Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Razones trigonométricas de un ángulo agudo
- 2.1 Razones trigonométricas inversas
3 Relaciones fundamentales de la trigonometría
4 Razones trigonométricas de ángulos complementarios
5 Ejercicios

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Introducción

La trigonometría es una rama de la matemática que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Su significado etimológico es la medición de los triángulos, ya que deriva de los términos griegos trigōnos 'triángulo' y metron 'medida'.

Introducción a la trigonometría (5'48") Sinopsis:

Qué es a la trigonometría.
Triángulos: nomenclatura, propiedades y clasificación.

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Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo agudo $\alpha \,$ , de la siguiente manera:

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa:

$sen \, \alpha= \frac{c_o}{h} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}}$

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente (o contiguo) al ángulo y la hipotenusa:

$cos \, \alpha= \frac{c_c}{h} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}$

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente:

$tg \, \alpha= \frac{c_o}{c_c} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}$

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Tutorial 1 (7'59") Sinopsis:

Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Ejemplos.

Tutorial 2 (37'54") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja los conceptos más básicos de la trigonometría plana, resolviendo ejercicios sencillos en los que se aplican dichas definiciones.

00:00 a 13:05: Conceptos y definiciones básicas. Razones trigonométricas.
13:05 a 17:13: Propiedades básicas trigonométricas.
17:13 a 25:25: Ejercicios básicos (seno, coseno, tangente).
25:25 a 29:05: Ejercicios básicos (arcoseno, arcocoseno, arcotangente).
29:05 a 37:54: Problemas de Trigonometría.

Tutorial 3 (14'07") Sinopsis:

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Ejemplo.

Tutorial 4 (12'19") Sinopsis:

Las definiciones de las razones trigonométricas solo dependen de valor del ángulo y no del tamaño del triángulo.

Tutorial 5 (11'54") Sinopsis:

Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Ejemplos 1a (9'32") Sinopsis:

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Ejemplo.

Ejemplos 1b (13'14") Sinopsis:

Más ejemplos de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo Descripción:

En esta escena podrás ver como se calculan las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Actividad 1a Descripción:

Aprende a ubicar la hipotenusa, el cateto opuesto y el cateto adyacente de un triángulo rectángulo.

Actividad 1b Descripción:

Aprende a calcular las razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Autoevaluación Descripción:

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

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Razones trigonométricas inversas

Las razones trigonométricas inversas se definen de la siguiente manera:

La cosecante (abreviado como csc o cosec), razón inversa del seno:

$cosec \, \alpha= \frac{1}{sen \, \alpha} = \frac{h}{c_o}$

La secante (abreviado como sec), razón inversa del coseno:

$sec \, \alpha= \frac{1}{cos \, \alpha} = \frac{h}{c_c}$

La cotangente (abreviado como cot), razón inversa de la tangente:

$cotg \, \alpha= \frac{1}{tg \, \alpha} = \frac{c_c}{c_o}$

Razones trigonométricas inversas

Tutorial 1 (15'20") Sinopsis:

Razones trigonométricas inversas (en el video las llama recíprocas) en un triángulo rectángulo. Ejemplo.

Tutorial 2a (12´47") Sinopsis:

Las razones trigonométricas "con brocha gorda":

Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
Razones trigonométricas inversas.
Ejemplos.

Tutorial 2b (9´25") Sinopsis:

Las razones trigonométricas "con pincel":

Definición razonada de las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Ejercicio 1 (4'52") Sinopsis:

Calcula las razones trigonométricas del ángulo B de un triángulo rectángulo, sabiendo que el cateto AC mide 12 cm, y que el cateto BC mide 5 cm.

Ejercicio 2 (4'46") Sinopsis:

Calcula las razones trigonométricas del ángulo de la figura que te dan en el video.

Ejercicio 3 (5'12") Sinopsis:

Calcula las razones trigonométricas del ángulo de la figura que te dan en el video.

Ejercicio 4 (4'25") Sinopsis:

Calcula las razones trigonométricas del ángulo A, sabiendo que a=12, b=5 y c=13.

Ejercicio 5 (7'24") Sinopsis:

Calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo $\hat E\;$ , sabiendo que $sen\, \hat E=\cfrac{5}{\sqrt{41}}$ , que $cot\,\hat E=\cfrac{8}{10}$ , que el lado opuesto a $E\;$ mide 5 y la hipotenusa es $\sqrt{41}\;$ .

Razones trigonométricas inversas

Actividad 1 Descripción:

Razones trigonométricas inversas en triángulos rectángulos.

Aviso: En el video las llama recíprocas en lugar de inversas.

Actividad 2 Descripción:

Razones trigonométricas directas e inversas en triángulos rectángulos:

Si pulsas el botón "EJERCICIO" cambiarán los datos del triángulo.
Si pulsas el botón "ángulo" cambiará el ángulo al que se le calculan las razones trigonométricas.
Si pulsas el botón "OTRAS RAZONES" alternararás entre las razones trigonométricas y sus recíprocas.
Si pulsas el botón "AUTOEVALUACIÓN" podrás realizar una tanda de ejercicios para comprobar lo que sabes.

Autoevaluación Descripción:

Razones trigonométricas inversas en triángulos rectángulos.

Aviso: En la actividad las llama recíprocas en lugar de inversas.

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Relaciones fundamentales de la trigonometría

Relaciones fundamentales de la trigonometría

1. $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1$ (Identidad pitagórica)

2. $tg \, \alpha =\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}$

3. $1+tg^2 \, \alpha =\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}$

Demostración:

1. $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = \left ( \cfrac{c_o}{h} \right )^2 + \left ( \cfrac{c_c}{h} \right )^2 =\cfrac {c_o^2+c_c^2}{h^2}= \cfrac {h^2}{h^2}=1$

ya que, por el teorema de Pitágoras, $c_o^2+c_c^2=h^2\;$ .

2. $\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}=\cfrac{c_o}{h}:\cfrac{c_c}{h}=\cfrac{c_o}{c_c}=tg \, \alpha$

3. $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1 \ \rightarrow \ \cfrac{sen^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}+ \cfrac{cos^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha} \ \rightarrow \ tg^2 \, \alpha+1=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}$

Identidades trigonométricas

Tutorial 1 (7´13") Sinopsis:

Demostración de las relaciones fundamentales de la trigonometría.

Tutorial 2 (7´08") Sinopsis:

Demostración de la identidad pitagórica.

Ejercicio 1 (9´45") Sinopsis:

Dada una de las razones trigonométricas de un ángulo, determinar las cinco restantes, haciendo uso de las relaciones fundamentales de la trigonometría.

a) $sen \, \mu = \cfrac{1}{3}$ ; b) $cos \, \mu = \cfrac{1}{2}$ ; c) $tg \, \mu = 2$

d) $cotg \, \mu = 1$ ; e) $sec \, \mu = 2$ ; f) $cosec \, \mu = 3$

Ejercicio 2 (3'41") Sinopsis:

Simplifica: $M=\sqrt{cotg^2 \theta + cos \, \theta \, \sqrt{1 + tg^2 \theta}}$

Ejercicio 3 (7'45") Sinopsis:

Comprueba las siguientes identidades trigonométricas:

a) $tg \, \alpha + cotg \, \alpha = sec \, \alpha \cdot cosec \, \alpha$