Límite de una sucesión (1ºBach)

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La siguiente sucesión no tiene límite La siguiente sucesión no tiene límite
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==Actividades y videotutoriales== ==Actividades y videotutoriales==
Los siguientes videotutoriales no solo resumen lo visto hasta ahora sobre límites de sucesiones, sino que profundizan un poco más: Los siguientes videotutoriales no solo resumen lo visto hasta ahora sobre límites de sucesiones, sino que profundizan un poco más:

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Tabla de contenidos

[esconder]

Para acercarnos a la idea de límite, vamos a empezar viendo algunas representaciones gráficas de sucesiones.

(pág. 61)

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Representación gráfica de una sucesión

Para representar gráficamente una sucesión a_n\;, construiremos una tabla donde anotaremos el valor de a_n\; para distintos valores de n.

Las parejas (n,a_n),\ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots obtenidas en la tabla, son las coordenadas de los puntos de la representación gráfica de la sucesión, que dibujaremos en unos ejes de coordenadas cartesianos.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Representación gráfica y límite de una sucesión

Representa graficamente las siguientes sucesiones:

a) a_{n} = \cfrac{5n}{n+3}

b) a_{n} = \cfrac{n^2}{5}-4n\;

Observa que, en ambos ejemplos, los valores obtenidos cuando n es pequeño, no son representativos del valor del límite. Por tanto, el valor del límite debe deducirse tomando valores de n suficientemente grandes.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Representación gráfica y límite de una sucesión

(Pág. 61)

1, 2, 3

(pág. 62)

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Concepto de límite de una sucesión

  • Cuando los términos de una sucesión a_n\; podemos conseguir que se aproximen a un número l \in \mathbb{R}, tanto como queramos (a menos de una distancia \varepsilon \; tan pequeña como deseemos) al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a l\; o que su límite es l\;. Diremos que la sucesión es convergente. Lo escribiremos simbólicamente:

lim \ a_n = l \ \Leftrightarrow \ \forall \, \varepsilon > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ |a_n -l|<\varepsilon

  • Cuando una sucesión no es convergente diremos que es divergente.
  • Cuando los términos de una sucesión a_n\; superan a cualquier número "k" tan grande como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a +\infty \; o que su límite es +\infty \;. Por tanto, la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:

lim \ a_n = +\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n> k

  • Cuando los términos de una sucesión a_n\; toman valores inferiores a cualquier número "k" negativo tan pequeño como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a -\infty \; o que su límite es -\infty \;. Por tanto, la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:

lim \ a_n = -\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k < 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n< k

ejercicio

Teorema

Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente. Mas concretamente:

  • Una sucesión de números reales creciente y acotada superiormente es convergente.
  • Una sucesión de números reales decreciente y acotada inferiormente es convergente.

(pág. 63)

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Sucesiones oscilantes

Las sucesiones oscilantes son sucesiones divergentes pero que no tienden ni a +\infty \; ni a -\infty \;.

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Sucesiones alternadas

Una sucesión diremos que es alternada si sus términos van alternando en signo.

ejercicio

Ejemplo: Sucesión oscilante y alternada

La siguiente sucesión no tiene límite

a_n=(-1)^{n+1} \cdot n

(Pág. 63)

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Ejercicios

ejercicio

Ejercicios resueltos: Límite de una sucesión

1. Estudiar el comportamiento de las siguientes sucesiones para valores de n avanzados e indicar su límite:

a) a_n=3+\frac{10}{n}
b) b_n=\frac{n^2-n}{2}


2. Comprobar si las siguientes sucesiones tienen límite:

a) a_n=(-3)^n \;
b) c_n=\frac{(-1)^n}{n}

ejercicio

Ejercicio: Límite de una sucesión

1. Representa gráficamente las siguientes sucesiones e indica si tienen o no límite, calculándolo en su caso:

a) a_n=n^2\;

b) b_n=\cfrac{7n}{n+1}

c) c_n=\cfrac{n^2-6n-1}{5n+1}

d) d_n=(-1)^n \cdot (2n+1)

e) e_n=\cfrac{n^2-2}{2n^2+1}

f) f_n=\cfrac{n^3-15n^2+25}{2n^2-1}

g) g_n=\cfrac{90n+90}{n^2}

h) h_n=\sqrt{4n+5}

i) i_n= \begin{cases} 2, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 4, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}

j) j_n=\cfrac{(-1)^n \cdot (n+5)}{n^2}

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Límite de una sucesión

(Pág. 63)

4, 5

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Actividades y videotutoriales

Los siguientes videotutoriales no solo resumen lo visto hasta ahora sobre límites de sucesiones, sino que profundizan un poco más:

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