Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 15:38 17 sep 2016
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→Razones trigonométricas inversas)
← Ir a diferencia anterior		 Revisión actual
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes)
Línea 7: Línea 7:
__TOC__ __TOC__
{{p}} {{p}}
-(Pág. 106)+==Introducción==
-== Razones trigonométricas de un ángulo agudo==+{{Definición de trigonometría}}
-{{Caja_Amarilla|texto=Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las '''razones trigonométricas''' del ángulo agudo <math> \alpha \, </math>, de la siguiente manera:+
-{{Tabla75|celda2=+
-<center>[[Image:Trigono b00.png|300px]]</center>+
-|celda1={{p}}+
-* El '''seno''' (abreviado como ''sen'', o ''sin'' por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:{{p}}+
-::<math> sen \, \alpha= \frac{a}{c} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}} </math>+
- +
-* El '''coseno''' (abreviado como ''cos'') es la razón entre el cateto adyacente (o contiguo) y la hipotenusa:{{p}}+
-::<math> cos \, \alpha= \frac{b}{c} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} </math>+
- +
-* La '''tangente''' (abreviado como ''tan'' o ''tg'') es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:{{p}}+
-::<math> tg \, \alpha= \frac{a}{b} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}} </math>+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos|contenido=+==Razones trigonométricas de un ángulo agudo==
-<center><iframe>+{{Razones trigonométricas de un ángulo agudo}}
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/Trigonometria/trigo1b.html+{{Videos y actividades: Razones trigonométricas}}
-width=710+{{p}}
-height=250+===Razones trigonométricas inversas===
-name=myframe+{{Razones trigonométricas inversas}}
-</iframe></center>+{{Videos y actividades: Razones trigonométricas inversas}}
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/Trigonometria/trigo1b.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
{{p}} {{p}}
-==Razones trigonométricas inversas==+==Relaciones fundamentales de la trigonometría==
-{{Caja_Amarilla|texto=Las '''razones trigonométricas inversas''' se definen de la siguiente manera:+{{Relaciones fundamentales de la trigonometría}}{{p}}
-* La '''cosecante''' (abreviado como ''csc'' o ''cosec''), razón inversa del seno:{{p}}+==Razones trigonométricas de ángulos complementarios==
-::<math> cosec \, \alpha= \frac{1}{sen \, \alpha} = \frac{c}{a}</math>+{{Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes}}{{p}}
- +
-* La '''secante''' (abreviado como ''sec''), razón inversa del coseno:{{p}}+
-::<math> sec \, \alpha= \frac{1}{cos \, \alpha} = \frac{c}{b}</math>+
- +
-* La '''cotangente''' (abreviado como ''cot''), razón inversa de la tangente:{{p}}+
-::<math> cot \, \alpha= \frac{1}{tg \, \alpha} = \frac{b}{a}</math>+
 +==Ejercicios==
 +{{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas|enunciado=
 +{{Video_enlace_abel
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=7´05"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=nu5TXKeJ5mw&list=PLHwz3md30-3mYMmrtIHx1BibUv3tim2Vi&index=5
 +|sinopsis=Averigua los datos que te piden en la figura dada en el video.
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_abel
-{{Video_enlace2+|titulo1=Ejercicio 2
-|titulo1=Razones trigonométricas de un ángulo agudo (con brocha gorda)+|duracion=9´24"
-|duracion=12´47"+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=uuP-NFAsELs&index=6&list=PLHwz3md30-3mYMmrtIHx1BibUv3tim2Vi
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/05-angulos-agudos/02-razones-trigonometricas-de-un-angulo-agudo-con-brocha-gorda#.VCe_OPl_u2E+|sinopsis=En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple que <math>tg\, \hat B=2 \, sec \, \hat A</math>.
-|sinopsis=*Razones trigonométricas de un ángulo agudo.+
-*Razones trigonométricas inversas.+
-*Ejemplos.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Video_enlace2+
-|titulo1=Razones trigonométricas de un ángulo agudo (con pincel)+
-|duracion=9´25"+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/05-angulos-agudos/06-razones-trigonometricas-de-un-angulo-agudo-con-pincel#.VCfFDPl_u2E+
-|sinopsis=*Definición razonada de las razones trigonométricas de un ángulo agudo.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Video_enlace2+
-|titulo1=6 ejercicios (Conocida una razón trigonométrica, dibujar el ángulo)+
-|duracion=8´19"+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/05-angulos-agudos/0201-seis-ejercicios-conocida-una-razon-trigonometrica-dibujar-el-angulo#.VCe_kPl_u2E+
-|sinopsis=En este vídeo jugamos a dibujar un ángulo del que se conoce una de sus seis razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante).+
 +Calcula <math>E= cosec^2\,\hat A- 2\,sec\,\hat B</math>.
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_abel
-{{AI_enlace+|titulo1=Ejercicio 3
-|titulo1=Autoevaluación: ''Razones trigonométricas''+|duracion=5´53"
-|descripcion={{p}}+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=CL7Jh7tCTkQ&index=7&list=PLHwz3md30-3mYMmrtIHx1BibUv3tim2Vi
-*Si pulsas el botón "EJERCICIO" cambiarán los datos del triángulo.+|sinopsis=Averigua el valor de la expresión que te piden a partir de la figura dada en el video.
-*Si pulsas el botón "ángulo" cambiará el ángulo al que se le calculan las razones trigonométricas.+
-*Si pulsas el botón "OTRAS RAZONES" alternararás entre las razones trigonométricas y sus recíprocas.+
-*Si pulsas el botón "AUTOEVALUACIÓN" podrás realizar una tanda de ejercicios para comprobar lo que sabes.+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/Trigonometria/trigo1.html+
-width=710+
-height=250+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-|url1=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/Trigonometria/trigo1.html+
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_abel
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=5´24"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Yz46LQqonvs&index=8&list=PLHwz3md30-3mYMmrtIHx1BibUv3tim2Vi
 +|sinopsis=En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cumple que <math>cotg\, \hat A=\cfrac{5}{12}</math>.
-==Relaciones fundamentales de la trigonometría==+Calcula <math>M= sen\,\hat A- sen\,\hat C</math>.
-{{Teorema|titulo=Relaciones fundamentales de la trigonometría+
-|enunciado={{p}}+
-'''1.''' {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1</math>}}+
-{{p}}+
-'''2.''' <math>tg \, \alpha =\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}</math>+
-'''3.''' {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>1+tg^2 \, \alpha =\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}</math>}} 
-|demo= 
-'''1.''' <math>sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = \left ( \cfrac{a}{c} \right )^2 + \left ( \cfrac{b}{c} \right )^2 =\cfrac {a^2+b^2}{c^2}= \cfrac {c^2}{c^2}=1</math> 
- 
-ya que, por el [[teorema de Pitágoras]], {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>a^2+b^2=c^2\;</math>}}. 
- 
- 
-'''2.''' <math>\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}=\cfrac{a}{c}:\cfrac{b}{c}=\cfrac{a}{b}=tg \, \alpha </math> 
- 
- 
-'''3.''' {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>1+tg^2 \, \alpha =1+\cfrac{sen^2 \, \alpha }{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{cos^2 \, \alpha + sen^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}</math>}} 
-{{p}} 
- 
-donde en el último paso hemos utilizado la primera relación fundamental: {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1</math>}} 
}} }}
- +{{Video_enlace_abel
-{{Video_enlace2+|titulo1=Ejercicio 5
-|titulo1=Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo+|duracion=6´54"
-|duracion=7´13"+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=md5pl_6-g5M&index=9&list=PLHwz3md30-3mYMmrtIHx1BibUv3tim2Vi
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/05-angulos-agudos/03-relaciones-entre-las-razones-trigonometricas-de-un-angulo#.VCfBPvl_u2E+|sinopsis=Averigua el valor de la expresión que te piden a partir de la figura dada en el video.
-|sinopsis=Videotutorial+
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_abel
 +|titulo1=Ejercicio 6
 +|duracion=10´30"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=SIpe683DA9Y&t=183s
 +|sinopsis=
 +:a) Determina las 6 razones trigonométricas del mayor ángulo agudo del triángulo rectángulo ABC, recto en A, siendo b=15cm y c=8cm.
-{{p}}+:b) En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro. Calcula el coseno del mayor ángulo agudo.
-{{Video_enlace2+
-|titulo1=6 ejercicios (Conocida una razón trigonométrica, hallar las otras)+
-|duracion=9´45"+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/05-angulos-agudos/0301-seis-ejercicios-conocida-una-razon-trigonometrica-hallar-las-otras#.VCfBqfl_u2E+
-|sinopsis=Videotutorial+
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_matemovil
-{{Ejemplo+|titulo1=Ejercicio 7
-|titulo=Ejercicio resuelto: ''Razones trigonométricas de un ángulo agudo''+|duracion=22'11"
-|enunciado={{p}}+|sinopsis=*Razones trigonométricas directas e inversas. Propiedades.
-'''1.''' Conociendo {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>cos \, \alpha = 0.86</math>}}, calcular <math>sen \, \alpha</math>{{b}} y{{b}} <math>tg \, \alpha</math>.+*Razones trigonométricas de ángulos complementarios.
 +*Ejercicios:
 +# Calcula las 6 razones trigonométricas de <math>\alpha\;</math> sabiendo que <math>sen\,\alpha=\cfrac{3}{5}</math>.
 +# Halla el valor de <math>y\;</math> en la siguiente igualdad: <math>tg\,(2y-11) \cdot cotg\,(29-2y)=1</math>
 +::(Pista: <math>tg\,\alpha \cdot cotg\,\alpha=1</math>)
-'''2.''' Conociendo {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>tg \, \alpha = 2.83</math>}}, calcular <math>sen \, \alpha</math>{{b}} y{{b}} <math>cos \, \alpha</math>. 
-|sol= 
-Hay que usar las relaciones fundamentales de la trigonometría para despejar la razón trigonométrica desconocida: 
-'''1.''' <math>sen \, \alpha = 0.51</math>{{b}} y{{b}} <math>tg \, \alpha=0.59</math>+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=rj0kkRM-JsM&index=11&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33
- +
-'''2.''' <math>sen \, \alpha = 0.93</math>{{b}} y{{b}} <math>tg \, \alpha=0.33</math>+
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_matemovil
- +|titulo1=Ejercicio 8
-==Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes==+|duracion=18'13"
-A continuación las razones trigonométricas de algunos ángulos que es conveniente recordar:+|sinopsis=2 ejercicios en los que deberás averiguar los datos que te piden en las figuras dada en el video.
-{{p}}+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=95f_qIWR1ZU&index=12&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33
-<center>+
-{| {{tablabonita_blanca}}+
-|-style="background:#e1ecf7;" align="center"+
-! '''Grados'''+
-! sen+
-! cos+
-! tg+
-! cosec+
-! sec+
-! cot+
-|-----+
-| align="center" | <math>30^o \,</math>+
-| align="center" | <math>\frac{1}{2}</math>+
-| align="center" | <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>+
-| align="center" | <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>+
-| align="center" | <math>2 \,</math>+
-| align="center" | <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>+
-| align="center" | <math>\sqrt{3}</math>+
-|-----+
-| align="center" | <math>45^o \,</math>+
-| align="center" | <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>+
-| align="center" | <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>+
-| align="center" | <math>1 \,</math>+
-| align="center" | <math>\sqrt{2}</math>+
-| align="center" | <math>\sqrt{2}</math>+
-| align="center" | <math>1 \,</math>+
-|-----+
-| align="center" | <math>60^o \,</math>+
-| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>+
-| align="center" | <math>\frac{1}{2}</math>+
-| align="center" | <math>\sqrt{3}</math>+
-| align="center" | <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>+
-| align="center" | <math>2 \,</math>+
-| align="center" | <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>+
-|}</center>+
-{{p}}+
-{{Video_enlace2+
-|titulo1=Razones trigonométricas de ángulos complementarios+
-|duracion=4´54"+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/05-angulos-agudos/04-razones-trigonometricas-de-angulos-complementarios#.VCfDrPl_u2E+
-|sinopsis=*Dos ángulos agudos se dicen complementarios si suman 90º.+
-*El seno de un ángulo agudo coincide con el coseno de su complementario.+
-*La tangente de un ángulo agudo coincide con la cotangente de su complementario.+
-*La secante de un ángulo agudo coincide con la cesecante de su complementario.+
- +
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_matemovil
-{{Video_enlace2+|titulo1=Ejercicio 9
-|titulo1=Razones trigonométricas de los ángulos más famosos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º)+|duracion=11'52"
-|duracion=6´59"+|sinopsis=Halla el valor de <math>E=\cfrac{sen\,(x+y+50^\circ)}{cos\,(y-x-10^\circ)}</math> sabiendo que <math>cot\,(x+30^\circ)\cdot tg\,(y+20^\circ)=tg\,(60^\circ-x)</math>.
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/05-angulos-agudos/05-razones-trigonometricas-de-los-angulos-mas-famosos#.VCfETfl_u2E+
-|sinopsis=*Apoyándonos en un triángulo equilátero de lado unidad, en este vídeo determinamos las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º.+
-*También determinamos las razones trigonométricas del ángulo de 45º; para ello nos servimos de un triángulo rectángulo de catetos unitarios.+
-*Las razones trigonométricas en cuestión deben memorizarse.+
 +'''Nota:''' Recuerda que <math>tg\,45^\circ=1</math>.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JCN7xvZU57Q&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=13
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 10
 +|duracion=12'47"
 +|sinopsis=Observa el dibujo que aparecerá en el video y asocia cada expresión del lado izquierdo con la razón trigonométrica correspondiente del lado derecho.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=TTTRRz-K4zk
 +}}
}} }}
-{{p}} 

Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]

[editar]

Introducción

La trigonometría es una rama de la matemática que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Su significado etimológico es la medición de los triángulos, ya que deriva de los términos griegos trigōnos 'triángulo' y metron 'medida'.

[editar]

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo agudo \alpha \,, de la siguiente manera:

  • El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa:

sen \, \alpha= \frac{c_o}{h} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}}

  • El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente (o contiguo) al ángulo y la hipotenusa:

cos \, \alpha= \frac{c_c}{h} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}

  • La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente:

tg \, \alpha= \frac{c_o}{c_c} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}

[editar]

Razones trigonométricas inversas

Las razones trigonométricas inversas se definen de la siguiente manera:

  • La cosecante (abreviado como csc o cosec), razón inversa del seno:

cosec \, \alpha= \frac{1}{sen \, \alpha} = \frac{h}{c_o}

  • La secante (abreviado como sec), razón inversa del coseno:

sec \, \alpha= \frac{1}{cos \, \alpha} = \frac{h}{c_c}

  • La cotangente (abreviado como cot), razón inversa de la tangente:

cotg \, \alpha= \frac{1}{tg \, \alpha} = \frac{c_c}{c_o}

[editar]

Relaciones fundamentales de la trigonometría

ejercicio

Relaciones fundamentales de la trigonometría

1. sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1 (Identidad pitagórica)

2. tg \, \alpha =\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}

3. 1+tg^2 \, \alpha =\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}

ejercicio

Ejercicio resuelto: Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Sea \alpha\; un ángulo agudo.

  1. Sabiendo que cos \, \alpha = 0.86, calcular sen \, \alpha  y  tg \, \alpha.
  2. Sabiendo que tg \, \alpha = 2.83, calcular sen \, \alpha  y  cos \, \alpha.

[editar]

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

ejercicio

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

Sea \alpha \; un ángulo y 90^\circ-\alpha \; su complementario.

Se cumple que:

  • sen \, (90^\circ-\alpha)=cos \, \alpha
  • cos \, (90^\circ-\alpha)= sen \, \alpha
  • tg \, (90^\circ-\alpha)=cot \, \alpha

[editar]

Ejercicios

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Razones_trigonom%C3%A9tricas_de_un_%C3%A1ngulo_agudo_%281%C2%BABach%29"
Herramientas personales
phpMyVisites * AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda