Límite de una sucesión (1ºBach)
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La siguiente sucesión no tiene límite | La siguiente sucesión no tiene límite | ||
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<center><math>-1,\ 2,\ -3,\ 4,\ -5,\ 6,\ -7,\ 8,\ \cdots</math></center> | <center><math>-1,\ 2,\ -3,\ 4,\ -5,\ 6,\ -7,\ 8,\ \cdots</math></center> | ||
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- | Se trata de una que no es ni convergente, ni divergente. ('''sucesión oscilante'''). También es una '''sucesión alternada''' porque sus términos van alternando entre positivos y negativos. | + | Se trata de una '''sucesión oscilante'''. También es una '''sucesión alternada''' porque sus términos van alternando entre positivos y negativos. |
Esto es debido a que sus términos se aproximan a dos valores distintos: los términos impares tienden a <math>+\infty \;</math> y los pares a <math>-\infty \;</math>, como puede verse en la representación gráfica de la sucesión. | Esto es debido a que sus términos se aproximan a dos valores distintos: los términos impares tienden a <math>+\infty \;</math> y los pares a <math>-\infty \;</math>, como puede verse en la representación gráfica de la sucesión. | ||
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2b. <math>c_n=\frac{(-1)^n}{n}</math> | 2b. <math>c_n=\frac{(-1)^n}{n}</math> | ||
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==Actividades y videotutoriales== | ==Actividades y videotutoriales== | ||
Los siguientes videotutoriales no solo resumen lo visto hasta ahora sobre límites de sucesiones, sino que profundizan un poco más: | Los siguientes videotutoriales no solo resumen lo visto hasta ahora sobre límites de sucesiones, sino que profundizan un poco más: |
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Tabla de contenidos |
Para acercarnos a la idea de límite, vamos a empezar viendo algunas representaciones gráficas de sucesiones.
(pág. 61)
Representación gráfica de una sucesión
Para representar gráficamente una sucesión , construiremos una tabla donde anotaremos el valor de
para distintos valores de n.
Las parejas obtenidas en la tabla, son las coordenadas de los puntos de la representación gráfica de la sucesión, que dibujaremos en unos ejes de coordenadas cartesianos.
Ejercicios resueltos: Representación gráfica y límite de una sucesión
Representa graficamente las siguientes sucesiones:
- a)
- b)
a) ![]() Construimos la tabla de valores:
Se observa que los términos de la sucesión se acercan cada vez mas a 5. Concluiremos diciendo que el límite de esta sucesión es 0, y lo escribiremos simbólicamente de la siguiente manera: ![]() |
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena de Geogebra podrás ver como se representa gráficamente la sucesión .
b) ![]() Construimos la tabla de valores:
Se observa que los términos crecen y se hacen indefinidamente grandes. Concluiremos diciendo que el límite de esta sucesión es ![]() |
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena de Geogebra podrás ver como se representa gráficamente la sucesión .
Observa que, en ambos ejemplos, los valores obtenidos cuando n es pequeño, no son representativos del valor del límite. Por tanto, el valor del límite debe deducirse tomando valores de n suficientemente grandes.
Actividad: Representación gráfica y límite de una sucesión 1. Dada la sucesión
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: 1.
2.
|
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Representación gráfica y límite de una sucesión |
(pág. 62)
Concepto de límite de una sucesión
- Cuando los términos de una sucesión
podemos conseguir que se aproximen a un número
, tanto como queramos (a menos de una distancia
tan pequeña como deseemos) al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a
o que su límite es
. Diremos que la sucesión es convergente. Lo escribiremos simbólicamente:
![lim \ a_n = l \ \Leftrightarrow \ \forall \, \varepsilon > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ |a_n -l|<\varepsilon](/wikipedia/images/math/e/9/8/e982c638784a727d1fde8027c520991e.png)
- Cuando una sucesión no es convergente diremos que es divergente.
- Cuando los términos de una sucesión
superan a cualquier número "k" tan grande como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a
o que su límite es
. Por tanto, la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:
![lim \ a_n = +\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n> k](/wikipedia/images/math/8/2/4/824cad0e9705634f75ec17bafad9447f.png)
- Cuando los términos de una sucesión
toman valores inferiores a cualquier número "k" negativo tan pequeño como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a
o que su límite es
. Por tanto, la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:
![lim \ a_n = -\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k < 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n< k](/wikipedia/images/math/6/e/4/6e46073601e37c2f53f489970935f880.png)
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Tutorial en el que se explica y trabajan los límites de sucesiones. Mediante ejemplos se da a conocer este concepto matemático así como los distintos casos que pueden ocurrir de sucesiones convergentes, divergentes o bien cuando no existe límite.
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Tutorial en el que se explica el concepto matemático del infinito, así como las operaciones aritméticas que se pueden hacer con él y aquellas que no, de las cuales surgen algunas de las indeterminaciones que aparecerán en el cálculo de límites.
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Ejercicios de iniciación al cálculo de límites de sucesiones.
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Ejercicios de nivel básico de cálculo de límites de sucesiones, con término general polinómico.
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Ejercicios de nivel básico de cálculo de límites de sucesiones, con término general en quebrado algebraico..
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena de Geogebra podrás ver como se representa gráficamente la sucesión y como se interpresta que su límite sea igual a 5.
Teorema
Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente. Mas concretamente:
- Una sucesión de números reales creciente y acotada superiormente es convergente.
- Una sucesión de números reales decreciente y acotada inferiormente es convergente.
La demostración excede el nivel de este curso
(pág. 63)
Sucesiones oscilantes
Las sucesiones oscilantes son sucesiones divergentes pero que no tienden ni a ni a
.
En esta página consideramos la divergencia como la no existencia de límite () y, por tanto, una sucesión puede ser convergente o no convergente (divergente). Sin embargo, algunos matemáticos consideran la divergencia como la tendencia a infinito. En este segundo caso, una sucesión puede ser convergente, divergente o no convergente ni divergente.
Sucesiones alternadas
Una sucesión diremos que es alternada si sus términos van alternando en signo.
Son sucesiones alternadas:
, que además es oscilante.
, que además es convergente (a cero).
Ejemplo: Sucesión oscilante y alternada
La siguiente sucesión no tiene límite
![a_n=(-1)^{n+1} \cdot n](/wikipedia/images/math/a/8/3/a8342c64f54d98bd29419dbf927043dd.png)
En efecto, los términos de esta sucesión son:
![]()
Esto es debido a que sus términos se aproximan a dos valores distintos: los términos impares tienden a |
![](/wikipedia/images/thumb/f/f8/Web.png/22px-Web.png)
Sucesiones alternadas y oscilantes.
(Pág. 63)
Ejercicios
Ejercicios resueltos: Límite de una sucesión
1. Estudiar el comportamiento de las siguientes sucesiones para valores de n avanzados e indicar su límite:
- a)
- b)
2. Comprobar si las siguientes sucesiones tienen límite:
- a)
- b)
Utilizaremos Wolfram para comprobarlos:
1a.
- Table[3+10/n,{n,1.,1000.,100}]
- Plot Table[3+10/n,{n,1.,1000.,100}]
- limit 3+10/n as n->+oo
1b.
- Table[(n^2-n)/2,{n,1.,1000.,100}]
- Plot Table[(n^2-n)/2,{n,1.,1000.,100}]
- limit (n^2-n)/2 as n->+oo
2a.
- Table[(-3)^n,{n,1.,10.}]
- Plot Table[(-3)^n,{n,1.,10.}]
- limit (-3)^n as n->+oo
2b.
- Table[(-1)^n/n,{n,1.,1000.,100}]
- Plot Table[(-1)^n/n,{n,1.,1000.,100}]
- limit (-1)^n/n as n->+oo
Nota: La sucesión 2b no es una sucesión oscilante ya que tiene límite igual a cero. El hecho de que alterne signos hace que reciba el nombre se sucesión alternada.
Ejercicio: Límite de una sucesión 1. Representa gráficamente las siguientes sucesiones e indica si tienen o no límite, calculándolo en su caso:
Solución: Límites:
Representación gráfica: En la siguiente escena tienes la representación gráfica de las sucesiones. Pulsa los cursores "sucesión" para cambiar de sucesión. Haz uso del zoom y del cambio de escala O.x y O.y para visualizar mejor los resultados. Mueve el punto amarillo para ver la sucesión término a término. |
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Límite de una sucesión |
Actividades y videotutoriales
Los siguientes videotutoriales no solo resumen lo visto hasta ahora sobre límites de sucesiones, sino que profundizan un poco más:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Concepto de sucesión de números reales. Ejemplos.
- Introducción de la notación necesaria para el comprender el concepto de límite de una sucesión de números reales.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Representación gráfica de una sucesión de números reales.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Definición rigurosa de límite finito de una sucesión de números reales. (sucesión convergente)
- Ejemplos.
- Visualización del concepto de límite.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Demostrar que
usando la definición rigurosa de límite.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Definición rigurosa de límite infinito (sucesión divergente)
- Ejemplos.
- Visualización del concepto de límite infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Propiedades aritméticas de los límites (límite de una suma, de un producto, de un cociente, de una potencia, etc.)
- Ejemplos.
- Indeterminaciones matemáticas.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Las diversas indeterminaciones matemáticas.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Definición de infinito potencial de grado k.
- Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Cociente de infinitos potenciales.
- Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Definición de infinito de orden superior, inferior o igual a otro infinito.
- Ejemplos.