Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)
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{{p}} | {{p}} | ||
- | (Pág. 106) | + | ==Introducción== |
- | == Razones trigonométricas de un ángulo agudo== | + | {{Definición de trigonometría}} |
- | {{Caja_Amarilla|texto=Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las '''razones trigonométricas''' del ángulo agudo <math> \alpha \, </math>, de la siguiente manera: | + | |
- | {{Tabla75|celda2= | + | |
- | <center>[[Image:Trigono b00.png|300px]]</center> | + | |
- | |celda1={{p}} | + | |
- | * El '''seno''' (abreviado como ''sen'', o ''sin'' por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:{{p}} | + | |
- | ::<math> sen \, \alpha= \frac{a}{c} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}} </math> | + | |
- | + | ||
- | * El '''coseno''' (abreviado como ''cos'') es la razón entre el cateto adyacente (o contiguo) y la hipotenusa:{{p}} | + | |
- | ::<math> cos \, \alpha= \frac{b}{c} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} </math> | + | |
- | + | ||
- | * La '''tangente''' (abreviado como ''tan'' o ''tg'') es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:{{p}} | + | |
- | ::<math> tg \, \alpha= \frac{a}{b} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}} </math> | + | |
- | }} | + | |
- | }} | + | |
{{p}} | {{p}} | ||
- | {{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos|contenido= | + | ==Razones trigonométricas de un ángulo agudo== |
- | <center><iframe> | + | {{Razones trigonométricas de un ángulo agudo}} |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/Trigonometria/trigo1b.html | + | {{Videos y actividades: Razones trigonométricas}} |
- | width=710 | + | {{p}} |
- | height=250 | + | ===Razones trigonométricas inversas=== |
- | name=myframe | + | {{Razones trigonométricas inversas}} |
- | </iframe></center> | + | {{Videos y actividades: Razones trigonométricas inversas}} |
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/Trigonometria/trigo1b.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
- | }} | + | |
{{p}} | {{p}} | ||
- | ==Razones trigonométricas inversas== | + | ==Relaciones fundamentales de la trigonometría== |
- | {{Caja_Amarilla|texto=Las '''razones trigonométricas inversas''' se definen de la siguiente manera: | + | {{Relaciones fundamentales de la trigonometría}}{{p}} |
- | * La '''cosecante''' (abreviado como ''csc'' o ''cosec''), razón inversa del seno:{{p}} | + | ==Razones trigonométricas de ángulos complementarios== |
- | ::<math> cosec \, \alpha= \frac{1}{sen \, \alpha} = \frac{c}{a}</math> | + | {{Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes}}{{p}} |
- | + | ||
- | * La '''secante''' (abreviado como ''sec''), razón inversa del coseno:{{p}} | + | |
- | ::<math> sec \, \alpha= \frac{1}{cos \, \alpha} = \frac{c}{b}</math> | + | |
- | + | ||
- | * La '''cotangente''' (abreviado como ''cot''), razón inversa de la tangente:{{p}} | + | |
- | ::<math> cot \, \alpha= \frac{1}{tg \, \alpha} = \frac{b}{a}</math> | + | |
+ | ==Ejercicios== | ||
+ | {{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas|enunciado= | ||
+ | {{Video_enlace_abel | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 1 | ||
+ | |duracion=7´05" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=nu5TXKeJ5mw&list=PLHwz3md30-3mYMmrtIHx1BibUv3tim2Vi&index=5 | ||
+ | |sinopsis=Averigua los datos que te piden en la figura dada en el video. | ||
}} | }} | ||
- | {{p}} | + | {{Video_enlace_abel |
- | {{Video_enlace2 | + | |titulo1=Ejercicio 2 |
- | |titulo1=Razones trigonométricas de un ángulo agudo (con brocha gorda) | + | |duracion=9´24" |
- | |duracion=12´47" | + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=uuP-NFAsELs&index=6&list=PLHwz3md30-3mYMmrtIHx1BibUv3tim2Vi |
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/05-angulos-agudos/02-razones-trigonometricas-de-un-angulo-agudo-con-brocha-gorda#.VCe_OPl_u2E | + | |sinopsis=En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple que <math>tg\, \hat B=2 \, sec \, \hat A</math>. |
- | |sinopsis=*Razones trigonométricas de un ángulo agudo. | + | |
- | *Razones trigonométricas inversas. | + | |
- | *Ejemplos. | + | |
- | }} | + | |
- | {{p}} | + | |
- | {{Video_enlace2 | + | |
- | |titulo1=Razones trigonométricas de un ángulo agudo (con pincel) | + | |
- | |duracion=9´25" | + | |
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/05-angulos-agudos/06-razones-trigonometricas-de-un-angulo-agudo-con-pincel#.VCfFDPl_u2E | + | |
- | |sinopsis=*Definición razonada de las razones trigonométricas de un ángulo agudo. | + | |
- | }} | + | |
- | {{p}} | + | |
- | {{Video_enlace2 | + | |
- | |titulo1=6 ejercicios (Conocida una razón trigonométrica, dibujar el ángulo) | + | |
- | |duracion=8´19" | + | |
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/05-angulos-agudos/0201-seis-ejercicios-conocida-una-razon-trigonometrica-dibujar-el-angulo#.VCe_kPl_u2E | + | |
- | |sinopsis=En este vídeo jugamos a dibujar un ángulo del que se conoce una de sus seis razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante). | + | |
+ | Calcula <math>E= cosec^2\,\hat A- 2\,sec\,\hat B</math>. | ||
}} | }} | ||
- | {{p}} | + | {{Video_enlace_abel |
- | {{AI_enlace | + | |titulo1=Ejercicio 3 |
- | |titulo1=Autoevaluación: ''Razones trigonométricas'' | + | |duracion=5´53" |
- | |descripcion={{p}} | + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=CL7Jh7tCTkQ&index=7&list=PLHwz3md30-3mYMmrtIHx1BibUv3tim2Vi |
- | *Si pulsas el botón "EJERCICIO" cambiarán los datos del triángulo. | + | |sinopsis=Averigua el valor de la expresión que te piden a partir de la figura dada en el video. |
- | *Si pulsas el botón "ángulo" cambiará el ángulo al que se le calculan las razones trigonométricas. | + | |
- | *Si pulsas el botón "OTRAS RAZONES" alternararás entre las razones trigonométricas y sus recíprocas. | + | |
- | *Si pulsas el botón "AUTOEVALUACIÓN" podrás realizar una tanda de ejercicios para comprobar lo que sabes. | + | |
- | <center><iframe> | + | |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/Trigonometria/trigo1.html | + | |
- | width=710 | + | |
- | height=250 | + | |
- | name=myframe | + | |
- | </iframe></center> | + | |
- | |url1=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/Trigonometria/trigo1.html | + | |
}} | }} | ||
- | {{p}} | + | {{Video_enlace_abel |
+ | |titulo1=Ejercicio 4 | ||
+ | |duracion=5´24" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=Yz46LQqonvs&index=8&list=PLHwz3md30-3mYMmrtIHx1BibUv3tim2Vi | ||
+ | |sinopsis=En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cumple que <math>cotg\, \hat A=\cfrac{5}{12}</math>. | ||
- | ==Relaciones fundamentales de la trigonometría== | + | Calcula <math>M= sen\,\hat A- sen\,\hat C</math>. |
- | {{Teorema|titulo=Relaciones fundamentales de la trigonometría | + | |
- | |enunciado={{p}} | + | |
- | '''1.''' {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1</math>}} | + | |
- | {{p}} | + | |
- | '''2.''' <math>tg \, \alpha =\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}</math> | + | |
- | '''3.''' {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>1+tg^2 \, \alpha =\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}</math>}} | ||
- | |demo= | ||
- | '''1.''' <math>sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = \left ( \cfrac{a}{c} \right )^2 + \left ( \cfrac{b}{c} \right )^2 =\cfrac {a^2+b^2}{c^2}= \cfrac {c^2}{c^2}=1</math> | ||
- | |||
- | ya que, por el [[teorema de Pitágoras]], {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>a^2+b^2=c^2\;</math>}}. | ||
- | |||
- | |||
- | '''2.''' <math>\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}=\cfrac{a}{c}:\cfrac{b}{c}=\cfrac{a}{b}=tg \, \alpha </math> | ||
- | |||
- | |||
- | '''3.''' {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>1+tg^2 \, \alpha =1+\cfrac{sen^2 \, \alpha }{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{cos^2 \, \alpha + sen^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}</math>}} | ||
- | {{p}} | ||
- | |||
- | donde en el último paso hemos utilizado la primera relación fundamental: {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1</math>}} | ||
}} | }} | ||
- | + | {{Video_enlace_abel | |
- | {{Video_enlace2 | + | |titulo1=Ejercicio 5 |
- | |titulo1=Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo | + | |duracion=6´54" |
- | |duracion=7´13" | + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=md5pl_6-g5M&index=9&list=PLHwz3md30-3mYMmrtIHx1BibUv3tim2Vi |
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/05-angulos-agudos/03-relaciones-entre-las-razones-trigonometricas-de-un-angulo#.VCfBPvl_u2E | + | |sinopsis=Averigua el valor de la expresión que te piden a partir de la figura dada en el video. |
- | |sinopsis=Videotutorial | + | |
}} | }} | ||
- | {{p}} | + | {{Video_enlace_abel |
+ | |titulo1=Ejercicio 6 | ||
+ | |duracion=10´30" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=SIpe683DA9Y&t=183s | ||
+ | |sinopsis= | ||
+ | :a) Determina las 6 razones trigonométricas del mayor ángulo agudo del triángulo rectángulo ABC, recto en A, siendo b=15cm y c=8cm. | ||
- | {{p}} | + | :b) En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro. Calcula el coseno del mayor ángulo agudo. |
- | {{Video_enlace2 | + | |
- | |titulo1=6 ejercicios (Conocida una razón trigonométrica, hallar las otras) | + | |
- | |duracion=9´45" | + | |
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/05-angulos-agudos/0301-seis-ejercicios-conocida-una-razon-trigonometrica-hallar-las-otras#.VCfBqfl_u2E | + | |
- | |sinopsis=Videotutorial | + | |
}} | }} | ||
- | {{p}} | + | {{Video_enlace_matemovil |
- | {{Ejemplo | + | |titulo1=Ejercicio 7 |
- | |titulo=Ejercicio resuelto: ''Razones trigonométricas de un ángulo agudo'' | + | |duracion=22'11" |
- | |enunciado={{p}} | + | |sinopsis=*Razones trigonométricas directas e inversas. Propiedades. |
- | '''1.''' Conociendo {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>cos \, \alpha = 0.86</math>}}, calcular <math>sen \, \alpha</math>{{b}} y{{b}} <math>tg \, \alpha</math>. | + | *Razones trigonométricas de ángulos complementarios. |
+ | *Ejercicios: | ||
+ | # Calcula las 6 razones trigonométricas de <math>\alpha\;</math> sabiendo que <math>sen\,\alpha=\cfrac{3}{5}</math>. | ||
+ | # Halla el valor de <math>y\;</math> en la siguiente igualdad: <math>tg\,(2y-11) \cdot cotg\,(29-2y)=1</math> | ||
+ | ::(Pista: <math>tg\,\alpha \cdot cotg\,\alpha=1</math>) | ||
- | '''2.''' Conociendo {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>tg \, \alpha = 2.83</math>}}, calcular <math>sen \, \alpha</math>{{b}} y{{b}} <math>cos \, \alpha</math>. | ||
- | |sol= | ||
- | Hay que usar las relaciones fundamentales de la trigonometría para despejar la razón trigonométrica desconocida: | ||
- | '''1.''' <math>sen \, \alpha = 0.51</math>{{b}} y{{b}} <math>tg \, \alpha=0.59</math> | + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=rj0kkRM-JsM&index=11&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33 |
- | + | ||
- | '''2.''' <math>sen \, \alpha = 0.93</math>{{b}} y{{b}} <math>tg \, \alpha=0.33</math> | + | |
}} | }} | ||
- | {{p}} | + | {{Video_enlace_matemovil |
- | + | |titulo1=Ejercicio 8 | |
- | ==Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes== | + | |duracion=18'13" |
- | A continuación las razones trigonométricas de algunos ángulos que es conveniente recordar: | + | |sinopsis=2 ejercicios en los que deberás averiguar los datos que te piden en las figuras dada en el video. |
- | {{p}} | + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=95f_qIWR1ZU&index=12&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33 |
- | <center> | + | |
- | {| {{tablabonita_blanca}} | + | |
- | |-style="background:#e1ecf7;" align="center" | + | |
- | ! '''Grados''' | + | |
- | ! sen | + | |
- | ! cos | + | |
- | ! tg | + | |
- | ! cosec | + | |
- | ! sec | + | |
- | ! cot | + | |
- | |----- | + | |
- | | align="center" | <math>30^o \,</math> | + | |
- | | align="center" | <math>\frac{1}{2}</math> | + | |
- | | align="center" | <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | + | |
- | | align="center" | <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> | + | |
- | | align="center" | <math>2 \,</math> | + | |
- | | align="center" | <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math> | + | |
- | | align="center" | <math>\sqrt{3}</math> | + | |
- | |----- | + | |
- | | align="center" | <math>45^o \,</math> | + | |
- | | align="center" | <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | + | |
- | | align="center" | <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | + | |
- | | align="center" | <math>1 \,</math> | + | |
- | | align="center" | <math>\sqrt{2}</math> | + | |
- | | align="center" | <math>\sqrt{2}</math> | + | |
- | | align="center" | <math>1 \,</math> | + | |
- | |----- | + | |
- | | align="center" | <math>60^o \,</math> | + | |
- | | <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | + | |
- | | align="center" | <math>\frac{1}{2}</math> | + | |
- | | align="center" | <math>\sqrt{3}</math> | + | |
- | | align="center" | <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math> | + | |
- | | align="center" | <math>2 \,</math> | + | |
- | | align="center" | <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> | + | |
- | |}</center> | + | |
- | {{p}} | + | |
- | {{Video_enlace2 | + | |
- | |titulo1=Razones trigonométricas de ángulos complementarios | + | |
- | |duracion=4´54" | + | |
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/05-angulos-agudos/04-razones-trigonometricas-de-angulos-complementarios#.VCfDrPl_u2E | + | |
- | |sinopsis=*Dos ángulos agudos se dicen complementarios si suman 90º. | + | |
- | *El seno de un ángulo agudo coincide con el coseno de su complementario. | + | |
- | *La tangente de un ángulo agudo coincide con la cotangente de su complementario. | + | |
- | *La secante de un ángulo agudo coincide con la cesecante de su complementario. | + | |
- | + | ||
}} | }} | ||
- | {{p}} | + | {{Video_enlace_matemovil |
- | {{Video_enlace2 | + | |titulo1=Ejercicio 9 |
- | |titulo1=Razones trigonométricas de los ángulos más famosos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º) | + | |duracion=11'52" |
- | |duracion=6´59" | + | |sinopsis=Halla el valor de <math>E=\cfrac{sen\,(x+y+50^\circ)}{cos\,(y-x-10^\circ)}</math> sabiendo que <math>cot\,(x+30^\circ)\cdot tg\,(y+20^\circ)=tg\,(60^\circ-x)</math>. |
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/05-angulos-agudos/05-razones-trigonometricas-de-los-angulos-mas-famosos#.VCfETfl_u2E | + | |
- | |sinopsis=*Apoyándonos en un triángulo equilátero de lado unidad, en este vídeo determinamos las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º. | + | |
- | *También determinamos las razones trigonométricas del ángulo de 45º; para ello nos servimos de un triángulo rectángulo de catetos unitarios. | + | |
- | *Las razones trigonométricas en cuestión deben memorizarse. | + | |
+ | '''Nota:''' Recuerda que <math>tg\,45^\circ=1</math>. | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=JCN7xvZU57Q&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=13 | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 10 | ||
+ | |duracion=12'47" | ||
+ | |sinopsis=Observa el dibujo que aparecerá en el video y asocia cada expresión del lado izquierdo con la razón trigonométrica correspondiente del lado derecho. | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=TTTRRz-K4zk | ||
+ | }} | ||
}} | }} | ||
- | {{p}} |
Revisión actual
Tabla de contenidos[esconder] |
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Introducción
La trigonometría es una rama de la matemática que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Su significado etimológico es la medición de los triángulos, ya que deriva de los términos griegos trigōnos 'triángulo' y metron 'medida'.
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Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo agudo , de la siguiente manera:
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Razones trigonométricas inversas
Las razones trigonométricas inversas se definen de la siguiente manera:
- La cosecante (abreviado como csc o cosec), razón inversa del seno:
|
- La secante (abreviado como sec), razón inversa del coseno:
|
- La cotangente (abreviado como cot), razón inversa de la tangente:
|
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Relaciones fundamentales de la trigonometría
Ejercicio resuelto: Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Sea

- Sabiendo que
, calcular
y
.
- Sabiendo que
, calcular
y
.
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Razones trigonométricas de ángulos complementarios
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