Plantilla:Ecuación de segundo grado: definición y resolución

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==Ecuación de segundo grado== ==Ecuación de segundo grado==
-(pág. 75)+{{Definición: ecuación de segundo grado}}
- +
-{{Caja_Amarilla|texto=Una '''ecuación de segundo grado con una incógnita''', <math>x\;\!</math>, es aquella que tiene la siguiente expresión, que llamaremos '''forma general'''.+
{{p}} {{p}}
-<center><math>ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0</math></center>+El siguiente videotutorial condensa casi todo lo que se va a tratar en este tema:
-}}+{{Video_enlace_fonemato
-{{p}}+|titulo1=Ecuaciones de segundo grado: definición, resolución, propiedades.
- +
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuación de segundo grado''+
-|enunciado=:Pasa a forma general la ecuación:+
-<center><math>3x-2x^2+5=-4x^2+3-x\;\!</math></center>+
-|sol=+
-Para ponerla en forma general, pasaremos todos los términos al miembro de la izquierda:+
-<center><math>3x-2x^2+5+4x^2-3+x=0\;\!</math></center>+
-Agrupando términos semejantes:+
-<center><math>2x^2+4x+2=0\;\!</math></center>+
-}}+
- +
-{{p}}+
- +
-===Resolución de la ecuación de segundo grado===+
-{{Teorema|titulo=Fórmula de la ecuación de segundo grado+
-|enunciado=:Las soluciones de la ecuación de segundo grado son:+
-<center><math>x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math></center>+
-:donde el signo <math>(\pm)</math> significa que una solución se obtiene con el signo <math>(+)\;\!</math> y otra con el signo <math>(-)\;\!</math>.+
-|demo=+
-1. Se divide la ecuación por <math>a\;\!</math>:+
-<center><math>x^2+ \cfrac{b}{a}x+ \cfrac{c}{a}=0</math></center>+
- +
-2. Se multiplica y divide por <math>2\;\!</math> el coeficiente de la <math>x\;\!</math>:+
-<center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}=0</math></center>+
- +
-3. Se suma a los dos miembros de la igualdad <math>\cfrac{b^2}{4a^2}</math>:+
-<center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}</math></center>+
- +
-4. Se pasa restando a la derecha <math>\cfrac{c}{a}</math>:+
-<center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}</math></center>+
- +
-5. Observando que el lado izquierdo es el desarrollo de <math>\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2</math>:+
-<center><math>\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}</math></center>+
- +
-6. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:+
-<center><math>x+\cfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}</math></center>+
- +
-7. Se despeja x:+
-<center><math>x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}</math></center>+
- +
-8. Se simplifica la expresión:+
-<center><math>x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=- \cfrac{b}{2a} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=- \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math></center>+
- +
-}}{{p}}+
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Resolución de la ecuación de segundo grado''+
-|enunciado=+
-:Ejemplos de ecuaciones de segundo grado resueltas.+
-|sol=+
-Pulsa "Inicio" para ver otros ejemplos:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/4b_eso/Ecuaciones2grado/eg22_2.html+
-width=690+
-height=380+
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-</iframe></center>+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Resolución de una ecuación de segundo grado''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado={{b4}}{{b4}}Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.+
-|actividad=+
-{{p}}+
-#Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.+
-#Copia la ecuación en tu cuaderno y halla sus soluciones.+
-#Escribe el "tipo de solución" y las soluciones en los cuadros correspondientes. Luego pulsa el botón "Solución".+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/4b_eso/Ecuaciones2grado/eg22_3.html+
-width=670+
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-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/4b_eso/Ecuaciones2grado/eg22_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''Resolución de las ecuaciones de segundo grado''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:Resuelve las siguientes ecuaciones:+
- +
-:a) <math>4x^2+4x+1=0 \;</math>+
- +
-:b) <math>4x^2-25=0 \;</math>+
- +
-:c) <math>x^2+x-12=0 \;</math>+
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=solve 4x^2+4x+1=0}} {{b4}} b) {{consulta|texto=solve 4x^2-25=0}} {{b4}} c) {{consulta|texto=solve x^2+x-12=0}}+
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-{{widget generico}}+
-}}+
- +
-}}+
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-===Videotutoriales===+
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-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/03-ecuaciones-y-sistemas-de-ecuaciones/07-ecuaciones-de-segundo-grado#.VCRB4RZ8HA8+|url1=http://www.youtube.com/watch?v=D5cXkXjzsJc&list=PL773F27163628CA1F&index=29
-|sinopsis=Definición de ecuación de segundo grado. Fórmula para su resolución con su demostración.+|sinopsis=
-Definición de discriminante de una ec. de segundo grado y su relación con el número de soluciones de ésta y con ejemplos de cada caso.+*Definición de ecuación de segundo grado.
-Factorización del polinomio de segundo grado a partir de las soluciones o raíces de la ecuación de segundo grado.+*Fórmula para su resolución con su demostración.
-Propiedades del producto y la suma de las raíces de la ecuación con su demostración.+*Definición de discriminante de una ec. de segundo grado y su relación con el número de soluciones de ésta y con ejemplos de cada caso.
-Ecuaciones de segundo grado incompletas.+*Factorización del polinomio de segundo grado a partir de las soluciones o raíces de la ecuación de segundo grado.
 +*Propiedades del producto y la suma de las raíces de la ecuación con su demostración.
 +*Ecuaciones de segundo grado incompletas.
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-|titulo1=Ejercicios de ecuaciones de segundo grado en forma general+{{Ecuación de segundo grado completa}}
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Revisión actual

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Ecuación de segundo grado

  • Una ecuación de segundo grado con una incógnita, x\;\!, es aquella que tiene o se puede reducir a la siguiente expresión, que llamaremos forma general.

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0
  • Si algún coeficiente,"b" o "c", es cero la ecuación diremos que es incompleta. En caso contrario diremos que es completa.

El siguiente videotutorial condensa casi todo lo que se va a tratar en este tema:

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Ecuación de segundo grado completa

ejercicio

Fórmula general

Las soluciones de la ecuación de segundo grado

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0

son:

x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

donde el signo (\pm) significa que una solución se obtiene con el signo (+)\;\! y otra con el signo (-)\;\!.

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Número de soluciones de la ecuación de segundo grado

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado, ax^2+bx+c=0 \;, al número:

\triangle = b^2-4ac

ejercicio

Proposición

Sea \triangle el discriminante de una ecuación de segundo grado:

  • Si \triangle <0, la ecuación no tiene solución.
  • Si \triangle >0, la ecuación tiene dos soluciones.
  • Si \triangle =0, la ecuación tiene una solución (doble).

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