Ecuaciones trigonométricas (1ºBach)

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{{Caja_Amarilla|texto=Una '''ecuación trigonométrica''' es aquella en la que las incógnitas aparecen formando parte de los argumentos de funciones trigonométricas.}} {{Caja_Amarilla|texto=Una '''ecuación trigonométrica''' es aquella en la que las incógnitas aparecen formando parte de los argumentos de funciones trigonométricas.}}
-Como las incógnitas son ángulo, tenemos que averiguar qué valores del ángulo son solución. En consecuencia, si existe alguna solución, éstas van a ser infinitas (todos los ángulos coterminales con el que hallemos), pero normalmente nos bastará con dar la solución comprendida entre 0º y 360º. También puede darse la solución en radianes.+Como las incógnitas son ángulos, si existe alguna solución, éstas van a ser infinitas (todos los ángulos coterminales con el que hallemos), pero normalmente nos bastará con dar la solución comprendida entre 0º y 360º. También puede darse la solución en radianes.
-Las estrategias a seguir para resolver estas ecuaciones, son muy diversas: cambio de variable, uso de [[Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)#Relaciones fundamentales de la trigonometría|identidades trigonométricas fundamentales]] y de [[Fórmulas trigonométricas (1ºBach) | fórmulas trigonométricas]], etc. Veamos algunos ejemplos.+Las estrategias a seguir para resolver estas ecuaciones son muy diversas: cambio de variable, uso de [[Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)#Relaciones fundamentales de la trigonometría|identidades trigonométricas fundamentales]] y de [[Fórmulas trigonométricas (1ºBach) | fórmulas trigonométricas]], etc.
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 +Veamos algunos ejemplos:
{{p}} {{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplos: ''Ecuaciones trigonométricas''|enunciado=+{{ejemplo2
-Resuelve las siguientes ecuaciones:+|titulo=Ejemplos: ''Ecuaciones trigonométricas''
-# <math>2 \, tg \, x - 3\, cot \, x - 1=0</math>+|enunciado=
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 +'''1. '''Resuelve: <math>cos \, (30^\circ + x)= sen \, x</math>
|sol= |sol=
-'''1.''' <math>2 \, tg \, x - 3\, cot \, x - 1=0</math>+'''Solución:'''
 +{{p}}
 +Desarrollamos el coseno de una suma en el primer miembro:
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 +Dividimos ambos miembros por <math>cos \, x</math>. (Observa que <math>cos \, x=0</math> si <math>x=90^\circ</math> ó <math>x=270^\circ</math>, valores que no cumplen la ecuación de partida. Por tanto no estaríamos dividiendo por cero y no perderíamos ninguna solución)
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 +'''2. '''Resuelve: <math>2 \, tg \, x - 3\, cot \, x - 1=0</math>
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 +Transformamos la ecuación de partida:
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-:<math>\begin{cases} z_1=\cfrac{3}{2} \rightarrow tg \, x_1=\cfrac{3}{2} \rightarrow x_1 = arctg \, \cfrac{3}{2}=56^\circ \, 18' \, 35'' + 180^\circ \cdot k\\ z_2=-1 \rightarrow tg \, x_2=-1 \rightarrow x_2 = arctg \, -1=135^\circ + 180^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math>+Deshacemos el cambio de variable:
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'''Soluciones:''' '''Soluciones:'''
-:<math>\begin{cases} x_1 =56^\circ \, 18' \, 35'' + 180^\circ \cdot k\\x_2=135^\circ + 180^\circ \cdot k\end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math>+:<math>x=
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 +'''3. '''Resuelve: {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>cos^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0</math>}}
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 +'''Solución:'''
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 +Usando la identidad fundamental:
-'''2.''' <math>cos^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0</math>+:<math>sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1 \rightarrow cos^2 \, x = 1 - sen^2 \, x</math>
 +Sustituimos en nuestra ecuación de partida:
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 +:<math>1-4 \, sen^2 \, x =0 \rightarrow sen^2 \, x =\cfrac{1}{4}\rightarrow sen \, x =\pm \cfrac{1}{2}</math>
 +
 +Veamos cada uno de los dos casos:
 +
 +*<math>sen \, x = \cfrac{1}{2} \rightarrow \begin{cases}
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 +
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 +{{p}}
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 +
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 +'''Soluciones:'''
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 +\\
 +150^\circ + 360^\circ \cdot k
 +\\
 +210^\circ + 360^\circ \cdot k
 +\\
 +330^\circ + 360^\circ \cdot k
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 +|enunciado=
 +'''4. '''Resuelve: <math>cos \,3x + cos \, x=0</math>
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 +'''Solución:'''
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 +Transformamos la suma en producto:
 +{{p}}
 +:<math>2 \cdot cos \, \cfrac{3x+x}{2} \cdot cos \, \cfrac{3x-x}{2}=0</math>
 +
 +:<math>2 \cdot cos \, 2x \cdot cos \, x = 0</math>
 +
 +{{b4}}
 +
 +Dividimos ambos miembros entre 2 e igualamos a cero cada factor:
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 +:<math>cos \, 2x \cdot cos \, x = 0 \rightarrow
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 +cos \, 2x =0
 +\\
 +\acute{o}
 +\\
 +cos \, x = 0
 +
 +\end{cases}</math>
 +{{p}}
 +Veamos que ocurre en cada caso:
 +{{p}}
 +*<math>cos \, x = 0 \rightarrow
 +\begin{cases}
 +x_1=90^\circ + 360^\circ \cdot k
 +\\
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 +
 +\end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math>
 +{{b4}}
 +*<math>cos \, 2x = 0 \rightarrow cos^2 \, x - sen^2 \, x = 0 \rightarrow cos^2 \, x = sen^2 \, x </math>
 +{{p}}
 +:<math>\rightarrow
 +\begin{cases}
 +cos \, x = sen \, x \rightarrow
 +\begin{cases}
 +x_3 = 45^\circ + 360^\circ \cdot k
 +\\
 +x_4 = 225^\circ + 360^\circ \cdot k
 +
 +\end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}
 +\\
 +\acute{o}
 +\\
 +cos \, x = -sen \, x \rightarrow
 +\begin{cases}
 +x_5 = 135^\circ + 360^\circ \cdot k
 +\\
 +x_6 = 315^\circ + 360^\circ \cdot k
 +
 +\end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}
 +
 +\end{cases}</math>
 +
 +
 +'''Soluciones:'''
 +Se comprueba que los 6 conjuntos de soluciones anteriores son válidos. Podemos abreviar su expresión de la siguiente manera:
 +{{p}}
 +:<math>x=\begin{cases}
 +90^\circ + 180^\circ \cdot k
 +\\
 +45^\circ + 90^\circ \cdot k
 +
 +\end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math>
 +
 +}}
 +{{ejercicio_cuerpo
 +|enunciado=
 +'''5. '''Resuelve: {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>sen^2 \, x - cos^2 \, x = \cfrac{1}{2}</math>}}
 +|sol=
 +'''Solución:'''
 +{{p}}
 +Multiplicamos los dos miembros por -1:
 +
 +:<math>cos^2 \, x - sen^2 \, x = -\cfrac{1}{2} \rightarrow cos \, 2x=-\cfrac{1}{2}</math>
 +
 +:<math>2x=\begin{cases}
 +120^\circ + 360^\circ \cdot k
 +\\
 +240^\circ + 360^\circ \cdot k
 +
 +\end{cases} \, , \ k \in \mathbb{Z} \ \rightarrow</math><math> x=
 +\begin{cases}
 +\, 60^\circ + 180^\circ \cdot k
 +\\
 +120^\circ + 180^\circ \cdot k
 +
 +\end{cases} \, , \ k \in \mathbb{Z}</math>
 +
 +'''Soluciones:'''
 +
 +:<math>x=
 +\begin{cases}
 +\, 60^\circ + 180^\circ \cdot k
 +\\
 +120^\circ + 180^\circ \cdot k
 +
 +\end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math>
 +
 +}}
 +}}
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 +{{Videotutoriales|titulo=Ecuaciones trigonométricas|enunciado=
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---- ----
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-[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]][[Categoría: Funciones]]+{{Video_enlace_julioprofe
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 + 
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 +{{p}}
 +{{Video_enlace_unicoos
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 + 
 +:<math>\left . \begin{matrix} sen \, x + sen \, y =\ \cfrac{\sqrt{3} + 1}{2} \\ sen \, x - sen \, y =\ \cfrac{\sqrt{3} - 1}{2} \end{matrix} \right \}</math>
 + 
 +|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/trigonometria/sistemas-de-ecuaciones-trigonometricas/sistema-de-ecuaciones-trigonometricas-01
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1= Ejercicio 6
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 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=H2K6xqAHskE&list=PL8C0D37B1235315C7&index=26
 +|sinopsis=Resuelve las siguientes ecuaciones:
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 +*<math>cos \, x + cos \, 2x =0</math>
 +*<math>sen \, x + cos \, x =1</math>
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1= Ejercicio 7
 +|duracion=5´44"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=71ah85_lSWw&index=27&list=PL8C0D37B1235315C7
 +|sinopsis=Resuelve las siguientes ecuaciones:
 +*<math>sen \, 2x = tg \, x</math>
 +*<math>sen \, x + cos \, x =sec \, x</math>
 +*<math>tg \, 2x =tg \, x</math>
 +}}
 + 
 +}}
 +{{p}}
 +{{Actividades|titulo=Ecuaciones trigonométricas|enunciado=
 +{{AI_Khan
 +|descripcion=Ecuaciones trigonométricas sencillas.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/solving-sinusoidal-models/a/trigonometric-equations-review
 +|titulo1=Actividad 1
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 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás practicar ejercicios sobre resolución de ecuaciones trigonométricas sencillas.
 +|enlace=[http://ggbm.at/EjaJYtcx Actividad 2]
 +}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás practicar ejercicios sobre resolución de ecuaciones trigonométricas que se pueden factorizar.
 +|enlace=[http://ggbm.at/YM8VUvWe Actividad 3]
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|descripcion=Resuelve ecuaciones trigonométricas (básico).
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 +{{AI_Khan
 +|descripcion=Resuelve ecuaciones trigonométricas.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/advanced-sinusoidal-equations/e/solve-advanced-sinusoidal-equations
 +|titulo1=Autoevaluación 2
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|descripcion=Problemas para resolver por medio de ecuaciones trigonométricas.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/solving-sinusoidal-models/e/inverse-trig-word-problems
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 +}}
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 +|titulo1=Autoevaluación 4
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones trigonométricas.
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 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Autoevaluación 5
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre sistemas de ecuaciones trigonométricas.
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 +{{wolfram desplegable|titulo=Ecuaciones trigonométricas|contenido=
 +{{wolfram
 +|titulo=Actividad: ''Ecuaciones trigonométricas''
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 +{{ejercicio_cuerpo
 +|enunciado=
 + 
 +:Resuelve las siguientes ecuaciones:
 + 
 +:a) <math>cos(30^o+x)=sen(x)\,</math>
 +:b) <math>sen(2x)=tg(x)\,</math>
 +:c) <math>cos(3x)+cos(x)=0\,</math>
 +{{p}}
 +|sol=
 +Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
 + 
 +:a) {{consulta|texto=solve [cos(30º+xº)=sin(xº), 0º<=xº<360º]}} o bien {{consulta|texto=solve [cos(30º+x)=sin(x), 0<=x<2pi]}} o bien {{consulta|texto=solve [cos(30º+x)=sin(x)]}}
 +:b) {{consulta|texto=solve [sin(2xº)= tan(xº), 0º<=xº<360º]}}
 +:c) {{consulta|texto=solve [cos(3xº)+cos(xº)=0, 0º<=xº<360º]}} (pulsa luego en "More solutions")
 +{{widget generico}}
 +}}
 +}}
 +}}
 + 
 +==Ejercicios propuestos==
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Ecuaciones trigonométricas''
 +|cuerpo=
 +(Pág. 135)
 + 
 +[[Imagen:red_star.png|12px]] 1; 2a,d; 4a,d; 5b
 + 
 +[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 2b,c; 3; 4b,c; 5a
 +}}
 + 
 +[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]][[Categoría:Álgebra]]

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Ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es aquella en la que las incógnitas aparecen formando parte de los argumentos de funciones trigonométricas.

Como las incógnitas son ángulos, si existe alguna solución, éstas van a ser infinitas (todos los ángulos coterminales con el que hallemos), pero normalmente nos bastará con dar la solución comprendida entre 0º y 360º. También puede darse la solución en radianes.

Las estrategias a seguir para resolver estas ecuaciones son muy diversas: cambio de variable, uso de identidades trigonométricas fundamentales y de fórmulas trigonométricas, etc.

Veamos algunos ejemplos:

ejercicio

Ejemplos: Ecuaciones trigonométricas

1. Resuelve: cos \, (30^\circ + x)= sen \, x
Solución:
Solución:

Desarrollamos el coseno de una suma en el primer miembro:

cos \, 30^\circ \cdot cos \, x - sen \, 30^\circ \cdot sen \, x = sen \, x

\cfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot cos \, x - \cfrac{1}{2} \cdot sen \, x = sen \, x

\sqrt{3} \, cos \, x = 3 \, sen \, x

Dividimos ambos miembros por cos \, x. (Observa que cos \, x=0 si x=90^\circ ó x=270^\circ, valores que no cumplen la ecuación de partida. Por tanto no estaríamos dividiendo por cero y no perderíamos ninguna solución)

\sqrt{3} = 3 \, \cfrac{sen \, x}{cos \, x} \ \rightarrow \ \sqrt{3} = 3 \, tg \, x \ \rightarrow

\rightarrow tg \, x = \cfrac{\sqrt{3}}{3} \rightarrow \begin{cases} x_1= 30^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_2=210^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} , \, k \in \mathbb{Z}

Soluciones:

x= \begin{cases} ~30^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 210^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} , \, k \in \mathbb{Z}

2. Resuelve: 2 \, tg \, x - 3\, cot \, x - 1=0
Solución:
Solución:

Transformamos la ecuación de partida:

2 \, tg \, x - \cfrac{3}{tg \, x} - 1=0
2 \, tg^2 \, x - tg \, x - 3=0

Hacemos un cambio de variable: z= tg \, x

2z^2- z - 3=0 \,
z=\cfrac{1 \pm \sqrt{1+24}}{4}=\cfrac{1 \pm 5}{4}= \begin{cases} z_1=\cfrac{3}{2}\\ z_2=-1 \end{cases}

Deshacemos el cambio de variable:

  • z_1=\cfrac{3}{2} \rightarrow tg \, x_1=\cfrac{3}{2} \rightarrow x_1 =56^\circ \, 18' \, 35'' + 180^\circ \cdot k \, , \quad k \in \mathbb{Z}

  • z_2=-1 \rightarrow tg \, x_2=-1 \rightarrow x_2 =135^\circ + 180^\circ \cdot k \, , \quad k \in \mathbb{Z}

Soluciones:

x= \begin{cases} 56^\circ \, 18' \, 35'' + 180^\circ \cdot k \\ 135^\circ + 180^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}
3. Resuelve: cos^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0
Solución:
Solución:

Usando la identidad fundamental:

sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1 \rightarrow cos^2 \, x = 1 - sen^2 \, x

Sustituimos en nuestra ecuación de partida:

1-sen^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0
1-4 \, sen^2 \, x =0 \rightarrow sen^2 \, x =\cfrac{1}{4}\rightarrow sen \, x =\pm \cfrac{1}{2}

Veamos cada uno de los dos casos:

  • sen \, x = \cfrac{1}{2} \rightarrow \begin{cases} x_1 =30^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_2 =150^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases}

  • sen \, x = -\cfrac{1}{2} \rightarrow \begin{cases} x_3 =210^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_4 =330^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases}

Soluciones:

x=\begin{cases} 30^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 150^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 210^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 330^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases}
4. Resuelve: cos \,3x + cos \, x=0
Solución:
Solución:

Transformamos la suma en producto:

2 \cdot cos \, \cfrac{3x+x}{2} \cdot cos \, \cfrac{3x-x}{2}=0
2 \cdot cos \, 2x \cdot cos \, x = 0

    

Dividimos ambos miembros entre 2 e igualamos a cero cada factor:

cos \, 2x \cdot cos \, x = 0 \rightarrow \begin{cases} cos \, 2x =0 \\ \acute{o} \\ cos \, x = 0 \end{cases}

Veamos que ocurre en cada caso:

  • cos \, x = 0 \rightarrow \begin{cases} x_1=90^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_2=270^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}

    

  • cos \, 2x = 0 \rightarrow cos^2 \, x - sen^2 \, x = 0 \rightarrow cos^2 \, x = sen^2 \, x

\rightarrow \begin{cases} cos \, x = sen \, x \rightarrow \begin{cases} x_3 = 45^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_4 = 225^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z} \\ \acute{o} \\ cos \, x = -sen \, x \rightarrow \begin{cases} x_5 = 135^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_6 = 315^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases}


Soluciones: Se comprueba que los 6 conjuntos de soluciones anteriores son válidos. Podemos abreviar su expresión de la siguiente manera:

x=\begin{cases} 90^\circ + 180^\circ \cdot k \\ 45^\circ + 90^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}
5. Resuelve: sen^2 \, x - cos^2 \, x = \cfrac{1}{2}
Solución:
Solución:

Multiplicamos los dos miembros por -1:

cos^2 \, x - sen^2 \, x = -\cfrac{1}{2} \rightarrow cos \, 2x=-\cfrac{1}{2}
2x=\begin{cases} 120^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 240^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \, , \ k \in \mathbb{Z} \ \rightarrowx= \begin{cases} \, 60^\circ + 180^\circ \cdot k \\ 120^\circ + 180^\circ \cdot k \end{cases} \, , \ k \in \mathbb{Z}

Soluciones:

x= \begin{cases} \, 60^\circ + 180^\circ \cdot k \\ 120^\circ + 180^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}

video
Ecuaciones trigonométricas
Tutorial 1a (14'20")     Sinopsis:

Ecuaciones trigonométricas. Ejemplos.

Tutorial 1b (18'21")     Sinopsis:

Ecuaciones trigonométricas. Más ejemplos.

Ejercicio 1 (4´02")     Sinopsis:

Resuelve: 2 sen \, \theta \, -1 = 0\; con 0 \le \theta < 360^o\;

Ejercicio 2 (4´25")     Sinopsis:

Resuelve: 2 cos \, \alpha \, + \sqrt{3} = 0\; con 0 \le \alpha < 360^o\;

Ejercicio 3 (6´11")     Sinopsis:

Resuelve dando la solución en radianes: sen \, x = \cfrac{1}{3}\;.

Ejercicio 4 (5´20")     Sinopsis:

Resuelve dando la solución en radianes:

  1. cos \, \theta = 1\;.
  2. cos \, \theta = -1\;.
Ejercicio 3a (6´23")     Sinopsis:

Resuelve: tg^2 x + cosec^2 x \, - 3 = 0\; (1ª parte)

Ejercicio 3b (5´58")     Sinopsis:

Resuelve: tg^2 x + cosec^2 x \, - 3 = 0\; (2ª parte)

Ejercicio 4 (6'41")     Sinopsis:

Resuelve: -3 sen \, x + cos^2 x= 3\;

Ejercicio 5 (7'02")     Sinopsis:

Resuelve el sistema:

\left . \begin{matrix} sen \, x + sen \, y =\ \cfrac{\sqrt{3} + 1}{2} \\ sen \, x - sen \, y =\ \cfrac{\sqrt{3} - 1}{2} \end{matrix} \right \}
Ejercicio 6 (5´55")     Sinopsis:

Resuelve las siguientes ecuaciones:

  • 1+sen \, x- cos^2 \, x =0
  • cos \, x + cos \, 2x =0
  • sen \, x + cos \, x =1

Ejercicio 7 (5´44")     Sinopsis:

Resuelve las siguientes ecuaciones:

  • sen \, 2x = tg \, x
  • sen \, x + cos \, x =sec \, x
  • tg \, 2x =tg \, x

video
Ecuaciones trigonométricas
Actividad 1     Descripción:

Ecuaciones trigonométricas sencillas.

Actividad 2     Descripción:

En esta escena podrás practicar ejercicios sobre resolución de ecuaciones trigonométricas sencillas.

Actividad 3     Descripción:

En esta escena podrás practicar ejercicios sobre resolución de ecuaciones trigonométricas que se pueden factorizar.

Autoevaluación 1     Descripción:

Resuelve ecuaciones trigonométricas (básico).

Autoevaluación 2     Descripción:

Resuelve ecuaciones trigonométricas.

Autoevaluación 3     Descripción:

Problemas para resolver por medio de ecuaciones trigonométricas.

Autoevaluación 4     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones trigonométricas.

Autoevaluación 5     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre sistemas de ecuaciones trigonométricas.

wolfram
Ecuaciones trigonométricas
wolfram

Actividad: Ecuaciones trigonométricas

Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) cos(30^o+x)=sen(x)\,
b) sen(2x)=tg(x)\,
c) cos(3x)+cos(x)=0\,

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) solve [cos(30º+xº)=sin(xº), 0º<=xº<360º] o bien solve [cos(30º+x)=sin(x), 0<=x<2pi] o bien solve [cos(30º+x)=sin(x)]
b) solve [sin(2xº)= tan(xº), 0º<=xº<360º]
c) solve [cos(3xº)+cos(xº)=0, 0º<=xº<360º] (pulsa luego en "More solutions")
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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones trigonométricas

(Pág. 135)

1; 2a,d; 4a,d; 5b

2b,c; 3; 4b,c; 5a

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Ecuaciones_trigonom%C3%A9tricas_%281%C2%BABach%29"
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