Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (1ºBach)

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-Vamos a establecer un sistema de referencia para el estudio de los ángulos de cualquier cuadrante. +{{Circunferencia goniométrica}}
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-Teniendo en cuenta que {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math> \overline{AB} = \overline{OE}= radio = 1 </math>}}, las razones trigonométricas del águlo <math>\alpha \;</math> se expresan de la siguiente manera:+
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-==Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera==+==Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera sin usar el círculo unidad==
-Obsérvese como las coordenadas del punto '''B''' son <math>(cos \, \alpha , sen \, \alpha )</math>. Y por extensión, podemos dar la siguiente definición del seno y del coseno de un ángulo de cualquier cuadrante:+{{Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera sin usar el círculo unidad}}
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-Según en qué cuadrante estemos, el segmento OC que determina al coseno, puede estar situado a la derecha o a la izquierda del origen '''O'''. Así, asignaremos signo positivo al coseno si está a la derecha de '''O''' y negativo si está a la izquierda.+
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-Analogamente, el segmento CB que determina al seno, puede estar situado por encima o por debajo del eje X . Asignaremos signo positivo al seno si está por encima y negativo si está por debajo.+
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-Los siguientes gráficos muestran los distintos casos según en qué cuadrante se encuentre el ángulo:+
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-==Relaciones fundamentales de la trigonometría (ángulos de cualquier cuadrante)==+[[Imagen:red_star.png|12px]] 1, 2, 3, 4
-Las [[Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)#Relaciones fundamentales de la trigonometría|relaciones fundamentales de la trigonometría]], ya estudiadas anteriormente, siguen siendo válidas con las definiciones dadas para ángulos de cualquier cuadrante.+
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-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 1:''' Practica con las relaciones fundamentales de la trigonometría y ponte a prueba con una autoevaluación. En estas actividades tendrás que tener en cuenta en qué cuadrante está el ángulo para determinar el signo de la razón trigonométrica. 
-|actividad={{p}} 
-*Si pulsas el botón "EJERCICIO" cambiarán los datos del problema. 
-*Si pulsas el botón "AUTOEVALUACIÓN" podrás realizar una tanda de ejercicios para comprobar lo que sabes. 
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/Trigonometria/trigo6.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
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-:Resuelve: 
- 
-:a)<math>sin(x)=0.5, \quad x \in II</math> 
- 
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-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: 
- 
-:{{consulta|texto=sin[xº]=0.5, 90<x<180}} 
- 
-{{widget generico}} 
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- 
-}} 
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- 
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

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Tabla de contenidos

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(Pág. 107)

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Angulos orientados

Un ángulo orientado es aquel que, en un sistema de coordenadas cartesianas, está generado por el giro de una semirecta que parte del semieje positivo de las X. (Fig. 1)

  • El ángulo es positivo cuando está generado en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo cuando está generado en sentido horario.
  • La rotación de la semirrecta puede ser mayor que una vuelta.

Los ejes cartesianos dividen al plano en cuatro regiones denominadas cuadrantes:

  • Un ángulo \alpha\; pertenece al primer cuadrante si 0^\circ< \alpha <90^\circ
  • Un ángulo \alpha\; pertenece al segundo cuadrante si 90^\circ< \alpha <180^\circ
  • Un ángulo \alpha\; pertenece al tercer cuadrante si 180^\circ< \alpha <270^\circ
  • Un ángulo \alpha\; pertenece al cuarto cuadrante si 270^\circ< \alpha <360^\circ

Fig. 1: Angulo orientado
Aumentar
Fig. 1: Angulo orientado

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Circunferencia goniométrica

Llamaremos circunferencia goniométrica a la circunferencia de radio 1 centrada en un sistema de referencia cartesiano, es decir, con centro en el origen de coordenadas, O.

Sobre la circunferencia goniométrica situaremos nuestro ángulo orientado, \alpha \;. Este genera un triángulo rectángulo ABC, tal y como se muestra en la Fig. 2. En él, el vértice A coincide con el origen O, el cateto OC, contiguo al ángulo \alpha \;, se situa en el eje X positivo, y la hipotenusa AB coincide con el radio.

Teniendo en cuenta que \overline{AB} = \overline{OE}= radio = 1, las razones trigonométricas del águlo \alpha \; se expresan de la siguiente manera:

  • sen \, \alpha = \cfrac{\overline{CB}}{\overline{AB}}=\overline{CB}
  • cos \, \alpha = \cfrac{\overline{OC}}{\overline{AB}}=\overline{OC}
  • tg \, \alpha = \cfrac{\overline{DE}}{\overline{OE}}=\overline{DE}

Fig. 2: Circunferencia goniométrica: De color rojo, el seno; de color verde, el coseno; de color rosa, la tangente
Aumentar
Fig. 2: Circunferencia goniométrica: De color rojo, el seno; de color verde, el coseno; de color rosa, la tangente

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Razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante

Obsérvese como, en el apartado anterior, las coordenadas del punto B son (cos \, \alpha , sen \, \alpha ). Así podemos dar la siguiente definición del seno y del coseno de un ángulo de cualquier cuadrante:

  • Dado un ángulo \alpha \,, se define el coseno y el seno de dicho ángulo, como las coordenadas del punto de corte, B, del lado terminal del ángulo con la circunferencia goniométrica:

B=(cos \, \alpha , sen \, \alpha )

  • Definiremos la tangente del ángulo, como:

tg \, \alpha = \cfrac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}    ,    \alpha \ne 90^\circ \, , 270^\circ

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Signo de las razones trigonométricas

El signo de una razón trigonométrica viene determinado por el cuadrante en el que se encuentre el ángulo.

ejercicio

Signo de las razones trigonométricas

  • Seno: El seno de un ángulo es positivo si el ángulo está en el primer o segundo cuadrante, y es negativo si está en el tercer o cuarto cuadrante.
  • Coseno: El coseno de un ángulo es positivo si el ángulo está en el primer o cuarto cuadrante, y es negativo si está en el segundo o tercer cuadrante.

Los siguientes gráficos muestran los distintos casos según en qué cuadrante se encuentre el ángulo:

Cuadrante I
( seno + / cos + )
Cuadrante II
( seno + / cos - )
Cuadrante III
( seno - / cos - )
Cuadrante IV
( seno - / cos + )

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Relaciones fundamentales de la trigonometría (ángulos de cualquier cuadrante)

Las relaciones fundamentales de la trigonometría, ya estudiadas anteriormente, siguen siendo válidas con las definiciones dadas para ángulos de cualquier cuadrante. Puedes verlo en el siguiente video:

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Razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º

A continuación las razones trigonométricas de algunos ángulos que es conveniente recordar dado que vienen expresadas mediante valores exactos.

Grados sen cos tg cosec sec cot
0^o \, 0\; 1\; 0\; \not\exist 1\; \not\exist
30^o \, \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{3} 2 \, \frac{2\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}
45^o \, \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} 1 \, \sqrt{2} \sqrt{2} 1 \,
60^o \, \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} \sqrt{3} \frac{2\sqrt{3}}{3} 2 \, \frac{\sqrt{3}}{3}
90^o \, 1\; 0\; \not\exist 1\; \not\exist 0\;

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Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera sin usar el círculo unidad

También se pueden definir las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante sin hacer uso del círculo unidad. Puedes verlo en los siguientes videos:

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera

(Pág. 107)

1, 2, 3, 4

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