Ecuaciones trigonométricas (1ºBach)

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Ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es aquella en la que las incógnitas aparecen formando parte de los argumentos de funciones trigonométricas.

Como las incógnitas son ángulos, si existe alguna solución, éstas van a ser infinitas (todos los ángulos coterminales con el que hallemos), pero normalmente nos bastará con dar la solución comprendida entre 0º y 360º. También puede darse la solución en radianes.

Las estrategias a seguir para resolver estas ecuaciones son muy diversas: cambio de variable, uso de identidades trigonométricas fundamentales y de fórmulas trigonométricas, etc.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos: Ecuaciones trigonométricas

1. Resuelve: $cos \, (30^\circ + x)= sen \, x$

Solución:[Mostrar]

Solución:

Desarrollamos el coseno de una suma en el primer miembro:

$cos \, 30^\circ \cdot cos \, x - sen \, 30^\circ \cdot sen \, x = sen \, x$

$\cfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot cos \, x - \cfrac{1}{2} \cdot sen \, x = sen \, x$

$\sqrt{3} \, cos \, x = 3 \, sen \, x$

Dividimos ambos miembros por $cos \, x$ . (Observa que $cos \, x=0$ si $x=90^\circ$ ó $x=270^\circ$ , valores que no cumplen la ecuación de partida. Por tanto no estaríamos dividiendo por cero y no perderíamos ninguna solución)

$\sqrt{3} = 3 \, \cfrac{sen \, x}{cos \, x} \ \rightarrow \ \sqrt{3} = 3 \, tg \, x \ \rightarrow$

$\rightarrow tg \, x = \cfrac{\sqrt{3}}{3} \rightarrow \begin{cases} x_1= 30^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_2=210^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} , \, k \in \mathbb{Z}$

Soluciones:

$x= \begin{cases} ~30^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 210^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} , \, k \in \mathbb{Z}$

2. Resuelve: $2 \, tg \, x - 3\, cot \, x - 1=0$

Solución:[Mostrar]

Solución:

Transformamos la ecuación de partida:

$2 \, tg \, x - \cfrac{3}{tg \, x} - 1=0$

$2 \, tg^2 \, x - tg \, x - 3=0$

Hacemos un cambio de variable: $z= tg \, x$

$2z^2- z - 3=0 \,$

$z=\cfrac{1 \pm \sqrt{1+24}}{4}=\cfrac{1 \pm 5}{4}= \begin{cases} z_1=\cfrac{3}{2}\\ z_2=-1 \end{cases}$

Deshacemos el cambio de variable:

$z_1=\cfrac{3}{2} \rightarrow tg \, x_1=\cfrac{3}{2} \rightarrow x_1 =56^\circ \, 18' \, 35'' + 180^\circ \cdot k \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

$z_2=-1 \rightarrow tg \, x_2=-1 \rightarrow x_2 =135^\circ + 180^\circ \cdot k \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

Soluciones:

$x= \begin{cases} 56^\circ \, 18' \, 35'' + 180^\circ \cdot k \\ 135^\circ + 180^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

3. Resuelve: $cos^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0$

Solución:[Mostrar]

Solución:

Usando la identidad fundamental:

$sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1 \rightarrow cos^2 \, x = 1 - sen^2 \, x$

Sustituimos en nuestra ecuación de partida:

$1-sen^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0$

$1-4 \, sen^2 \, x =0 \rightarrow sen^2 \, x =\cfrac{1}{4}\rightarrow sen \, x =\pm \cfrac{1}{2}$

Veamos cada uno de los dos casos:

$sen \, x = \cfrac{1}{2} \rightarrow \begin{cases} x_1 =30^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_2 =150^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases}$

$sen \, x = -\cfrac{1}{2} \rightarrow \begin{cases} x_3 =210^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_4 =330^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases}$

Soluciones:

$x=\begin{cases} 30^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 150^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 210^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 330^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases}$

4. Resuelve: $cos \,3x + cos \, x=0$

Solución:[Mostrar]

Solución:

Transformamos la suma en producto:

$2 \cdot cos \, \cfrac{3x+x}{2} \cdot cos \, \cfrac{3x-x}{2}=0$

$2 \cdot cos \, 2x \cdot cos \, x = 0$

Dividimos ambos miembros entre 2 e igualamos a cero cada factor:

$cos \, 2x \cdot cos \, x = 0 \rightarrow \begin{cases} cos \, 2x =0 \\ \acute{o} \\ cos \, x = 0 \end{cases}$

Veamos que ocurre en cada caso:

$cos \, x = 0 \rightarrow \begin{cases} x_1=90^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_2=270^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

$cos \, 2x = 0 \rightarrow cos^2 \, x - sen^2 \, x = 0 \rightarrow cos^2 \, x = sen^2 \, x$

$\rightarrow \begin{cases} cos \, x = sen \, x \rightarrow \begin{cases} x_3 = 45^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_4 = 225^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z} \\ \acute{o} \\ cos \, x = -sen \, x \rightarrow \begin{cases} x_5 = 135^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_6 = 315^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases}$

Soluciones: Se comprueba que los 6 conjuntos de soluciones anteriores son válidos. Podemos abreviar su expresión de la siguiente manera:

$x=\begin{cases} 90^\circ + 180^\circ \cdot k \\ 45^\circ + 90^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

5. Resuelve: $sen^2 \, x - cos^2 \, x = \cfrac{1}{2}$

Solución:[Mostrar]

Solución:

Multiplicamos los dos miembros por -1:

$cos^2 \, x - sen^2 \, x = -\cfrac{1}{2} \rightarrow cos \, 2x=-\cfrac{1}{2}$

$2x=\begin{cases} 120^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 240^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \, , \ k \in \mathbb{Z} \ \rightarrow$ $x= \begin{cases} \, 60^\circ + 180^\circ \cdot k \\ 120^\circ + 180^\circ \cdot k \end{cases} \, , \ k \in \mathbb{Z}$