Límite de una sucesión (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Saltar a navegación, búsqueda

Revisión actual

Menú: [Mostrar]

Tabla de contenidos

[esconder]

1 Representación gráfica de una sucesión
- 1.1 Ejercicios propuestos
2 Concepto de límite de una sucesión
- 2.1 Sucesiones oscilantes
- 2.2 Sucesiones alternadas
3 Ejercicios
- 3.1 Ejercicios propuestos
4 Actividades y videotutoriales

Para acercarnos a la idea de límite, vamos a empezar viendo algunas representaciones gráficas de sucesiones.

(pág. 61)

[editar]

Representación gráfica de una sucesión

Para representar gráficamente una sucesión $a_n\;$ , construiremos una tabla donde anotaremos el valor de $a_n\;$ para distintos valores de n.

Las parejas $(n,a_n),\ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$ obtenidas en la tabla, son las coordenadas de los puntos de la representación gráfica de la sucesión, que dibujaremos en unos ejes de coordenadas cartesianos.

Ejercicios resueltos: Representación gráfica y límite de una sucesión

Representa graficamente las siguientes sucesiones:

a) $a_{n} = \cfrac{5n}{n+3}$

b) $a_{n} = \cfrac{n^2}{5}-4n\;$

Solución:[Mostrar]

Observa que, en ambos ejemplos, los valores obtenidos cuando n es pequeño, no son representativos del valor del límite. Por tanto, el valor del límite debe deducirse tomando valores de n suficientemente grandes.

Representación gráfica y límite de una sucesión [Mostrar]

[editar]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Representación gráfica y límite de una sucesión

(Pág. 61)

1, 2, 3

(pág. 62)

[editar]

Concepto de límite de una sucesión

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ podemos conseguir que se aproximen a un número $l \in \mathbb{R}$ , tanto como queramos (a menos de una distancia $\varepsilon \;$ tan pequeña como deseemos) al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a $l\;$ o que su límite es $l\;$ . Diremos que la sucesión es convergente. Lo escribiremos simbólicamente:

$lim \ a_n = l \ \Leftrightarrow \ \forall \, \varepsilon > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ |a_n -l|<\varepsilon$

Cuando una sucesión no es convergente diremos que es divergente.
Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ superan a cualquier número "k" tan grande como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a $+\infty \;$ o que su límite es $+\infty \;$ . Por tanto, la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:

$lim \ a_n = +\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n> k$

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ toman valores inferiores a cualquier número "k" negativo tan pequeño como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a $-\infty \;$ o que su límite es $-\infty \;$ . Por tanto, la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:

$lim \ a_n = -\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k < 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n< k$

Límite de una sucesión [Mostrar]

Concepto de límite de una sucesión Descripción: [Mostrar]

Teorema

Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente. Mas concretamente:

Una sucesión de números reales creciente y acotada superiormente es convergente.
Una sucesión de números reales decreciente y acotada inferiormente es convergente.

Demostración:[Mostrar]

(pág. 63)

[editar]

Sucesiones oscilantes

Las sucesiones oscilantes son sucesiones divergentes pero que no tienden ni a $+\infty \;$ ni a $-\infty \;$ .

Advertencia: [Mostrar]

Ejemplos: [Mostrar]

[editar]

Sucesiones alternadas

Una sucesión diremos que es alternada si sus términos van alternando en signo.

Ejemplos: [Mostrar]

Ejemplo: Sucesión oscilante y alternada

La siguiente sucesión no tiene límite

$a_n=(-1)^{n+1} \cdot n$

Solución:[Mostrar]

Sucesiones alternadas y oscilantes Descripción: [Mostrar]

(Pág. 63)

[editar]

Ejercicios

Ejercicios resueltos: Límite de una sucesión

1. Estudiar el comportamiento de las siguientes sucesiones para valores de n avanzados e indicar su límite:

a) $a_n=3+\frac{10}{n}$

b) $b_n=\frac{n^2-n}{2}$

2. Comprobar si las siguientes sucesiones tienen límite:

a) $a_n=(-3)^n \;$

b) $c_n=\frac{(-1)^n}{n}$

Solución:[Mostrar]

Ejercicio: Límite de una sucesión

1. Representa gráficamente las siguientes sucesiones e indica si tienen o no límite, calculándolo en su caso:

a) $a_n=n^2\;$

b) $b_n=\cfrac{7n}{n+1}$

c) $c_n=\cfrac{n^2-6n-1}{5n+1}$

d) $d_n=(-1)^n \cdot (2n+1)$

e) $e_n=\cfrac{n^2-2}{2n^2+1}$

f) $f_n=\cfrac{n^3-15n^2+25}{2n^2-1}$

g) $g_n=\cfrac{90n+90}{n^2}$

h) $h_n=\sqrt{4n+5}$

i) $i_n= \begin{cases} 2, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 4, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}$

j) $j_n=\cfrac{(-1)^n \cdot (n+5)}{n^2}$

Solución:[Mostrar]

[editar]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Límite de una sucesión

(Pág. 63)

4, 5

[editar]

Actividades y videotutoriales

Los siguientes videotutoriales no solo resumen lo visto hasta ahora sobre límites de sucesiones, sino que profundizan un poco más:

Sucesiones y límites [Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/L%C3%ADmite_de_una_sucesi%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Números

 <center><math>lim \ a_n = l \ \Leftrightarrow \ \forall \, \varepsilon > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ |a_n -l|<\varepsilon</math></center>
 {{p}}
-*Cuando los términos de una sucesión <math>a_n\;</math> superan a cualquier número "k" tan grande como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión '''tiende''' a <math>+\infty \;</math> o que su '''límite''' es  <math>+\infty \;</math>. Diremos que la sucesión es '''divergente'''. Lo escribiremos simbólicamente:{{p}}
+*Cuando una sucesión no es convergente diremos que es '''divergente'''.
+*Cuando los términos de una sucesión <math>a_n\;</math> superan a cualquier número "k" tan grande como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión '''tiende''' a <math>+\infty \;</math> o que su '''límite''' es  <math>+\infty \;</math>. Por tanto, la sucesión es '''divergente'''. Lo escribiremos simbólicamente:{{p}}
 <center><math>lim \ a_n = +\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n> k</math></center>
 {{p}}
-*Cuando los términos de una sucesión <math>a_n\;</math> toman valores inferiores a cualquier número "k" negativo tan pequeño como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión '''tiende''' a <math>-\infty \;</math> o que su '''límite''' es  <math>-\infty \;</math>. Diremos que la sucesión es '''divergente'''. Lo escribiremos simbólicamente:{{p}}
+*Cuando los términos de una sucesión <math>a_n\;</math> toman valores inferiores a cualquier número "k" negativo tan pequeño como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión '''tiende''' a <math>-\infty \;</math> o que su '''límite''' es  <math>-\infty \;</math>. Por tanto, la sucesión es '''divergente'''. Lo escribiremos simbólicamente:{{p}}
 <center><math>lim \ a_n = -\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k < 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n< k</math></center>
 {{p}}
 {{Warning|titulo=Advertencia:|texto=
-En esta página consideramos la divergencia como la no existencia de límite y, por tanto, una sucesión puede ser convergente o no convergente (divergente). Sin embargo, algunos matemáticos consideran la divergencia como la tendencia a infinito. En este segundo caso, una sucesión puede ser convergente, divergente o no convergente ni divergente.
+En esta página consideramos la divergencia como la no existencia de límite (<math>l \in \mathbb{R}\;</math>) y, por tanto, una sucesión puede ser convergente o no convergente (divergente). Sin embargo, algunos matemáticos consideran la divergencia como la tendencia a infinito. En este segundo caso, una sucesión puede ser convergente, divergente o no convergente ni divergente.
 }}
 {{p}}
 }}
 {{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Sucesión oscilante''
+===Sucesiones alternadas===
+{{Caja_Amarilla|texto=Una sucesión diremos que es '''alternada''' si sus términos van alternando en signo.}}
+{{p}}
+{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=Son sucesiones alternadas:
+<math>\{1, -1,\, 2, -2,\, 3, -3,\, 4, -4, ...\}\;</math>, que además es oscilante.
+<math>\{1, -1,\, \cfrac{1}{2},\, -\cfrac{1}{2},\, \cfrac{1}{4},\, -\cfrac{1}{4},\, \cfrac{1}{8},\, -\cfrac{1}{8},...\}\;</math>, que además es convergente (a cero).
+}}
+{{p}}
+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Sucesión oscilante y alternada''
 |enunciado=
 La siguiente sucesión no tiene límite
 <center><math>-1,\ 2,\ -3,\ 4,\ -5,\ 6,\ -7,\ 8,\ \cdots</math></center>
 <br>
-Se trata de una que no es ni convergente, ni divergente. ('''sucesión oscilante'''). También es una '''sucesión alternada''' porque sus términos van alternando entre positivos y negativos.
+Se trata de una '''sucesión oscilante'''. También es una '''sucesión alternada''' porque sus términos van alternando entre positivos y negativos.
 Esto es debido a que sus términos se aproximan a dos valores distintos: los términos impares tienden a <math>+\infty \;</math> y los pares a <math>-\infty \;</math>, como puede verse en la representación gráfica de la sucesión.
 [[Imagen:sucesion3.png|200px|right]]
 }}
-}}
-{{p}}
-===Sucesiones alternadas===
-{{Caja_Amarilla|texto=Una sucesión diremos que es '''alternada''' si sus términos van alternando en signo.}}
-{{p}}
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=Son sucesiones alternadas:
-<math>\{1, -1,\, 2, -2,\, 3, -3,\, 4, -4, ...\}\;</math>, que además es oscilante.
-<math>\{1, -1,\, \cfrac{1}{2},\, -\cfrac{1}{2},\, \cfrac{1}{4},\, -\cfrac{1}{4},\, \cfrac{1}{8},\, -\cfrac{1}{8},...\}\;</math>, que además es convergente (a cero).
 }}
 {{p}}
 a. <math>a_n=3+\frac{10}{n}</math>
-: {{consulta|texto=Table[3+10/n,{n,1.,10.}]}} o {{consulta|texto=Table[3+10/n,{n,1.,1000.,100}]}}
+: {{consulta|texto=Table[3+10/n,{n,1.,1000.,100}]}}
 : {{consulta|texto=Plot Table[3+10/n,{n,1.,1000.,100}]}}
 : {{consulta|texto=limit 3+10/n as n->+oo}}
 b. <math>b_n=\frac{n^2-n}{2}</math>
-: {{consulta|texto=Table[(n^2-n)/2,{n,1.,10.}]}} o {{consulta|texto=Table[(n^2-n)/2,{n,1.,1000.,100}]}}
+: {{consulta|texto=Table[(n^2-n)/2,{n,1.,1000.,100}]}}
 : {{consulta|texto=Plot Table[(n^2-n)/2,{n,1.,1000.,100}]}}
 : {{consulta|texto=limit (n^2-n)/2 as n->+oo}}
 b. <math>c_n=\frac{(-1)^n}{n}</math>
-: {{consulta|texto=Table[(-1)^n/n,{n,1.,10.}]}} o {{consulta|texto=Table[(-1)^n/n,{n,1.,1000.,100}]}}
+: {{consulta|texto=Table[(-1)^n/n,{n,1.,1000.,100}]}}
 : {{consulta|texto=Plot Table[(-1)^n/n,{n,1.,1000.,100}]}}
 : {{consulta|texto=limit (-1)^n/n as n->+oo}}
 }}
 {{p}}
 ==Actividades y videotutoriales==
 Los siguientes videotutoriales no solo resumen lo visto hasta ahora sobre límites de sucesiones, sino que profundizan un poco más:

Enlaces internos	Para repasar o ampliar	Enlaces externos
Indice Descartes Manual Casio		WIRIS Geogebra Calculadoras

Límite de una sucesión (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión actual

Tabla de contenidos

Representación gráfica de una sucesión

Ejercicios propuestos

Concepto de límite de una sucesión

Sucesiones oscilantes

Sucesiones alternadas

Ejercicios

Ejercicios propuestos

Actividades y videotutoriales

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas