Fórmulas trigonométricas (1ºBach)

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}} }}
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-==Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos==+==Introducción==
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Razones del ángulo suma, diferencia, doble y mitad
 +|duracion=13´12"
 +|url1=https://youtu.be/zYCytkWAeiI?list=PLwCiNw1sXMSCaukmrbPRm2SQuhas4kWS_
 +|sinopsis=En este tutorial se condensan todas las fórmulas que van a verse en esta página, acompañadas de algunos ejemplos.
 +}}
 + 
 +==Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos==
{{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos {{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
|enunciado= |enunciado=
-:'''I.1:'''{{b4}}<math>sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta</math>+'''I.1:'''{{b4}}<math>sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta</math>
- +{{p}}
-:'''I.2:'''{{b4}}<math>cos \, (\alpha + \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math>+'''I.2:'''{{b4}}<math>cos \, (\alpha + \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math>
- +{{p}}
-:'''I.3:'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>tg \, (\alpha + \beta) = \frac{tg \, \alpha + tg \, \beta}{1 - tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math>}}+'''I.3:'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>tg \, (\alpha + \beta) = \frac{tg \, \alpha + tg \, \beta}{1 - tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math>}}
|demo=[[Imagen:senosuma.png|right|250px]] |demo=[[Imagen:senosuma.png|right|250px]]
'''I.1:''' '''I.1:'''
- +{{p}}
<math>sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}</math> <math>sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}</math>
- +{{p}}
*En el triángulo '''ABC''': <math>\overline{CA}=\overline{AB} \cdot cos \, \alpha</math> *En el triángulo '''ABC''': <math>\overline{CA}=\overline{AB} \cdot cos \, \alpha</math>
 +{{p}}
*En el triángulo '''OAQ''': <math>\overline{AQ}=\overline{OA} \cdot sen \, \alpha</math> *En el triángulo '''OAQ''': <math>\overline{AQ}=\overline{OA} \cdot sen \, \alpha</math>
 +{{p}}
*En el triángulo '''OBA''': <math>\begin{cases} \overline{AB}=\overline{OB} \cdot sen \, \beta \\ \overline{OA}=\overline{OB} \cdot cos \, \beta \end{cases}</math> *En el triángulo '''OBA''': <math>\begin{cases} \overline{AB}=\overline{OB} \cdot sen \, \beta \\ \overline{OA}=\overline{OB} \cdot cos \, \beta \end{cases}</math>
- +{{p}}
Sustituyendo: Sustituyendo:
- +{{p}}
<math>sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{AB} \cdot cos \, \alpha +\overline{OA} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> <math>sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{AB} \cdot cos \, \alpha +\overline{OA} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math>
 +{{p}}
::::<math>=\cfrac{\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot cos \, \alpha +\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> ::::<math>=\cfrac{\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot cos \, \alpha +\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math>
 +{{p}}
::::<math>= sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha</math> ::::<math>= sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha</math>
- +{{p}}
- +
'''I.2:''' '''I.2:'''
- +{{p}}
<math>cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}</math> <math>cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}</math>
- +{{p}}
*En el triángulo '''ABC''': <math>\overline{BC}=\overline{AB} \cdot sen \, \alpha</math> *En el triángulo '''ABC''': <math>\overline{BC}=\overline{AB} \cdot sen \, \alpha</math>
 +{{p}}
*En el triángulo '''OAQ''': <math>\overline{OQ}=\overline{OA} \cdot cos \, \alpha</math> *En el triángulo '''OAQ''': <math>\overline{OQ}=\overline{OA} \cdot cos \, \alpha</math>
- +{{p}}
Sustituyendo: Sustituyendo:
- +{{p}}
<math>cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OA} \cdot cos \, \alpha -\overline{AB} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> <math>cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OA} \cdot cos \, \alpha -\overline{AB} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math>
 +{{p}}
::::<math>\cfrac{\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot cos \, \alpha -\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> ::::<math>\cfrac{\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot cos \, \alpha -\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math>
 +{{p}}
::::<math>= cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> ::::<math>= cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math>
- +{{p}}
'''I.3:''' '''I.3:'''
- +{{p}}
<math>tg \, (\alpha + \beta)=\cfrac{sen \, (\alpha + \beta)}{cos \, (\alpha + \beta)}=\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}=</math> <math>tg \, (\alpha + \beta)=\cfrac{sen \, (\alpha + \beta)}{cos \, (\alpha + \beta)}=\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}=</math>
- +{{p}}
::::(Dividiendo numerador y denominador por <math>cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta</math>) ::::(Dividiendo numerador y denominador por <math>cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta</math>)
- +{{p}}
::::<math>=\cfrac{\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} + \cfrac{cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}{\cfrac{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} - \cfrac{sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}=\cfrac{tg \, \beta + tg \, \alpha}{1-tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math> ::::<math>=\cfrac{\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} + \cfrac{cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}{\cfrac{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} - \cfrac{sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}=\cfrac{tg \, \beta + tg \, \alpha}{1-tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math>
}} }}
{{p}} {{p}}
 +{{ejemplo
 +|titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos''
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 +Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>sen \, 75^\circ \,</math>}} (sin calculadora)
 +|sol=
 +<math>sen \, 75^\circ= sen \, (45^\circ + 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ + cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ=</math>
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 +<math>= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}+ \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+1)}{4}</math>
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 +{{Video_enlace_fonemato
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 +|titulo1=Coseno de la suma de dos ángulos
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 +|sinopsis=Demostración de la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos.
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 +|titulo1=Tangente de la suma de dos ángulos
 +|duracion=9´45"
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 +|sinopsis=Demostración de la fórmula de la tangente de la suma de dos ángulos.
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 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Seno de la suma de dos ángulos
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 +|sinopsis=Demostración de la fórmula del seno de la suma de dos ángulos.
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 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Coseno de la suma de dos ángulos
 +|duracion=5´13"
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 +|sinopsis=Demostración de la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos.
 +}}
-==Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos==+{{Video_enlace_abel
 +|titulo1=Cotangente de la suma de dos ángulos
 +|duracion=11´15"
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 +|sinopsis=Demostración de la fórmula de la cotangente de la suma de dos ángulos.
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 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Razones trigonométricas de la suma de tres ángulos
 +|duracion=5´23"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=gcto_sBqkGc&index=17&list=PL8C0D37B1235315C7
 +|sinopsis=Obtención de la fórmula del seno, coseno y tangente de la suma de tres ángulos.
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=3´15"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=0Ofgbx6Cu6E
 +|sinopsis=Halla el valor exacto de <math>cos \, 105^o</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1= Ejercicio 2
 +|duracion=14´12"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=A8FcMRnR57E
 +|sinopsis=Halla el valor exacto de <math>tg \, 75^o</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1= Ejercicio 3
 +|duracion=3´51"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=-jw3VsDuC6M&index=18&list=PL8C0D37B1235315C7
 +|sinopsis=Hallar las razones trigonométricas de <math>\theta + \mu\;</math> sabiendo que <math>\theta\;</math> y <math>\mu\;</math> son del segundo cuadrante y que <math>sen \,\theta = 1/2</math> y que <math>cos \,\mu = -2/3</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1= Ejercicio 4
 +|duracion=3´01"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=rq2v3ZyHbTM&index=19&list=PL8C0D37B1235315C7
 +|sinopsis=Demostrar que si <math>A+B+C=180^{\circ}</math>, entonces <math>tg \, A + tg \, B + tg \, C = tg \, A \cdot tg \, B \cdot tg \, C</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1= Ejercicio 5
 +|duracion=5´45"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XxueEKjiuuA
 +|sinopsis=Halla <math>cos\,(\hat B + 60º)</math> a partir del dibujo dado en el video.
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1= Ejercicio 6
 +|duracion=5´45"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XxueEKjiuuA
 +|sinopsis=Halla el valor exacto de <math>sen \, \cfrac{7\pi}{12}</math>.
 +----
 +'''¡Ojo!:''' Estamos trabajando con ángulos en radianes.
 +}}
 +}}
 +{{Actividades|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos|enunciado=
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 1
 +|descripcion=Usa las identidades trigonométricas de la suma de ángulos.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/intro-to-trig-angle-addition-identities/e/trig_addition_identities
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 2
 +|descripcion=Encuentra valores trigonométricos exactos usando las identidades de la suma de ángulos.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/using-trig-identities/e/applying-angle-addition-formulas
 +}}
 +}}
 +{{p}}
{{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos {{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos
|enunciado= |enunciado=
-:'''II.1:'''{{b4}}<math>sen \, (\alpha - \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta - cos \, \alpha \cdot sen \, \beta</math>+'''II.1:'''{{b4}}<math>sen \, (\alpha - \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta - cos \, \alpha \cdot sen \, \beta</math>
-:'''II.2:'''{{b4}}<math>cos \, (\alpha - \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta + sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math>+'''II.2:'''{{b4}}<math>cos \, (\alpha - \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta + sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math>
-:'''II.3:'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>tg \, (\alpha - \beta) = \frac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1 + tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math>}}+'''II.3:'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>tg \, (\alpha - \beta) = \frac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1 + tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math>}}
|demo= |demo=
-Para las demostraciones basta sustituir \alpha - \beta por \alpha + (-\beta) y aplicar las fórmulas de la suma (I.1, I.2 y I.3) y tener en cuenta las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo y su opuesto:+Para las demostraciones basta sustituir <math>\alpha - \beta \,</math> por <math>\alpha + (-\beta) \,</math> y aplicar las fórmulas de la suma ('''I.1''', '''I.2''' y '''I.3''') y tener en cuenta las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo y su opuesto:
<center><math>sen \, (-\alpha)=-sen \, \alpha \, , \quad cos \, (-\alpha)=cos \, \alpha \, , \quad tg \, (-\alpha)=-tg \, \alpha</math></center> <center><math>sen \, (-\alpha)=-sen \, \alpha \, , \quad cos \, (-\alpha)=cos \, \alpha \, , \quad tg \, (-\alpha)=-tg \, \alpha</math></center>
}} }}
{{p}} {{p}}
-==Razones trigonométricas del ángulo doble==+{{ejemplo
 +|titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos''
 +|enunciado={{p}}
 +Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>sen \, 15^\circ</math>}} (sin calculadora)
 +|sol=
 +<math>sen \, 15^\circ= sen \, (45^\circ - 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ - cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ=</math>
{{p}} {{p}}
-==Razones trigonométricas del ángulo mitad==+<math>= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}- \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}-1)}{4}</math>
 +}}
{{p}} {{p}}
-==Sumas y diferencias de senos y cosenos== 
-[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]][[Categoría: Funciones]]+{{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos|enunciado=
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Tutorial
 +|duracion=7´08
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=sBpx0-KjpNA&index=20&list=PL8C0D37B1235315C7
 +|sinopsis=Fórmulas trigonométricas de la diferencia de dos ángulos con demostración.
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=3´49"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=-WnHUiePogg
 +|sinopsis=Obtención del valor exacto de <math>sen \, 15^{\circ}</math> a partir de la fórmula del seno del ángulo diferencia.
 +}}
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=9´55"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=i0PZwglONQQ
 +|sinopsis=Obtención del valor exacto de <math>cos \left( arc\,sen \cfrac{8}{17} - arc\,cos \cfrac{12}{13} \right)</math>.
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 + 
 +==Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad==
 +{{Teorema|titulo=Razones trigonométricas del ángulo doble
 +|enunciado=
 +'''III.1:'''{{b4}}<math>sen \, (2 \, \alpha) = 2 \, sen \, \alpha \cdot cos \, \alpha</math>
 + 
 +'''III.2:'''{{b4}}<math>cos \, (2 \, \alpha) = cos^2 \, \alpha - sen^2 \, \alpha</math>
 + 
 +'''III.3:'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>tg \, (2 \, \alpha) = \frac{2 \, tg \, \alpha}{1 - tg^2 \, \alpha}</math>}}
 +|demo=
 +Basta utilizar las fórmulas de la suma ('''I.1''', '''I.2''' y '''I.3''') y hacer <math>\alpha= \beta \,</math>.
 +}}
 +{{p}}
 +{{ejemplo
 +|titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas del ángulo doble''
 +|enunciado={{p}}
 +Calcula el valor de {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>cos \, 120^\circ \,</math>}} a partir de las razones trigonométricas de 60º.
 +|sol=
 +<math>cos \, 120^\circ= cos^2 \, 60^\circ - sen^2 \, 60^\circ=\cfrac{1}{4}-\cfrac{3}{4}=-\cfrac{1}{2}</math>
 +}}
 +{{p}}
 + 
 +{{Teorema|titulo=Razones trigonométricas del ángulo mitad
 +|enunciado=
 +'''IV.1:'''{{b4}}<math>sen \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{2}}</math>
 + 
 +'''IV.2:'''{{b4}}<math>cos \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1+cos \, \alpha}{2}}</math>
 + 
 +'''IV.3:'''{{b4}}<math>tg \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{1+cos \, \alpha}}</math>
 +|demo=Teniendo en cuenta que <math>\alpha= 2 \cdot \cfrac{\alpha}{2}</math> y utilizando la fórmula '''III.2''' del coseno del ángulo doble, tenemos:
 + 
 +<center><math>cos \, \alpha=cos \, \Big( 2 \cdot \cfrac{\alpha}{2} \Big) = cos^2 \, \cfrac{\alpha}{2}- sen^2 \cfrac{\alpha}{2}</math></center>
 + 
 +que combinado con la fórmula fundamental, nos da el siguiente sistema:
 + 
 +<math>
 +\begin{cases} cos \, \alpha = cos^2 \cfrac{\alpha}{2} - sen^2 \cfrac{\alpha}{2} \\ 1= cos^2 \cfrac{\alpha}{2} + sen^2 \cfrac{\alpha}{2} \end{cases}
 +</math>
 + 
 +Sumando y restando ambas ecuaciones, tenemos las siguientes expresiones:
 + 
 +<math>
 +\begin{cases} 1 + cos \, \alpha = 2 \, cos^2 \cfrac{\alpha}{2} \\ 1 - cos \, \alpha = 2 \, sen^2 \cfrac{\alpha}{2}\end{cases}
 +</math>
 + 
 +De estas igualdades se despejan <math>cos \, \cfrac{\alpha}{2}</math> y <math>sen \, \cfrac{\alpha}{2}</math>, y a partir de ellos, se obtiene el valor de <math>tg \, \cfrac{\alpha}{2}</math>.
 + 
 +}}
 +{{p}}
 +{{ejemplo
 +|titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas del ángulo mitad''
 +|enunciado={{p}}
 +Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>tg \, 22^\circ \, 30'</math>}} (sin calculadora).
 +|sol=
 +<math>tg \, 22^\circ \, 30'= tg \Big( \cfrac{45^\circ}{2} \Big)=\sqrt{\cfrac{1-cos \, 45^\circ}{1+cos \, 45^\circ}}=\sqrt{\cfrac{1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}}=\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=-1+\sqrt{2}</math>
 +}}
 +{{p}}
 + 
 +{{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad|enunciado=
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Razones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad
 +|duracion=8´03
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=yVW2LHijBNM&index=22&list=PL8C0D37B1235315C7
 +|sinopsis=Fórmulas trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad con demostración.
 +}}
 +----
 +'''Razones trigonométricas del ángulo doble:'''
 + 
 +{{Video_enlace_abel
 +|titulo1=Seno del ángulo doble
 +|duracion=3´00
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=npnQ54FRPV4
 +|sinopsis=Demostración de la fórmula del seno del ángulo doble.
 +}}
 +{{Video_enlace_abel
 +|titulo1=Coseno del ángulo doble
 +|duracion=10´42
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=eEJ_Q-Twqcg
 +|sinopsis=Demostración de la fórmula del coseno del ángulo doble.
 +}}
 +{{Video_enlace_abel
 +|titulo1=Tangente y cotangente del ángulo doble
 +|duracion=9´19
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=h2MEjBaT-7w
 +|sinopsis=Demostración de la fórmula de la tangente y la cotangente del ángulo doble.
 +}}
 +----
 + 
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1= Ejercicio 1
 +|duracion=7´04"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=BJVxcEThHp4
 +|sinopsis=Si <math>tan \, \alpha = \cfrac{4}{3}</math> y <math>\alpha \in III</math>, halla el valor exacto de <math>sen \, 2\alpha</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=2´48"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=8ESRmd-i_qs
 +|sinopsis=Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:
 + 
 +<math>4 \,sen^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha = 1 - cos^2 (2\alpha)\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=13´46"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=sOfb8x5_9jM&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=42
 +|sinopsis=
 +:a) Calcula: <math>sec \, 120^{\circ}</math>
 + 
 +:b) Sin usar la fórmula del ángulo doble, demuestra que <math>cos \, 2x = 1- sen^2 \, x</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=14´04"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=qHXaptv7Hgc&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=43
 +|sinopsis=Halla el valor de ''x'' en la figura dada.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 5
 +|duracion=16´36"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=9knwfcegQ8o&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=44
 +|sinopsis=Halla el valor que te piden en la figura dada.
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1= Ejercicio 6
 +|duracion=4´06"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=RdsPF0aJdCo
 +|sinopsis=Halla <math>cos\,(2\,\hat B)</math> a partir del dibujo dado en el video.
 +}}
 +----
 +'''Razones trigonométricas del ángulo mitad:'''
 + 
 +{{Video_enlace_abel
 +|titulo1=Seno del ángulo mitad
 +|duracion=7´23
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=56-0L7bwaH8
 +|sinopsis=Demostración de la fórmula del seno del ángulo mitad.
 +}}
 +{{Video_enlace_abel
 +|titulo1=Coseno del ángulo mitad
 +|duracion=7´33
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=mkVb4zYb6bE
 +|sinopsis=Demostración de la fórmula del coseno del ángulo mitad.
 +}}
 +{{Video_enlace_abel
 +|titulo1=Tangente del ángulo mitad
 +|duracion=7´40
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=OOFahCF09RU
 +|sinopsis=Demostración de la fórmula de la tangente del ángulo mitad.
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=14´29"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=lIpmDO_pdBg&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=47
 +|sinopsis=
 +:a) Demostrar que <math>tg\,\cfrac{x}{2}=cosec\,x-cotg\,x</math>.
 + 
 +:b) Demostrar que <math>cotg\,\cfrac{x}{2}=cosec\,x+cotg\,x</math>. (este ejercicio queda propuesto pero no resuelto)
 + 
 +:c) Apoyándote en los apartados anteriores, simplifica <math>M=\cfrac{cotg\, \cfrac{x}{2}-2\,cotg\,x}{tg\, \cfrac{x}{2}+cotg\,x}+cos\,x</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=8´59"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=C-60bamV32A&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=45
 +|sinopsis=Reduce <math>(cos\,a-cos\,b)^2+(sen\,a-sen\,b)^2</math> en función de <math>\cfrac{a-b}{2}</math>.
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 + 
 +==Razones trigonométricas del ángulo triple==
 +{{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas del ángulo triple|enunciado=
 +{{Video_enlace_abel
 +|titulo1= Seno del ángulo triple
 +|duracion=13´29"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=e4lGMXfF8kQ
 +|sinopsis=Obtención de la fórmula del seno del ángulo triple.
 +}}
 +{{Video_enlace_abel
 +|titulo1= Coseno del ángulo triple
 +|duracion=15´18"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=MpD0kfDgEvY
 +|sinopsis=Obtención de la fórmula del coseno del ángulo triple.
 +}}
 +{{Video_enlace_abel
 +|titulo1= Tangente del ángulo triple
 +|duracion=17´44"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Xm_qy86ZHaE
 +|sinopsis=Obtención de la fórmula de la tangente del ángulo triple.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Seno y coseno del ángulo triple
 +|duracion=5´22"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=9TvJGhKyrVs&index=23&list=PL8C0D37B1235315C7
 +|sinopsis=*Determinar el <math>sen 3\theta\;</math> en función del <math>sen \theta\;</math>.
 +*Determinar el <math>cos 3\theta\;</math> en función del <math>cos \theta\;</math>.
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1= Ejercicio 1
 +|duracion=6´43"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=nPXYNsTPohQ&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=49&t=11m39s
 +|sinopsis= Si <math>tg \, x + cotg \, x =6</math>, halla <math>sen\,6x</math>.
 + 
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1= Ejercicio 2
 +|duracion=12´30"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XCnp0TJ3V4w&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=50
 +|sinopsis=Eliminar ''x'' en:
 + 
 +:<math>\left . \begin{matrix} ~cos \, x - sen \, x \ =\ a \\ cos \, 3x + sen \, 3x =\ b \end{matrix} \right \}</math>
 + 
 +}}
 + 
 +}}
 +{{p}}
 + 
 +==Transformaciones de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos==
 +{{Teorema|titulo=Transformaciones de sumas en productos
 +|enunciado=
 +'''V.1:'''{{b4}}<math>sen \, A + sen \, B = 2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}</math>
 + 
 +'''V.2:'''{{b4}}<math>sen \, A - sen \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}</math>
 + 
 +'''V.3:'''{{b4}}<math>cos \, A + cos \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}</math>
 + 
 +'''V.4:'''{{b4}}<math>cos \, A - cos \, B = -2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}</math>
 +|demo=
 +'''V.1 y V.2:'''
 + 
 +Partiendo de las expresiones del '''I.1''' y '''II.1''' del seno de una suma y de una diferencia:
 + 
 +:'''I.1:''' <math>sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta</math>
 + 
 +:'''II.1:''' <math>sen \, (\alpha - \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta - cos \, \alpha \cdot sen \, \beta</math>
 + 
 +Sumando y restando ambas expresiones, obtenemos:
 + 
 +:Sumando: <math>sen \, (\alpha + \beta) +sen \, (\alpha - \beta)= 2 \, sen \, \alpha \cdot cos \, \beta</math> '''[1]'''
 + 
 +:Restando: <math>sen \, (\alpha + \beta) -sen \, (\alpha - \beta)= 2 \, cos \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> '''[2]'''
 + 
 +Hacemos los siguientes cambios de variable:
 +<math>
 +\begin{cases} \alpha + \beta = A \\ \alpha - \beta = B \end{cases}
 +</math>
 + 
 +Resolviendo este sistema:
 + 
 +<math>
 +\begin{cases} \alpha = \cfrac{A+B}{2} \\ \beta = \cfrac{A-B}{2} \end{cases}
 +</math>
 + 
 +que sustituidas en '''[1]''' y '''[2]''' nos da '''V.1''' y '''V.2'''.
 + 
 +}}
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Transformaciones de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos|enunciado=
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Transformación de una suma y de una diferencia en un producto
 +|duracion=6´46
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=f0W9R_ddEW8&index=28&list=PL8C0D37B1235315C7
 +|sinopsis=Fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia en producto con demostración.
 +}}
 +{{Video_enlace_abel
 +|titulo1=Transformación de una suma y de una diferencia de cosenos en un producto
 +|duracion=13´46
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=YSAnzLe153Q
 +|sinopsis=Demostración de las fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia de cosenos en producto.
 +}}
 +{{Video_enlace_abel
 +|titulo1=Transformación de una suma y de una diferencia de senos en un producto
 +|duracion=13´00
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=3HBUDjB2mMA
 +|sinopsis=Demostración de las fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia de senos en producto.
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicios 1
 +|duracion=9´49
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=KfFjbB55upk&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=51
 +|sinopsis=Ejercicios.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicios 2
 +|duracion=16´08
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=NFQBqyTkIaM&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=52
 +|sinopsis=Ejercicios.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicios 3
 +|duracion=17´29
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Gl3yKDXc194&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=53
 +|sinopsis=Ejercicios.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicios 4
 +|duracion=11´04
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=uHpRYiNGudA&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=54
 +|sinopsis=Ejercicios.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicios 5
 +|duracion=20´29
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=9BQloU-YYE0&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=55
 +|sinopsis=Ejercicios.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicios 6
 +|duracion=17´09
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=cE3s0dugIJg&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=56
 +|sinopsis=Ejercicios.
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 +{{ejemplo
 +|titulo=Ejemplo: ''Transformaciones de sumas en productos''
 +|enunciado={{p}}
 +Transforma en producto y calcula: {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ</math>}}.
 +|sol=
 +<math>sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ= 2 \, cos \, \cfrac{75^\circ+15^\circ}{2} \cdot sen \, \cfrac{75^\circ-15^\circ}{2}= </math>
 +{{p}}
 +<math>= 2 \, cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ= 2 \, \cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}</math>
 +}}
 +{{p}}
 +{{wolfram desplegable|titulo=Fórmulas trigonométricas|contenido=
 +{{wolfram
 +|titulo=Fórmulas trigonométricas
 +|cuerpo=
 +{{ejercicio_cuerpo
 +|enunciado=
 + 
 +:a) Calcula: {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ</math>}}
 +:b) Obtén: {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>sen(x-y)\,</math>}}
 +:c) Factoriza: {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>sen(x)+sen(y)\,</math>}}
 + 
 +{{p}}
 +|sol=
 +Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
 + 
 +:a) {{consulta|texto=simplify sin(75º)-sin(15º)}}
 +:b) {{consulta|texto=expand sin(x-y)}}
 +:c) {{consulta|texto=factor sin(x)+sin(y)}}
 + 
 +{{widget generico}}
 +}}
 +}}
 +}}
 + 
 +==Ejercicios==
 +{{AI_upr
 +|titulo1=Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia
 +|descripcion=Actividad para practicar el cálculo de las razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de ángulos.
 +----
 +'''Aviso:''' Antes de hacer la actividad puedes ver algunos ejemplos en: '''[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master//trig_sum_dif/trig_sum_dif.html Ejemplos]'''
 +|url1=http://quiz.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/oneques.cgi?database=Precalculo2_soluciones/trig_ids/addition-ids.db&no_ques=4
 +}}
 +{{AI_upr
 +|titulo1=Razones trigonométricas del ángulo doble y mitad
 +|descripcion=Actividad para practicar el cálculo de las razones trigonométricas del ángulo doble y mitad.
 +----
 +'''Aviso:''' Antes de hacer la actividad puedes ver algunos ejemplos en: '''[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/trig_dob_med/trig_doble_mitad.html Ejemplos]'''
 + 
 +|url1=http://quiz.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/oneques.cgi?database=Precalculo2_soluciones/trig_ids/halfang.db&no_ques=8
 +}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios|enunciado=
 +'''Razones trigonométricas del ángulo suma y diferencia:'''
 + 
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicios 1
 +|duracion=16'13"
 +|sinopsis=Usando las razones trigonométricas de la suma y de la diferencia, calcula:
 + 
 +:a) <math>cos \, 75^{\circ}</math>
 + 
 +:b) Si <math>tg \, (x+y)=5</math> y <math>tg \, x=7</math>, calcula <math>tg\, y</math>.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Fb9vpVdOmXg&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=39
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicios 2
 +|duracion=14'44"
 +|sinopsis=
 +:a) Si <math>x+y=45^{\circ}\;</math>, simplifica <math>M=\cfrac{1 + tg\,x}{1 + tg\,y}</math>
 + 
 +:b) Simplifica: <math>M=sen \, (x+y) \cdot sen \, (x-y) + sen^2 \, y</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=meth8PkW5yM&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=40
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1= Ejercicio 3
 +|duracion=11´40"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=nPXYNsTPohQ&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=49
 +|sinopsis=Simplifica: <math>4 \, cos \, x \cdot cos \, (60^{\circ}+x) \cdot cos \, (60^{\circ}-x)</math>
 + 
 +}}
 +----
 +'''Razones trigonométricas del ángulo doble y mitad:'''
 + 
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1= Ejercicio 1
 +|duracion=4´58"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=r4ANdw_njZc&index=24&list=PL8C0D37B1235315C7
 +|sinopsis=Si <math>\mu</math> es un ángulo del tercer cuadrante, y <math>tg \mu = 3\;</math>, determinar las razones trigonométricas de <math>\mu /2</math>.
 +}}
 +}}
 +===Ejercicios propuestos===
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Fórmulas trigonométricas''
 +|cuerpo=
 +(Pág. 130-133)
 + 
 +[[Imagen:red_star.png|12px]] 5, 7, 9, 11, 14, 15, 17b,c, 18
 + 
 +[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 13
 +}}
 + 
 +[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]
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Introducción

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Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos

ejercicio

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

I.1:    sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta

I.2:    cos \, (\alpha + \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta

I.3:    tg \, (\alpha + \beta) = \frac{tg \, \alpha + tg \, \beta}{1 - tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}

ejercicio

Ejemplo: Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Calcula el valor exacto de sen \, 75^\circ \, (sin calculadora)

ejercicio

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

II.1:    sen \, (\alpha - \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta - cos \, \alpha \cdot sen \, \beta

II.2:    cos \, (\alpha - \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta + sen \, \alpha \cdot sen \, \beta

II.3:    tg \, (\alpha - \beta) = \frac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1 + tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}

ejercicio

Ejemplo: Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Calcula el valor exacto de sen \, 15^\circ (sin calculadora)

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Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad

ejercicio

Razones trigonométricas del ángulo doble

III.1:    sen \, (2 \, \alpha) = 2 \, sen \, \alpha \cdot cos \, \alpha

III.2:    cos \, (2 \, \alpha) = cos^2 \, \alpha - sen^2 \, \alpha

III.3:    tg \, (2 \, \alpha) = \frac{2 \, tg \, \alpha}{1 - tg^2 \, \alpha}

ejercicio

Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo doble

Calcula el valor de cos \, 120^\circ \, a partir de las razones trigonométricas de 60º.

ejercicio

Razones trigonométricas del ángulo mitad

IV.1:    sen \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{2}}

IV.2:    cos \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1+cos \, \alpha}{2}}

IV.3:    tg \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{1+cos \, \alpha}}

ejercicio

Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo mitad

Calcula el valor exacto de tg \, 22^\circ \, 30' (sin calculadora).

[editar]

Razones trigonométricas del ángulo triple

[editar]

Transformaciones de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos

ejercicio

Transformaciones de sumas en productos

V.1:    sen \, A + sen \, B = 2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}

V.2:    sen \, A - sen \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}

V.3:    cos \, A + cos \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}

V.4:    cos \, A - cos \, B = -2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}

ejercicio

Ejemplo: Transformaciones de sumas en productos

Transforma en producto y calcula: sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ.

[editar]

Ejercicios

[editar]

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Fórmulas trigonométricas

(Pág. 130-133)

5, 7, 9, 11, 14, 15, 17b,c, 18

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 13

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/F%C3%B3rmulas_trigonom%C3%A9tricas_%281%C2%BABach%29"
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