Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (1ºBach)

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1 Angulos orientados
2 Circunferencia goniométrica
3 Razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante
- 3.1 Signo de las razones trigonométricas
4 Relaciones fundamentales de la trigonometría (ángulos de cualquier cuadrante)
5 Razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º
6 Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera sin usar el círculo unidad
7 Ejercicios propuestos

(Pág. 107)

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Angulos orientados

Un ángulo orientado es aquel que, en un sistema de coordenadas cartesianas, está generado por el giro de una semirecta que parte del semieje positivo de las X. (Fig. 1)

El ángulo es positivo cuando está generado en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo cuando está generado en sentido horario.
La rotación de la semirrecta puede ser mayor que una vuelta.

Los ejes cartesianos dividen al plano en cuatro regiones denominadas cuadrantes:

Un ángulo $\alpha\;$ pertenece al primer cuadrante si $0^\circ< \alpha <90^\circ$

Un ángulo $\alpha\;$ pertenece al segundo cuadrante si $90^\circ< \alpha <180^\circ$

Un ángulo $\alpha\;$ pertenece al tercer cuadrante si $180^\circ< \alpha <270^\circ$

Un ángulo $\alpha\;$ pertenece al cuarto cuadrante si $270^\circ< \alpha <360^\circ$

Fig. 1: Angulo orientado

Angulo orientado (9´16") Sinopsis: [Mostrar]

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Circunferencia goniométrica

Llamaremos circunferencia goniométrica a la circunferencia de radio 1 centrada en un sistema de referencia cartesiano, es decir, con centro en el origen de coordenadas, O.

La circunferencia goniométrica (7´01") Sinopsis:[Mostrar]

Sobre la circunferencia goniométrica situaremos nuestro ángulo orientado, $\alpha \;$ . Este genera un triángulo rectángulo ABC, tal y como se muestra en la Fig. 2. En él, el vértice A coincide con el origen O, el cateto OC, contiguo al ángulo $\alpha \;$ , se situa en el eje X positivo, y la hipotenusa AB coincide con el radio.

Teniendo en cuenta que $\overline{AB} = \overline{OE}= radio = 1$ , las razones trigonométricas del águlo $\alpha \;$ se expresan de la siguiente manera:

$sen \, \alpha = \cfrac{\overline{CB}}{\overline{AB}}=\overline{CB}$

$cos \, \alpha = \cfrac{\overline{OC}}{\overline{AB}}=\overline{OC}$

$tg \, \alpha = \cfrac{\overline{DE}}{\overline{OE}}=\overline{DE}$

Fig. 2: Circunferencia goniométrica: De color rojo, el seno; de color verde, el coseno; de color rosa, la tangente

Trigonometría con la circunferencia goniométrica [Mostrar]

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Razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante

Obsérvese como, en el apartado anterior, las coordenadas del punto B son $(cos \, \alpha , sen \, \alpha )$ . Así podemos dar la siguiente definición del seno y del coseno de un ángulo de cualquier cuadrante:

Dado un ángulo $\alpha \,$ , se define el coseno y el seno de dicho ángulo, como las coordenadas del punto de corte, B, del lado terminal del ángulo con la circunferencia goniométrica:

$B=(cos \, \alpha , sen \, \alpha )$

Definiremos la tangente del ángulo, como:

$tg \, \alpha = \cfrac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}$ , $\alpha \ne 90^\circ \, , 270^\circ$

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera (usando el círculo unidad) [Mostrar]

Razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante Descripción: [Mostrar]

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Signo de las razones trigonométricas

El signo de una razón trigonométrica viene determinado por el cuadrante en el que se encuentre el ángulo.

Signo de las razones trigonométricas

Seno: El seno de un ángulo es positivo si el ángulo está en el primer o segundo cuadrante, y es negativo si está en el tercer o cuarto cuadrante.
Coseno: El coseno de un ángulo es positivo si el ángulo está en el primer o cuarto cuadrante, y es negativo si está en el segundo o tercer cuadrante.

Demostración:[Mostrar]

Observación: [Mostrar]

Signo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera Descripción: [Mostrar]

Los siguientes gráficos muestran los distintos casos según en qué cuadrante se encuentre el ángulo:

Cuadrante I
( seno + / cos + )

Cuadrante II
( seno + / cos - )

Cuadrante III
( seno - / cos - )

Cuadrante IV
( seno - / cos + )

Construcción gráfica, signo y crecimiento de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera [Mostrar]

Tutorial 1 (40'20") Sinopsis: [Mostrar]

Tutorial 2a: El seno (7´26") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2b: El coseno (7´54") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2c: La tangente (7´41") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2c: La cosecante (15´21") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2d: La secante (13´06") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2e: La cotangente (13´30") Sinopsis:[Mostrar]

Ejercicio 1 (27'42") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2 (9'13") Sinopsis: [Mostrar]

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Relaciones fundamentales de la trigonometría (ángulos de cualquier cuadrante)

Las relaciones fundamentales de la trigonometría, ya estudiadas anteriormente, siguen siendo válidas con las definiciones dadas para ángulos de cualquier cuadrante. Puedes verlo en el siguiente video:

Relaciones fundamentales de la trigonometría [Mostrar]

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera [Mostrar]

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Razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º

A continuación las razones trigonométricas de algunos ángulos que es conveniente recordar dado que vienen expresadas mediante valores exactos.

Grados	sen	cos	tg	cosec	sec	cot
$0^o \,$	$0\;$	$1\;$	$0\;$	$\not\exist$	$1\;$	$\not\exist$
$30^o \,$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$2 \,$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$45^o \,$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1 \,$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	$1 \,$
$60^o \,$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$2 \,$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$90^o \,$	$1\;$	$0\;$	$\not\exist$	$1\;$	$\not\exist$	$0\;$

Razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º [Mostrar]

Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º [Mostrar]

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Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera sin usar el círculo unidad

También se pueden definir las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante sin hacer uso del círculo unidad. Puedes verlo en los siguientes videos:

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera (sin usar el círculo unidad) [Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera

(Pág. 107)

1, 2, 3, 4

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Razones_trigonom%C3%A9tricas_de_%C3%A1ngulos_cualesquiera_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 (Pág. 107)
 ==Angulos orientados==
-{{Tabla75|celda2=[[Imagen:angulo_orientado.gif|thumb|250px|Fig. 1: Angulo orientado]]
+{{Angulos orientados}}
-|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=Un '''ángulo orientado''' es aquel que, en un sistema de coordenadas cartesianas, está generado por el giro de una semirecta que parte del semieje positivo de las X. (Fig. 1)
-*El ángulo es '''positivo''' cuando está generado en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y '''negativo''' cuando está generado en sentido horario.
-* La rotación de la semirrecta puede ser mayor que un giro..}}
 {{p}}
-{{Caja_Amarilla|texto=Los ejes cartesianos dividen al plano en cuatro regiones denominadas '''cuadrantes''':
-*Un ángulo <math>\alpha\;</math> pertenece al '''primer cuadrante''' si <math>0^\circ< \alpha <90^\circ</math>
-*Un ángulo <math>\alpha\;</math> pertenece al '''segundo cuadrante''' si <math>90^\circ< \alpha <180^\circ</math>
-*Un ángulo <math>\alpha\;</math> pertenece al '''tercer cuadrante''' si <math>180^\circ< \alpha <270^\circ</math>
-*Un ángulo <math>\alpha\;</math> pertenece al '''cuarto cuadrante''' si <math>270^\circ< \alpha <360^\circ</math>
-}}
-{{p}}
-}}
-{{p}}
-{{Video_enlace
-|titulo1=Angulo orientado
-|duracion=9´16"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/06-angulos-orientados/01-angulo-orientado-angulo-levogiro-angulo-dextrogiro#.VChLmBZ8HA8
-|sinopsis=Un ángulo se dice "orientado" si uno de sus lados se bautiza "lado origen" y el otro lado se bautiza "lado extremo".
-Si para hacer coincidir el lado origen con el lado extremo se gira alrededor del vértice en sentido contrario a las agujas del reloj, el ángulo se dice "positivo" o "levógiro", diciéndose "negativo" o "dextrógiro" si se gira en el sentido a las agujas del reloj.
-}}
 ==Circunferencia goniométrica==
-{{Caja_Amarilla|texto=Llamaremos '''circunferencia goniométrica''' a la circunferencia de radio 1 centrada en un sistema de referencia cartesiano, es decir, con centro en el origen de coordenadas, '''O'''.
+{{Circunferencia goniométrica}}
-}}
 {{p}}
-{{Tabla50|celda2={{p}}<center>[[Imagen:goniometrica.png|330px|thumb|Fig. 2: '''Circunferencia goniométrica''': De color rojo, el seno; de color verde, el coseno; de color rosa, la tangente]]</center>
+==Razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante==
-|celda1=Sobre la circunferencia goniométrica situaremos nuestro ángulo orientado, <math>\alpha \;</math>. Este genera un triángulo rectángulo '''ABC''', tal y como se muestra en la Fig. 2. En él, el vértice '''A''' coincide con el origen '''O''', el cateto contiguo al ángulo <math>\alpha \;</math> se situa en el eje X positivo y la hipotenusa coincide con el radio.
+{{Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera}}
-Teniendo en cuenta que {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math> \overline{AB} = \overline{OE}= radio = 1 </math>}}, las razones trigonométricas del águlo <math>\alpha \;</math> se expresan de la siguiente manera:
-<br>
-*<math> sen \, \alpha = \cfrac{\overline{CB}}{\overline{AB}}=\overline{CB}</math>
-*<math> cos \, \alpha =  \cfrac{\overline{OC}}{\overline{AB}}=\overline{OC}</math>
-*<math> tg \, \alpha = \cfrac{\overline{DE}}{\overline{OE}}=\overline{DE}</math>
-}}
 {{p}}
-{{Video_enlace
-|titulo1=El círculo goniométrico
-|duracion=9´14
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/06-angulos-orientados/04-el-circulo-goniometrico#.VChMthZ8HA8
-|sinopsis=Empleando un circulo de radio unidad pueden "visualizarse" las razones trigonométricas de un ángulo orientado.
-}}
-{{p}}
-==Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera==
-Obsérvese como las coordenadas del punto '''B''', del apartado anterior, son <math>(cos \, \alpha , sen \, \alpha )</math>. Así podemos dar la siguiente definición del seno y del coseno de un ángulo de cualquier cuadrante:
-{{Caja_Amarilla|texto=
-*Dado un ángulo <math>\alpha \,</math>, se define el '''coseno''' y el '''seno''' de dicho ángulo, como las coordenadas del punto de corte, B, del lado terminal del ángulo con la circunferencia goniométrica:
-<center><math>B=(cos \, \alpha , sen \, \alpha )</math></center>
-*Definiremos la '''tangente''' del ángulo, como:
-<center><math> tg \, \alpha = \cfrac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}</math>{{b4}},{{b4}}<math>\alpha \ne 90^\circ \, , 270^\circ</math></center>
-}}
-{{p}}
-===Signo de las razones trigonométricas===
-Según en qué cuadrante esté el ángulo, el segmento '''OC''' que determina al coseno, puede estar situado a la derecha o a la izquierda del origen '''O'''. Así, el signo del coseno será positivo si está a la derecha de '''O''' y negativo si está a la izquierda.
-Analogamente, el segmento '''CB''' que determina al seno, puede estar situado por encima o por debajo del eje X . Así el signo del seno será positivo si está por encima y negativo si está por debajo.
-Los siguientes gráficos muestran los distintos casos según en qué cuadrante se encuentre el ángulo:
-{{Tabla50|celda1=<center>'''Cuadrante I <br>( seno + / cos + )''' <br> [[Imagen:goniometrica.png|280px]]</center>|celda2=<center>'''Cuadrante II <br>( seno + / cos - )''' <br> [[Imagen:goniometrica2.png|280px]]</center>}}
-{{Tabla50|celda1=<center>'''Cuadrante III <br>( seno - / cos - )''' <br> [[Imagen:goniometrica3.png|280px]]</center>|celda2=<center>'''Cuadrante IV <br>( seno - / cos + )''' <br> [[Imagen:goniometrica4.png|280px]]</center>}}
-{{p}}
-{{Geogebra_enlace
-|descripcion=En esta escena podrás ver como se representan las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante.
-|enlace=[https://ggbm.at/mfj4NVXn Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera]
-}}
-{{p}}
-{{Geogebra_enlace
-|descripcion=En esta escena podrás ver los valores y el signo de las 6 razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante.
-|enlace=[https://ggbm.at/QT4AaGjP Valores y signo de razones trigonométricas de un ángulo cualquiera]
-}}
-{{p}}
-{{Video_enlace
-|titulo1=Razones trigonométricas de ángulos orientados
-|duracion=11´
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/06-angulos-orientados/03-razones-trigonometricas-de-angulos-orientados#.VChNihZ8HA8
-|sinopsis=Si el lado origen de un ángulo orientado es el semieje OX, del cuadrante en que está el lado extremo se dice "cuadrante del ángulo".
-En este video definimos las razones trigonométricas de un ángulo orientado, y para ello empleamos las coordenadas de un punto cualquiera (a;b) del lado extremo.
-}}
-{{p}}
-{{Video_enlace
-|titulo1= 3 ejercicios
-|duracion=5´53"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/06-angulos-orientados/0301-tres-ejercicios-3#.VChN-BZ8HA8
-|sinopsis=3 ejercicios sobre razones trigonométricas de ángulos orientados.
-}}
 ==Relaciones fundamentales de la trigonometría (ángulos de cualquier cuadrante)==
-Las [[Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)#Relaciones fundamentales de la trigonometría|relaciones fundamentales de la trigonometría]], ya estudiadas anteriormente, siguen siendo válidas con las definiciones dadas para ángulos de cualquier cuadrante.
+{{Relaciones fundamentales de la trigonometría (ángulos de cualquier cuadrante)}}
 {{p}}
+==Razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º==
+{{Razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º}}
-{{AI_enlace|titulo1=Relaciones fundamentales de la trigonometría
+==Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera sin usar el círculo unidad==
-|descripcion=Practica con las relaciones fundamentales de la trigonometría y ponte a prueba con una autoevaluación. En estas actividades tendrás que tener en cuenta en qué cuadrante está el ángulo para determinar el signo de la razón trigonométrica.
+{{Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera sin usar el círculo unidad}}
-*Si pulsas el botón "EJERCICIO" cambiarán los datos del problema.
-*Si pulsas el botón "AUTOEVALUACIÓN" podrás realizar una tanda de ejercicios para comprobar lo que sabes.
-<center><iframe>
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-{{wolfram desplegable|titulo=Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera|contenido=
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-|titulo=Actividad: ''Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera''
-|cuerpo=
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-|enunciado=
-a) Resuelve: <math>sen\, x=0.5, \quad x \in II</math> (2º cuadrante)
-b) Calcula: {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>cos\, 210^\circ\,</math>}}
-c) Sabiendo que <math>tg \,(x) = 2, \quad x \in III</math> (3º cuadrante), halla <math>sin(x)\,</math>.
-{{p}}
-|sol=
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
-a) {{consulta|texto=sin(xº)=0.5, 90<x<180}}
-b) {{consulta|texto=cos(210º)}}
-c) {{consulta|texto=sin(arctan(2)+180º)}}
-{{widget generico}}
-}}
-}}
-}}
-{{p}}
 ==Ejercicios propuestos==
 {{ejercicio

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