Límite de una sucesión (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Representación gráfica de una sucesión
- 1.1 Ejercicios propuestos
2 Concepto de límite de una sucesión
- 2.1 Sucesiones oscilantes
- 2.2 Sucesiones alternadas
3 Ejercicios
- 3.1 Ejercicios propuestos
4 Actividades y videotutoriales

Para acercarnos a la idea de límite, vamos a empezar viendo algunas representaciones gráficas de sucesiones.

(pág. 61)

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Representación gráfica de una sucesión

Para representar gráficamente una sucesión $a_n\;$ , construiremos una tabla donde anotaremos el valor de $a_n\;$ para distintos valores de n.

Las parejas $(n,a_n),\ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$ obtenidas en la tabla, son las coordenadas de los puntos de la representación gráfica de la sucesión, que dibujaremos en unos ejes de coordenadas cartesianos.

Ejercicios resueltos: Representación gráfica y límite de una sucesión

Representa graficamente las siguientes sucesiones:

a) $a_{n} = \cfrac{5n}{n+3}$

b) $a_{n} = \cfrac{n^2}{5}-4n\;$

Solución:[Mostrar]

Observa que, en ambos ejemplos, los valores obtenidos cuando n es pequeño, no son representativos del valor del límite. Por tanto, el valor del límite debe deducirse tomando valores de n suficientemente grandes.

Representación gráfica y límite de una sucesión [Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Representación gráfica y límite de una sucesión

(Pág. 61)

1, 2, 3

(pág. 62)

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Concepto de límite de una sucesión

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ podemos conseguir que se aproximen a un número $l \in \mathbb{R}$ , tanto como queramos (a menos de una distancia $\varepsilon \;$ tan pequeña como deseemos) al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a $l\;$ o que su límite es $l\;$ . Diremos que la sucesión es convergente. Lo escribiremos simbólicamente:

$lim \ a_n = l \ \Leftrightarrow \ \forall \, \varepsilon > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ |a_n -l|<\varepsilon$

Cuando una sucesión no es convergente diremos que es divergente.
Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ superan a cualquier número "k" tan grande como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a $+\infty \;$ o que su límite es $+\infty \;$ . Por tanto, la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:

$lim \ a_n = +\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n> k$

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ toman valores inferiores a cualquier número "k" negativo tan pequeño como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a $-\infty \;$ o que su límite es $-\infty \;$ . Por tanto, la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:

$lim \ a_n = -\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k < 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n< k$

Límite de una sucesión [Mostrar]

Concepto de límite de una sucesión Descripción: [Mostrar]

Teorema

Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente. Mas concretamente:

Una sucesión de números reales creciente y acotada superiormente es convergente.
Una sucesión de números reales decreciente y acotada inferiormente es convergente.

Demostración:[Mostrar]

(pág. 63)

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Sucesiones oscilantes

Las sucesiones oscilantes son sucesiones divergentes pero que no tienden ni a $+\infty \;$ ni a $-\infty \;$ .

Advertencia: [Mostrar]

Ejemplos: [Mostrar]

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Sucesiones alternadas

Una sucesión diremos que es alternada si sus términos van alternando en signo.

Ejemplos: [Mostrar]

Ejemplo: Sucesión oscilante y alternada

La siguiente sucesión no tiene límite

$a_n=(-1)^{n+1} \cdot n$

Solución:[Mostrar]

Sucesiones alternadas y oscilantes Descripción: [Mostrar]

(Pág. 63)

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Ejercicios

Ejercicios resueltos: Límite de una sucesión

1. Estudiar el comportamiento de las siguientes sucesiones para valores de n avanzados e indicar su límite:

a) $a_n=3+\frac{10}{n}$

b) $b_n=\frac{n^2-n}{2}$

2. Comprobar si las siguientes sucesiones tienen límite:

a) $a_n=(-3)^n \;$

b) $c_n=\frac{(-1)^n}{n}$

Solución:[Mostrar]

Ejercicio: Límite de una sucesión

1. Representa gráficamente las siguientes sucesiones e indica si tienen o no límite, calculándolo en su caso:

a) $a_n=n^2\;$

b) $b_n=\cfrac{7n}{n+1}$

c) $c_n=\cfrac{n^2-6n-1}{5n+1}$

d) $d_n=(-1)^n \cdot (2n+1)$

e) $e_n=\cfrac{n^2-2}{2n^2+1}$

f) $f_n=\cfrac{n^3-15n^2+25}{2n^2-1}$

g) $g_n=\cfrac{90n+90}{n^2}$

h) $h_n=\sqrt{4n+5}$

i) $i_n= \begin{cases} 2, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 4, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}$

j) $j_n=\cfrac{(-1)^n \cdot (n+5)}{n^2}$

Solución:[Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Límite de una sucesión

(Pág. 63)

4, 5

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Actividades y videotutoriales

Los siguientes videotutoriales no solo resumen lo visto hasta ahora sobre límites de sucesiones, sino que profundizan un poco más:

Sucesiones y límites [Mostrar]

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Sucesiones alternadas

Ejercicios

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 <center><math>lim \ a_n = l \ \Leftrightarrow \ \forall \, \varepsilon > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ |a_n -l|<\varepsilon</math></center>
 {{p}}
-*Cuando los términos de una sucesión <math>a_n\;</math> superan a cualquier número "k" tan grande como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión '''tiende''' a <math>+\infty \;</math> o que su '''límite''' es  <math>+\infty \;</math>. Diremos que la sucesión es '''divergente'''. Lo escribiremos simbólicamente:{{p}}
+*Cuando una sucesión no es convergente diremos que es '''divergente'''.
+*Cuando los términos de una sucesión <math>a_n\;</math> superan a cualquier número "k" tan grande como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión '''tiende''' a <math>+\infty \;</math> o que su '''límite''' es  <math>+\infty \;</math>. Por tanto, la sucesión es '''divergente'''. Lo escribiremos simbólicamente:{{p}}
 <center><math>lim \ a_n = +\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n> k</math></center>
 {{p}}
-*Cuando los términos de una sucesión <math>a_n\;</math> toman valores inferiores a cualquier número "k" negativo tan pequeño como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión '''tiende''' a <math>-\infty \;</math> o que su '''límite''' es  <math>-\infty \;</math>. Diremos que la sucesión es '''divergente'''. Lo escribiremos simbólicamente:{{p}}
+*Cuando los términos de una sucesión <math>a_n\;</math> toman valores inferiores a cualquier número "k" negativo tan pequeño como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión '''tiende''' a <math>-\infty \;</math> o que su '''límite''' es  <math>-\infty \;</math>. Por tanto, la sucesión es '''divergente'''. Lo escribiremos simbólicamente:{{p}}
 <center><math>lim \ a_n = -\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k < 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n< k</math></center>
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+}}
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+|sinopsis=Tutorial en el que se explica el concepto matemático del infinito, así como las operaciones aritméticas que se pueden hacer con él y aquellas que no, de las cuales surgen algunas de las indeterminaciones que aparecerán en el cálculo de límites.
+}}
+----
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+|sinopsis=Ejercicios de nivel básico de cálculo de límites de sucesiones, con término general polinómico.
+}}
+{{Video_enlace_clasematicas
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+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=P3SkX4JoaFM&index=3&list=PLZNmE9BEzVImFscSNrlsIJDGHZqysqJgK
+|sinopsis=Ejercicios de nivel básico de cálculo de límites de sucesiones, con término general en quebrado algebraico..
+}}
 }}
 {{p}}
 {{p}}
 (pág. 63)
-===Sucesiones que no tienen límite===
+===Sucesiones oscilantes===
-Hay sucesiones que no cumplen ninguna de las tres condiciones expuestas en el apartado anterior. Dichas sucesiones diremos que no tienen límite.
+{{Caja_Amarilla|texto=Las sucesiones '''oscilantes''' son sucesiones divergentes pero que no tienden ni a <math>+\infty \;</math> ni a <math>-\infty \;</math>.}}
+{{p}}
+{{Warning|titulo=Advertencia:|texto=
+En esta página consideramos la divergencia como la no existencia de límite (<math>l \in \mathbb{R}\;</math>) y, por tanto, una sucesión puede ser convergente o no convergente (divergente). Sin embargo, algunos matemáticos consideran la divergencia como la tendencia a infinito. En este segundo caso, una sucesión puede ser convergente, divergente o no convergente ni divergente.
+}}
+{{p}}
+{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=Son sucesiones oscilantes:
+<math>\{1, -1,\, 2, -2,\, 3, -3,\, 4, -4, ...\}\;</math>
+<math>\{0,\, 1,\, 0,\, 2,\, 0,\, 3,\, 0,\, 4,\, 0,\, 5,\, ...\}\;</math>
+}}
+{{p}}
+===Sucesiones alternadas===
+{{Caja_Amarilla|texto=Una sucesión diremos que es '''alternada''' si sus términos van alternando en signo.}}
+{{p}}
+{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=Son sucesiones alternadas:
+<math>\{1, -1,\, 2, -2,\, 3, -3,\, 4, -4, ...\}\;</math>, que además es oscilante.
+<math>\{1, -1,\, \cfrac{1}{2},\, -\cfrac{1}{2},\, \cfrac{1}{4},\, -\cfrac{1}{4},\, \cfrac{1}{8},\, -\cfrac{1}{8},...\}\;</math>, que además es convergente (a cero).
+}}
 {{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Sucesión oscilante''
+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Sucesión oscilante y alternada''
 |enunciado=
 La siguiente sucesión no tiene límite
 <center><math>-1,\ 2,\ -3,\ 4,\ -5,\ 6,\ -7,\ 8,\ \cdots</math></center>
 <br>
-Se trata de una '''sucesión oscilante'''. No es divergente ni convergente, es decir, no tiene límite.
+Se trata de una '''sucesión oscilante'''. También es una '''sucesión alternada''' porque sus términos van alternando entre positivos y negativos.
 Esto es debido a que sus términos se aproximan a dos valores distintos: los términos impares tienden a <math>+\infty \;</math> y los pares a <math>-\infty \;</math>, como puede verse en la representación gráfica de la sucesión.
 }}
 {{p}}
+{{Web_enlace
+|descripcion=Sucesiones alternadas y oscilantes.
+|enlace=[http://www.geogebra.org/m/M6HDBFxr Sucesiones alternadas y oscilantes]
+}}
 (Pág. 63)
+==Ejercicios==
 {{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos: ''Límite de una sucesión''
 |enunciado=
 a. <math>a_n=3+\frac{10}{n}</math>
-: {{consulta|texto=Table[3+10/n,{n,1.,10.}]}} o {{consulta|texto=Table[3+10/n,{n,1.,1000.,100}]}}
+: {{consulta|texto=Table[3+10/n,{n,1.,1000.,100}]}}
 : {{consulta|texto=Plot Table[3+10/n,{n,1.,1000.,100}]}}
 : {{consulta|texto=limit 3+10/n as n->+oo}}
 b. <math>b_n=\frac{n^2-n}{2}</math>
-: {{consulta|texto=Table[(n^2-n)/2,{n,1.,10.}]}} o {{consulta|texto=Table[(n^2-n)/2,{n,1.,1000.,100}]}}
+: {{consulta|texto=Table[(n^2-n)/2,{n,1.,1000.,100}]}}
 : {{consulta|texto=Plot Table[(n^2-n)/2,{n,1.,1000.,100}]}}
 : {{consulta|texto=limit (n^2-n)/2 as n->+oo}}
 b. <math>c_n=\frac{(-1)^n}{n}</math>
-: {{consulta|texto=Table[(-1)^n/n,{n,1.,10.}]}} o {{consulta|texto=Table[(-1)^n/n,{n,1.,1000.,100}]}}
+: {{consulta|texto=Table[(-1)^n/n,{n,1.,1000.,100}]}}
 : {{consulta|texto=Plot Table[(-1)^n/n,{n,1.,1000.,100}]}}
 : {{consulta|texto=limit (-1)^n/n as n->+oo}}
+Nota: La sucesión 2b no es una sucesión oscilante ya que tiene límite igual a cero. El hecho de que alterne signos hace que reciba el nombre se sucesión '''alternada'''.
 {{p}}
 {{widget generico}}
 {{p}}
-==Videotutoriales (Ampliación)==
+==Actividades y videotutoriales==
-{{Video_enlace2
+Los siguientes videotutoriales no solo resumen lo visto hasta ahora sobre límites de sucesiones, sino que profundizan un poco más:
+{{Videotutoriales|titulo=Sucesiones y límites|enunciado=
+{{Video_enlace_fonemato
 |titulo1=Sucesiones de números reales
 |duracion=17´44"
 *Concepto de sucesión de números reales. Ejemplos.
 *Introducción de la notación necesaria para el comprender el concepto de límite de una sucesión de números reales.
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_fonemato
-{{Video_enlace2
 |titulo1=Visualización de una sucesión de números reales
 |duracion=11´36"
 |sinopsis=*Representación gráfica de una sucesión de números reales.
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_fonemato
-{{Video_enlace2
 |titulo1=Límite de una sucesión de números reales
 |duracion=11´15"
 *Visualización del concepto de límite.
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_fonemato
-{{Video_enlace2
 |titulo1=Ejercicio
 |duracion=10´35"
 |sinopsis=*Demostrar que <math>lim \ \frac{5n-3}{2n+1}=\frac{5}{2}</math> usando la definición rigurosa de límite.
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_fonemato
-{{Video_enlace2
 |titulo1=Límites infinitos
 |duracion=21´27"
 *Visualización del concepto de límite infinito.
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_fonemato
-{{Video_enlace2
 |titulo1=Propiedades aritméticas de los límites
 |duracion=14´20"
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_fonemato
-{{Video_enlace2
 |titulo1=Indeterminaciones matemáticas
 |duracion=8´10"
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_fonemato
-{{Video_enlace2
 |titulo1=Infinitos potenciales
 |duracion=6´54"
 *Ejemplos.
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_fonemato
-{{Video_enlace2
 |titulo1=Cociente de infinitos potenciales
 |duracion=9´09"
 *Ejemplos.
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_fonemato
-{{Video_enlace2
 |titulo1=Otros infinitos
 |duracion=13´01"
 |sinopsis=*Definición de infinito de orden superior, inferior o igual a otro infinito.
 *Ejemplos.
+}}
 }}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]