Concepto de sucesión (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Sucesión de números reales
2 Término general de una sucesión
3 Tipos de sucesiones
4 Ejercicios propuestos

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Sucesión de números reales

(pág. 56)

Una sucesión de números reales es una función, $f \;$ , que a cada número natural, $n \;$ , le asocia un único número real, $a_n \;$

$\begin{matrix}f: & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ \ & n & \longrightarrow & a_n \end{matrix}$

Esto genera el conjunto ordenado

$\{ a_n \} = \{ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots \ \}$

de los términos de la sucesión.

Observación:

Se suele identificar a la sucesión con sus términos. Normalmente hablaremos de la sucesión de términos $\{ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots \ \}$ en lugar de la sucesión $f \;$ .

Ejemplos:

Los términos de una sucesión pueden seguir un cierto criterio:

$\{ 1, \, 3, \, 5, \, 7, \, 9, \, 11, \cdots \}$ . Sus términos son los números impares.

$\{ 2, \, 5, \, 8, \, 11, \, 14, \, 17, \cdots \}$ . Sus términos se obtienen sumando 3 al anterior.

$\{ 1, \, 2, \, 4, \, 8, \, 16, \, 32, \cdots \}$ . Sus términos son las potencias de 2.

$\{ 1, \, -1, \, 2, \, -2, \, 3, \, -3, \cdots \}$ . Sus términos van ascendiendo y alternando el signo.

$\{ 2, \, 3, \, 5, \, 8, \, 13, \, 21, \cdots \}$ . Sus términos, a partir del tercero, se obtienen sumando los dos anteriores.

o no seguir ninguno:

$\{ 3, \, 3, \, 4, \, 6, \, 5, \, 4, \cdots \}$

Las sucesiones numéricas (21´07") Sinopsis:

Tutorial en el que se introducen los conceptos básicos de las sucesiones numéricas.
(05:20): Definiciones básicas (sucesión, términos e índices) y ejemplo inicial.

Sucesión de números reales Descripción:

Actividades en las que aprenderás a obtener los términos de una sucesión a partir de una regla de formación dada.

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Término general de una sucesión

Se llama término general de una sucesión, y se simboliza por $a_n\;$ , a la expresión que representa a uno cualquiera de sus términos. La sucesión correspondiente se representa de forma abreviada por $\{ a_n\} \;$

Hay veces que el término general se puede expresar mediante una fórmula: $a_n=f(n)\;$ . Dándole a $n\;$ un valor, se obtiene el término correspondiente.

Otras veces, cada término de la sucesión se obtiene a partir de operaciones con otros términos anteriores. A estas sucesiones se les llama recurrentes. En ellas, para hallar un término, tenemos que hallar todos los anteriores. En estos casos se suele dar una ley de recurrencia, una regla que relaciona cada término con sus anteriores.

Ejemplo:

La sucesión, $\left \{ 1, \, 3, \, 5, \, 7, \cdots \right \}$ , de los números impares, tiene como término general:

$a_n=2n-1\;$

En efecto, dándole valores a n, se obtienen sus términos:

$n=1 \ \rightarrow \ a_1=2 \cdot 1 - 1= 1$

$n=2 \ \rightarrow \ a_2=2 \cdot 2 - 1= 3$

$n=3 \ \rightarrow \ a_3=2 \cdot 3 - 1= 5$

$n=4 \ \rightarrow \ a_4=2 \cdot 4 - 1= 7$

etc.

Esta misma sucesión también se podría definir mediante la siguiente ley de recurrencia:

$a_1=1; \ a_n=a_{n-1} + 2, \ \forall n \ge 2$

En efecto, dándole valores a n, se obtienen sus términos:

$n=1 \ \rightarrow \ a_1=1\;$

$n=2 \ \rightarrow \ a_2=a_1 + 2= 1+2 = 3$

$n=3 \ \rightarrow \ a_3=a_2 + 2 = 3+2= 5$

$n=4 \ \rightarrow \ a_4=a_3 + 2 = 5+2= 7$

etc.

Término general y ley de recurrencia

Sucesiones con término general:

Tutorial 1 (6´25") Sinopsis:

Sucesión.
Término general de una sucesión.
Cálculo de una sucesión a partir de sus término general.
Ejemplos.

Tutorial 2 (22'00") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabajan los términos generales en las sucesiones numéricas.

Tutorial 3 (6´41") Sinopsis:

Sucesiones y término general.

Tutorial 4 (5´59") Sinopsis:

Definición de sucesión de números reales como aplicación entre el conjunto de los números naturales y el de los números reales.
Término general de una sucesión.

Tutorial 5 (5´15") Sinopsis:

Ejemplos de sucesiones con figuras.

Sucesiones recurrentes:

Tutorial 1 (7´42") Sinopsis:

Sucesiones recurrentes.
Cálculo de los términos de una sucesión recurrente.
Ejemplos.

Tutorial 2 (24´30") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabajan las leyes de recurrencia en las sucesiones numéricas.

Ejemplos (8´20") Sinopsis:

Definición de sucesiones de manera explicita y recursiva.

Ejercicio 1 (13´30") Sinopsis:

Calcula los cuatro primeros términos de sucesiones dadas de forma recurrente:

a) $\begin{cases}g_1= 4 \\ g_n=g_{n-1}+3.2 \ , \ \forall n>1 \end{cases}$

b) $\begin{cases}h_1= 14 \\ h_n=\cfrac{28}{h_{n-1}} \ , \ \forall n>1 \end{cases}$

c) $\begin{cases}f_1= 14 \\ f_2= -4 \\ f_n=f_{n-1}+f_{n-2} \ , \ \forall n>2 \end{cases}$

Término general y ley de recurrencia

Actividad Descripción:

Actividades en las que aprenderás el concepto de término general de una sucesión y a obtener, a partir de él, los términos de la misma.

Autoevaluación Descripción:

Evalúa sucesiones a partir de una ley de recurrencia.

Término general de una sucesión

Actividad: Termino general de una sucesión

1. Intenta escribir una expresión que sirva para calcular cualquier término de las sucesiones siguientes:

a) $\{1,2,3,4,5,...\}\;$ b) $\{1,4,9,16,...\}\;$ c) $\{1,3,5,7,...\}\;$

d) $\{ {1 \over 2},{1 \over 4},{1 \over 8},{1 \over 16},{1 \over 32},...\}$ e) $\{-1,1,-1,1,-1,...\}\;$ f) $\{1,-1,1,-1,1,...\}\;$

2. Dada la sucesión de término general $a_n=n^2-4n\;$ :

a) Halla los cinco primeros términos.

b) Halla el término $a_{10} \;$

3. Escribe los primeros términos de la sucesión cuyo primer término es 2 y todos los demás se obtienen sumando 5 al término anterior.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 1,2,3,4,5,...

b) 1,4,9,16,...

etc.

a) n^2-4n for n=1 to 5

b) n^2-4n for n=10

3. a(1)=2,a(n)=a(n-1)+5 (sucesión recurrente)

(pág. 57)

Ejercicios resueltos: Concepto de sucesión

Descubre el criterio por el que se forman las sucesiones siguientes, añadir dos nuevos términos a cada una y dar su término general o la ley de recurrencia:

a) $\{ 1, 4, 9, 16, 25, ... \} \;$ b) $\{ 5, 8, 13, 20, 29, ... \} \;$ c) $\{ 1, -1, 1, -1, 1, ... \} \;$ d) $\{ -1, 2, -3, 4, -5, ... \} \;$

e) $\{ 1, -3, 9, -27, 81, ... \} \;$ f) $\{ 1, 2, 6, 24, 120, ... \} \;$ g) $\{ 1, 3, 6, 8, 16, ... \} \;$

Solución:

a) Son los cuadrados de los números naturales

$a_6=36, \ a_7=49$

Término general: $a_n=n^2 \;$

b) Cada término es cuatro unidades mayor que el correspondiente de la sucesión del apartado a)

$b_6=40, \ b_7=53$

Término general: $b_n=n^2+4\;$

c) Los términos impares valen 1 y los pares -1.

$c_6=-1, \ c_7=1$

Término general: $c_n=(-1)^{n+1}\;$

d) Los términos son los números naturales con los signos alternando: pares positivos e impares negativos.

$d_6=6, \ d_7=-7$

Término general: $d_n=(-1)^{n+1} \cdot n \;$

e) Cada término se obtiene multiplicando el anterior por -3.

$e_6=-243, \ e_7=729$

Término general: $e_n=(-3)^{n-1} \;$

f) Cada término se obtiene multiplicando el anterior por el número del lugar que ocupa.

$f_6=f_5 \cdot 6 = 120 \cdot 6 = 720, \ f_7=720 \cdot 7 = 5040$

La ley de recurrencia es $f_1=1;~f_n=f_{n-1} \cdot n,~ \forall n \ge 2$

También se puede dar un término general: $f_n=n!\;$

g) Los términos pares se obtiene sumando 2 al anterior y los impares, apartir del tercero, multiplicando por 2 el anterior.

$g_6=16+2=18, \ g_7=18 \cdot 2 = 36$

La ley de recurrencia es $g_1=1;~g_n= \left\{\begin{matrix} g_{n-1} + 2,~ \forall n \ par \qquad \qquad ~~ \\ g_{n-1} \cdot ~ 2,~ \forall n \ge 3 \ , n \ impar \end{matrix} \right.$

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Tipos de sucesiones

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Sucesiones monótonas

Una sucesión es monótona si es de alguno de estos cuatro tipos:

Estrictamente creciente: Una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.
Estrictamente decreciente: Una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.
Creciente: Una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.
Decreciente: Una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

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Sucesiones constantes

Una sucesión es constante si todos sus términos son iguales.

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Sucesiones acotadas

Sucesión acotada inferiormente: Es aquella en la que todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.
Sucesión acotada superiormente: Es aquella en la que todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota superior de la sucesión.
Sucesión acotada: Es aquella en la que está acotada superior e inferiormente.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Término general de una sucesión

(Pág. 57)

1a,b,e,h,i; 2a,b,d,g,h,i,j

1c,d,f,g,j; 2c,e,f

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Concepto_de_sucesi%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Números

 }}
 {{p}}
-==Concepto de sucesión==
+==Sucesión de números reales==
-{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''sucesión''' a un conjunto ordenado de números. A los elementos de la sucesión se les llama '''términos'''. Los términos se representan con una misma letra y un subíndice que indica el lugar que ocupa en la sucesión.
+(pág. 56)
+{{Sucesión de números reales}}
-<center><math>a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots</math></center>
-}}
 {{p}}
-===La sucesión de Fibonacci y el número áureo===
+==Término general de una sucesión==
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Sucesión de Fibonacci y número áureo''
+{{Término general de una sucesión}}
-|enunciado=
+{{p}}
-[[Imagen:fibonacci.jpg|thumb|110px|[[Fibonacci]]]]
+(pág. 57)
-:El siguiente problema fue propuesto por [[Fibonacci]], matemático italiano del siglo XIII:
+{{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos: ''Concepto de sucesión''
-:"Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo més?"
+|enunciado= Descubre el criterio por el que se forman las sucesiones siguientes, añadir dos nuevos términos a cada una y dar su término general o la ley de recurrencia:
+:a) <math>\{ 1, 4, 9, 16, 25, ... \} \;</math>{{b4}}{{b4}}b) <math>\{ 5, 8, 13, 20, 29, ... \} \;</math>{{b4}}{{b4}}c) <math>\{ 1, -1, 1, -1, 1, ... \} \;</math>{{b4}}{{b4}}d) <math>\{ -1, 2, -3, 4, -5, ... \} \;</math>
-:a) Escribe la sucesión cuyos términos son lás parejas de conejos que hay cada més. Esta recibe el nombre de '''sucesión de Fibonacci'''.
+:e) <math>\{ 1, -3, 9, -27, 81, ... \} \;</math>{{b4}}{{b4}}f) <math>\{ 1, 2, 6, 24, 120, ... \} \;</math>{{b4}}{{b4}}g) <math>\{ 1, 3, 6, 8, 16, ... \} \;</math>
-:b) Ahora vas a construir la sucesión que se obtiene al dividir cada término entre el anterior. Esa sucesión verás que se aproxima al número áureo phi:
-<center><math>\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...</math></center>
-{{b}}
 |sol=
+a) Son los cuadrados de los números naturales
+:<math>a_6=36, \ a_7=49</math>
+:Término general: <math>a_n=n^2 \;</math>
-'''a) Sucesión de Fibonacci:'''
+b) Cada término es cuatro unidades mayor que el correspondiente de la sucesión del apartado a)
-[[Imagen:conejos_fibonacci.jpg|right|230px]]
+:<math>b_6=40, \ b_7=53</math>
-*Valor inicial: 1 pareja
+:Término general: <math>b_n=n^2+4\;</math>
-*Mes 1: 1 pareja (hasta el segundo mes no se reproduce la primera)
-*Mes 2: 2 parejas (Primera vez que se reproduce)
-*Mes 3: 3 parejas (la primera pareja vuelve a reproducirse pero la segunda no lo hace hasta el próximo mes)
-*Mes 4: 5 parejas (la primera y la segunda pareja ya se reproducen, la tercera aún no)
-*Mes 5: 8 parejas (Se reproducen las 3 primeras parejas, las otras dos no)
-*Mes 6: 13 parejas (Se reproducen las 5 parejas de hace 2 meses, pero las 3 nuevas del mes anterior aún no)
-Así se obtiene una sucesión en la que cada término se obtiene a partir de la suma de los dos anteriores:
+c) Los términos impares valen 1 y los pares -1.
+:<math>c_6=-1, \ c_7=1</math>
+:Término general: <math>c_n=(-1)^{n+1}\;</math>
-<center><math>1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots</math></center>
+d) Los términos son los números naturales con los signos alternando: pares positivos e impares negativos.
+:<math>d_6=6, \ d_7=-7</math>
+:Término general: <math>d_n=(-1)^{n+1} \cdot n \;</math>
-'''b) Sucesión del número áureo:'''
+e) Cada término se obtiene multiplicando el anterior por -3.
+:<math>e_6=-243, \ e_7=729</math>
+:Término general: <math>e_n=(-3)^{n-1} \;</math>
-Dividiendo cada término entre el anterior, tenemos:
+f) Cada término se obtiene multiplicando el anterior por el número del lugar que ocupa.
+:<math>f_6=f_5 \cdot 6 = 120 \cdot 6 = 720, \ f_7=720 \cdot 7 = 5040</math>
+:La ley de recurrencia es <math>f_1=1;~f_n=f_{n-1} \cdot n,~ \forall n \ge 2</math>
+:También se puede dar un término general: <math>f_n=n!\;</math>
+g) Los términos pares se obtiene sumando 2 al anterior y los impares, apartir del tercero, multiplicando por 2 el anterior.
+:<math>g_6=16+2=18, \ g_7=18 \cdot 2 = 36</math>
+:La ley de recurrencia es <math>g_1=1;~g_n= \left\{\begin{matrix}  g_{n-1} + 2,~ \forall n \ par \qquad \qquad ~~ \\ g_{n-1} \cdot ~ 2,~ \forall n \ge 3 \ , n \ impar \end{matrix} \right.</math>
-<center><math>\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots</math></center>
-{{b}}
-<center><math>1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi</math></center>
 }}
 {{p}}
-==Término general de una sucesión==
+==Tipos de sucesiones==
-{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''término general''' de una sucesión, y se simboliza por <math>a_n\;</math>, a la expresión matemática que sirve para calcular cualquier término de la sucesión. Para ello, sustituiremos n en la expresión del término general por el índice del término que queramos averiguar.
+===Sucesiones monótonas===
+{{Caja_Amarilla|texto=Una sucesión es '''monótona''' si es de alguno de estos cuatro tipos:
-Hay veces que el término general se puede expresar mediante una función: <math>a_n=f(n)\;</math>.
+*'''Estrictamente creciente: '''Una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.
+*'''Estrictamente decreciente: '''Una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.
+*'''Creciente: '''Una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.
+*'''Decreciente: ''' Una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.
+}}
+===Sucesiones constantes===
+{{Caja_Amarilla|texto=Una sucesión es '''constante''' si todos sus términos son iguales.}}
+===Sucesiones acotadas===
+{{Caja_Amarilla|texto=
+*'''Sucesión acotada inferiormente: '''Es aquella en la que todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos '''cota inferior''' de la sucesión.
+*'''Sucesión acotada superiormente: '''Es aquella en la que todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K, que llamaremos '''cota superior''' de la sucesión.
+*'''Sucesión acotada: '''Es aquella en la que está acotada superior e inferiormente.
-Otras veces, cada término de la sucesión se obtiene a aprtir de operaciones con otros términos anteriores. A estas sucesiones se les llama '''recurrentes'''.
 }}
-{{p}}
+==Ejercicios propuestos==
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Término general de una sucesión''
+{{ejercicio
-|enunciado= :Halla el término general de las siguientes sucesiones:
+|titulo=Ejercicios propuestos: ''Término general de una sucesión''
-::a) 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
+|cuerpo=
-::b) 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
-::c) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
-|sol=
-a) <math>a_n=n^2\;</math>
-b) <math>a_n=2^n\;</math>
+(Pág. 57)
-c) <math>a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\;</math> (es recurrente)
+[[Imagen:red_star.png|12px]] 1a,b,e,h,i; 2a,b,d,g,h,i,j
+[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 1c,d,f,g,j; 2c,e,f
 }}
 [[Categoría: Matemáticas|Sucesiones]][[Categoría: Números|Sucesiones]]

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