para hallar 
.
Como la calculadora científica no tiene logaritmos en base 2, mediante la fórmula del cambio de base haremos un cambio de base 2 a base 10:
ya que
y
se pueden obtener directamente con la calculadora.
Demostración de la fórmula del cambio de base y ejemplos usando la calculadora.
Sin usar la calculadora:
Sin usar la calculadora, calcula: 
Sin usar la calculadora, calcula: 
Sin usar la calculadora, calcula: 
Sin usar la calculadora y teniendo en cuenta que 
,
calcula: 
Usando la calculadora:
Calcula: 
Calcula: 
Calcula: 
Calcula: 
Logaritmos neperianos
Los logaritmos neperianos o logaritmos naturales son aquellos cuya base es el número e (2.71828...). En vez de representarlos por  , los representaremos, simplemente, por  . Esto es:
Deben su nombre a Neper, matemático escocés, que los inventó en 1614.
Calculadora
|
Calculadora: Logaritmo neperiano
Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla  .
- Operación:
- Solución:
|
|
|
Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos
Averiguar la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: 
Partiendo de la relación dada:
Como por la definición de logaritmo, 
, entonces:
Por la propiedad 4 de los logaritmos:
Por la propiedad 1a de los logaritmos:
Por tanto, la relación pedida es:
Ejercicios
Ejercicios resueltos sobre logaritmos.
Ejercicios propuestos
|
Ejercicios propuestos: Logaritmos
(Pág. 39)
 1a,b,c,h,i; 3a,c; 4a; 5
 1d,e,f,g,j; 3b,d; 4b
|
. Se define el logaritmo en base a de un número real 
, y se designa por 
, al exponente 
al que hay que elevar la base 
para obtener 
b) 
c) 
d) 
b) ![log_9 \, \sqrt[3]{81}](/wikipedia/images/math/e/3/b/e3bf817a80c0d78b655afb1a5e6e46dd.png)
c) 
d) 
e) 
, b) 
, c) 
, d) 
, f) 
, g) 
, h) 
, j)
, k) 
, l) 
o equivalentemente,
, entonces 
![log_a \ \sqrt[n]{P}=\cfrac{1}{n} \cdot log_a \ P](/wikipedia/images/math/6/c/9/6c919bb3863e8ae2142390b915b8c519.png)
![log_2 \ \cfrac{A \cdot B}{4} \begin{matrix}~_{[5]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} log_2 \ (A \cdot B) - log_2 \ 4=](/wikipedia/images/math/2/6/d/26d0034bc52ab7b3a2b2d941c430aca1.png)
![\begin{matrix}~_{[4]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} log_2 \ A + log_2 \ B - log_2 \ 4=3.5-1.4-2=0.1](/wikipedia/images/math/9/7/0/970be2109f6e4e59d97c656098cb0849.png)
![log_2 \ \cfrac{2 \sqrt{A}} {B^3} \begin{matrix}~_{[5]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} log_2 \ 2 \sqrt{A} - log_2 \ B^3 =](/wikipedia/images/math/0/6/d/06da2c510b8a5216f092a5e9fc5c8b52.png)
![\begin{matrix}~_{[4]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} log_2 \ 2+ log_2 \sqrt{A} - log_2 \ B^3=1+ log_2 \ A^{\frac{1}{2}} - log_2 B^3=](/wikipedia/images/math/0/f/9/0f9259f963826fa4b14149c91a6d5f6b.png)
![\begin{matrix}~_{[6]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} 1+ \cfrac{1}{2} ~log_2 \ A - 3 \, log_2 \ B=1+ \cfrac{1}{2} \cdot 3.5 - 3 \cdot (-1.4) = 6.95](/wikipedia/images/math/a/8/4/a84d83f66b2b9058af143a2ae4231ef0.png)
y 
, expresa 
en términos de a y b.
, 
y 
, encuentra el valor numérico de la expresión 
.
.
.
y que 
, calcula 
.
.
y que 
, halla 
.
![ln \, \sqrt[3]{\cfrac{x}{z^2u^7}}](/wikipedia/images/math/c/8/5/c851424eddb3c75b5feb58d378224ae7.png)
