Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Angulos orientados
2 Circunferencia goniométrica
3 Razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante
- 3.1 Signo de las razones trigonométricas
4 Relaciones fundamentales de la trigonometría (ángulos de cualquier cuadrante)
5 Razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º
6 Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera sin usar el círculo unidad
7 Ejercicios propuestos

(Pág. 107)

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Angulos orientados

Un ángulo orientado es aquel que, en un sistema de coordenadas cartesianas, está generado por el giro de una semirecta que parte del semieje positivo de las X. (Fig. 1)

El ángulo es positivo cuando está generado en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo cuando está generado en sentido horario.
La rotación de la semirrecta puede ser mayor que una vuelta.

Los ejes cartesianos dividen al plano en cuatro regiones denominadas cuadrantes:

Un ángulo $\alpha\;$ pertenece al primer cuadrante si $0^\circ< \alpha <90^\circ$

Un ángulo $\alpha\;$ pertenece al segundo cuadrante si $90^\circ< \alpha <180^\circ$

Un ángulo $\alpha\;$ pertenece al tercer cuadrante si $180^\circ< \alpha <270^\circ$

Un ángulo $\alpha\;$ pertenece al cuarto cuadrante si $270^\circ< \alpha <360^\circ$

Fig. 1: Angulo orientado

Angulo orientado (9´16") Sinopsis: [Mostrar]

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Circunferencia goniométrica

Llamaremos circunferencia goniométrica a la circunferencia de radio 1 centrada en un sistema de referencia cartesiano, es decir, con centro en el origen de coordenadas, O.

La circunferencia goniométrica (7´01") Sinopsis:[Mostrar]

Sobre la circunferencia goniométrica situaremos nuestro ángulo orientado, $\alpha \;$ . Este genera un triángulo rectángulo ABC, tal y como se muestra en la Fig. 2. En él, el vértice A coincide con el origen O, el cateto OC, contiguo al ángulo $\alpha \;$ , se situa en el eje X positivo, y la hipotenusa AB coincide con el radio.

Teniendo en cuenta que $\overline{AB} = \overline{OE}= radio = 1$ , las razones trigonométricas del águlo $\alpha \;$ se expresan de la siguiente manera:

$sen \, \alpha = \cfrac{\overline{CB}}{\overline{AB}}=\overline{CB}$

$cos \, \alpha = \cfrac{\overline{OC}}{\overline{AB}}=\overline{OC}$

$tg \, \alpha = \cfrac{\overline{DE}}{\overline{OE}}=\overline{DE}$

Fig. 2: Circunferencia goniométrica: De color rojo, el seno; de color verde, el coseno; de color rosa, la tangente

Trigonometría con la circunferencia goniométrica [Mostrar]

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Razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante

Obsérvese como, en el apartado anterior, las coordenadas del punto B son $(cos \, \alpha , sen \, \alpha )$ . Así podemos dar la siguiente definición del seno y del coseno de un ángulo de cualquier cuadrante:

Dado un ángulo $\alpha \,$ , se define el coseno y el seno de dicho ángulo, como las coordenadas del punto de corte, B, del lado terminal del ángulo con la circunferencia goniométrica:

$B=(cos \, \alpha , sen \, \alpha )$

Definiremos la tangente del ángulo, como:

$tg \, \alpha = \cfrac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}$ , $\alpha \ne 90^\circ \, , 270^\circ$

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera (usando el círculo unidad) [Mostrar]

Razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante Descripción: [Mostrar]

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Signo de las razones trigonométricas

El signo de una razón trigonométrica viene determinado por el cuadrante en el que se encuentre el ángulo.

Signo de las razones trigonométricas

Seno: El seno de un ángulo es positivo si el ángulo está en el primer o segundo cuadrante, y es negativo si está en el tercer o cuarto cuadrante.
Coseno: El coseno de un ángulo es positivo si el ángulo está en el primer o cuarto cuadrante, y es negativo si está en el segundo o tercer cuadrante.

Demostración:[Mostrar]

Observación: [Mostrar]

Signo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera Descripción: [Mostrar]

Los siguientes gráficos muestran los distintos casos según en qué cuadrante se encuentre el ángulo:

Cuadrante I
( seno + / cos + )

Cuadrante II
( seno + / cos - )

Cuadrante III
( seno - / cos - )

Cuadrante IV
( seno - / cos + )

Construcción gráfica, signo y crecimiento de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera [Mostrar]

Tutorial 1 (40'20") Sinopsis: [Mostrar]

Tutorial 2a: El seno (7´26") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2b: El coseno (7´54") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2c: La tangente (7´41") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2c: La cosecante (15´21") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2d: La secante (13´06") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2e: La cotangente (13´30") Sinopsis:[Mostrar]

Ejercicio 1 (27'42") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2 (9'13") Sinopsis: [Mostrar]

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Relaciones fundamentales de la trigonometría (ángulos de cualquier cuadrante)

Las relaciones fundamentales de la trigonometría, ya estudiadas anteriormente, siguen siendo válidas con las definiciones dadas para ángulos de cualquier cuadrante. Puedes verlo en el siguiente video:

Relaciones fundamentales de la trigonometría [Mostrar]

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera [Mostrar]

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Razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º

A continuación las razones trigonométricas de algunos ángulos que es conveniente recordar dado que vienen expresadas mediante valores exactos.

Grados	sen	cos	tg	cosec	sec	cot
$0^o \,$	$0\;$	$1\;$	$0\;$	$\not\exist$	$1\;$	$\not\exist$
$30^o \,$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$2 \,$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$45^o \,$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1 \,$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	$1 \,$
$60^o \,$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$2 \,$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$90^o \,$	$1\;$	$0\;$	$\not\exist$	$1\;$	$\not\exist$	$0\;$

Razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º [Mostrar]

Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º [Mostrar]

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Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera sin usar el círculo unidad

También se pueden definir las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante sin hacer uso del círculo unidad. Puedes verlo en los siguientes videos:

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera (sin usar el círculo unidad) [Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera

(Pág. 107)

1, 2, 3, 4

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Razones_trigonom%C3%A9tricas_de_%C3%A1ngulos_cualesquiera_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 |enlaces=
 }}
+__TOC__
+{{p}}
+(Pág. 107)
+==Angulos orientados==
+{{Angulos orientados}}
 {{p}}
 ==Circunferencia goniométrica==
-Vamos a establecer un sistema de referencia para el estudio de los ángulos de cualquier cuadrante.
+{{Circunferencia goniométrica}}
-{{Tabla75|celda2=[[Imagen:goniometrica.png|330px]]
-|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=Consideremos una circunferencia de radio 1 centrada en un sistema de referencia cartesiano, es decir, con su centro en el origen de coordenadas '''O'''. Sobre ella situaremos nuestro triángulo rectángulo '''ABC''', haciendo coincidir su vértice '''A''' con '''O''', el cateto contiguo al ángulo <math>\alpha \;</math> lo situaremos en el eje X positivo y la hipotenusa coincidiendo con el radio, tal y como se muestra en la figura. A esta circunferencia la llamaremos '''circunferencia goniométrica'''.
-}}
 {{p}}
-Teniendo en cuenta que {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math> \overline{AB} = \overline{OE}= radio = 1 </math>}} y la semejanza de los triángulos '''ABC''' y '''ADE''', las razones trigonométricas del águlo <math>\alpha \;</math> se expresan de la siguiente manera:
+==Razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante==
+{{Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera}}
-:<math> sen \, \alpha = \cfrac{\overline{CB}}{\overline{AB}}=\overline{CB}</math>
-:<math> cos \, \alpha =  \cfrac{\overline{OC}}{\overline{AB}}=\overline{OC}</math>
-:<math> tg \, \alpha = \cfrac {\overline{CB}}{\overline{OC}}=\cfrac{\overline{DE}}{\overline{OE}}=\overline{DE}</math>
-}}
 {{p}}
-==Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera==
+==Relaciones fundamentales de la trigonometría (ángulos de cualquier cuadrante)==
-Obsérvese como las coordenadas del punto '''B''' son <math>(cos \, \alpha , sen \, \alpha )</math>. Y por extensión, podemos dar la siguiente definición del seno y del coseno de un ángulo de cualquier cuadrante:
+{{Relaciones fundamentales de la trigonometría (ángulos de cualquier cuadrante)}}
+{{p}}
+==Razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º==
+{{Razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º}}
-{{Caja_Amarilla|texto=
+==Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera sin usar el círculo unidad==
-Dado un ángulo <math>\alpha \,</math>, se define el '''coseno''' y el '''seno''' de dicho ángulo, como las coordenadas del punto de corte del segundo lado del ángulo con la circunferencia goniométrica:
+{{Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera sin usar el círculo unidad}}
-<center><math>B=(cos \, \alpha , sen \, \alpha )</math></center>
-}}
 {{p}}
-*'''Nota:''' Las [[Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)#Relaciones fundamentales de la trigonometría|relaciones fundamentales de la trigonometría]], ya estudiadas anteriormente, siguen siendo válidas con esta definición.
+==Ejercicios propuestos==
-{{p}}
+{{ejercicio
-==Signo de las razones trigonométricas==
+|titulo=Ejercicios propuestos: ''Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera''
-Según en qué cuadrante estemos, el segmento OC que determina al coseno, puede estar situado a la derecha o a la izquierda del origen '''O'''. Así, asignaremos signo positivo al coseno si está a la derecha de '''O''' y negativo si está a la izquierda.
+|cuerpo=
+(Pág. 107)
-Analogamente, el segmento CB que determina al seno, puede estar situado por encima o por debajo del eje X . Asignaremos signo positivo al seno si está por encima y negativo si está por debajo.
+[[Imagen:red_star.png|12px]] 1, 2, 3, 4
-Los siguientes gráficos muestran los distintos casos según en qué cuadrante se encuentre el ángulo:
-{{Tabla50|celda1=<center>[[Imagen:goniometrica.png|280px]]</center>|celda2=<center>[[Imagen:goniometrica2.png|280px]]</center>}}
-{{Tabla50|celda1=<center>[[Imagen:goniometrica3.png|280px]]</center>|celda2=<center>[[Imagen:goniometrica4.png|280px]]</center>}}
-{{Video_enlace2
-|titulo1=Círculo Goniométrico
-|duracion=12'55"
-|sinopsis=
-*Razones trigonométricas de un ángulo. Fórmula fundamental.
-*Circúlo goniométrico.
-*Interpretación geométrica de las razones trigonométricas.
-*Medida en grados y radianes.
-*Tablas de las razones trigonométricas de los ángulos principales.
-*Signo de las razones trigonométricas segun el cuadrante del ángulo.
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_01/vdf0119.htm
 }}
-==Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes==
-A continuación las razones trigonométricas de algunos ángulos que es conveniente recordar:
-{| {{tablabonita}}
-|-style="background:#e1ecf7;" align="center"
-! '''Radianes'''
-! '''Grados'''
-! sen
-! cos
-! tg
-! cosec
-! sec
-! cot
-|-----
-| align="center" | <math> 0  \;  </math>
-| align="center" | <math>0^o \,</math>
-| <math>\frac{\sqrt{0}}{2}=0</math>
-| <math>\frac{\sqrt{4}}{2}=1</math>
-| align="center" | <math>0 \,</math>
-| align="center" | <math>\not{\exists} (\pm \infty) \,\!</math>
-| align="center" | <math>1 \,</math>
-| align="center" | <math>\not{\exists} (\pm \infty)  \,\!</math>
-|-----
-| align="center" | <math> \frac{\pi}{6} </math>
-| align="center" | <math>30^o \,</math>
-| align="center" | <math>\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}</math>
-| align="center" | <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
-| align="center" | <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
-| align="center" | <math>2 \,</math>
-| align="center" | <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>
-| align="center" | <math>\sqrt{3}</math>
-|-----
-| align="center" | <math> \frac{\pi}{4} </math>
-| align="center" | <math>45^o \,</math>
-| align="center" | <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
-| align="center" | <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
-| align="center" | <math>1 \,</math>
-| align="center" | <math>\sqrt{2}</math>
-| align="center" | <math>\sqrt{2}</math>
-| align="center" | <math>1 \,</math>
-|-----
-| align="center" | <math> \frac{\pi}{3} </math>
-| align="center" | <math>60^o \,</math>
-| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
-| <math>\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}</math>
-| align="center" | <math>\sqrt{3}</math>
-| align="center" | <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>
-| align="center" | <math>2 \,</math>
-| align="center" | <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
-|-----
-| align="center" | <math> \frac{\pi}{2}</math>
-| align="center" | <math>90^o \,</math>
-| <math>\frac{\sqrt{4}}{2}=1</math>
-| <math>\frac{\sqrt{0}}{2}=0</math>
-| align="center" | <math>\not{\exists} (\pm \infty) \,\!</math>
-| align="center" | <math>1 \,</math>
-| align="center" | <math>\not{\exists} (\pm \infty) \,\!</math>
-| align="center" | <math>0 \,</math>
-|}
-{{p}}
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