Fórmulas trigonométricas (1ºBach)
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- | ==Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos== | + | ==Introducción== |
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+ | |titulo1=Razones del ángulo suma, diferencia, doble y mitad | ||
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+ | |sinopsis=En este tutorial se condensan todas las fórmulas que van a verse en esta página, acompañadas de algunos ejemplos. | ||
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+ | ==Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos== | ||
{{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos | {{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos | ||
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- | :'''I.1:'''{{b4}}<math>sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> | + | '''I.1:'''{{b4}}<math>sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> |
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- | :'''I.2:'''{{b4}}<math>cos \, (\alpha + \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> | + | '''I.2:'''{{b4}}<math>cos \, (\alpha + \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> |
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- | :'''I.3:'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>tg \, (\alpha + \beta) = \frac{tg \, \alpha + tg \, \beta}{1 - tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math>}} | + | '''I.3:'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>tg \, (\alpha + \beta) = \frac{tg \, \alpha + tg \, \beta}{1 - tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math>}} |
|demo=[[Imagen:senosuma.png|right|250px]] | |demo=[[Imagen:senosuma.png|right|250px]] | ||
'''I.1:''' | '''I.1:''' | ||
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<math>sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}</math> | <math>sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}</math> | ||
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*En el triángulo '''ABC''': <math>\overline{CA}=\overline{AB} \cdot cos \, \alpha</math> | *En el triángulo '''ABC''': <math>\overline{CA}=\overline{AB} \cdot cos \, \alpha</math> | ||
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*En el triángulo '''OAQ''': <math>\overline{AQ}=\overline{OA} \cdot sen \, \alpha</math> | *En el triángulo '''OAQ''': <math>\overline{AQ}=\overline{OA} \cdot sen \, \alpha</math> | ||
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*En el triángulo '''OBA''': <math>\begin{cases} \overline{AB}=\overline{OB} \cdot sen \, \beta \\ \overline{OA}=\overline{OB} \cdot cos \, \beta \end{cases}</math> | *En el triángulo '''OBA''': <math>\begin{cases} \overline{AB}=\overline{OB} \cdot sen \, \beta \\ \overline{OA}=\overline{OB} \cdot cos \, \beta \end{cases}</math> | ||
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Sustituyendo: | Sustituyendo: | ||
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<math>sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{AB} \cdot cos \, \alpha +\overline{OA} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> | <math>sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{AB} \cdot cos \, \alpha +\overline{OA} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> | ||
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::::<math>=\cfrac{\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot cos \, \alpha +\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> | ::::<math>=\cfrac{\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot cos \, \alpha +\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> | ||
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<math>cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}</math> | <math>cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}</math> | ||
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*En el triángulo '''ABC''': <math>\overline{BC}=\overline{AB} \cdot sen \, \alpha</math> | *En el triángulo '''ABC''': <math>\overline{BC}=\overline{AB} \cdot sen \, \alpha</math> | ||
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*En el triángulo '''OAQ''': <math>\overline{OQ}=\overline{OA} \cdot cos \, \alpha</math> | *En el triángulo '''OAQ''': <math>\overline{OQ}=\overline{OA} \cdot cos \, \alpha</math> | ||
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Sustituyendo: | Sustituyendo: | ||
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<math>cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OA} \cdot cos \, \alpha -\overline{AB} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> | <math>cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OA} \cdot cos \, \alpha -\overline{AB} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> | ||
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::::<math>\cfrac{\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot cos \, \alpha -\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> | ::::<math>\cfrac{\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot cos \, \alpha -\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> | ||
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'''I.3:''' | '''I.3:''' | ||
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<math>tg \, (\alpha + \beta)=\cfrac{sen \, (\alpha + \beta)}{cos \, (\alpha + \beta)}=\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}=</math> | <math>tg \, (\alpha + \beta)=\cfrac{sen \, (\alpha + \beta)}{cos \, (\alpha + \beta)}=\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}=</math> | ||
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::::(Dividiendo numerador y denominador por <math>cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta</math>) | ::::(Dividiendo numerador y denominador por <math>cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta</math>) | ||
- | + | {{p}} | |
::::<math>=\cfrac{\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} + \cfrac{cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}{\cfrac{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} - \cfrac{sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}=\cfrac{tg \, \beta + tg \, \alpha}{1-tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math> | ::::<math>=\cfrac{\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} + \cfrac{cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}{\cfrac{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} - \cfrac{sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}=\cfrac{tg \, \beta + tg \, \alpha}{1-tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math> | ||
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Línea 62: | Línea 69: | ||
|titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos'' | |titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos'' | ||
|enunciado={{p}} | |enunciado={{p}} | ||
- | :Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>sen \, 75^\circ \,</math>}} (sin calculadora) | + | Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>sen \, 75^\circ \,</math>}} (sin calculadora) |
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- | :<math>sen \, 75^\circ= sen \, (45^\circ + 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ + cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}+ \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+1)}{4}</math> | + | <math>sen \, 75^\circ= sen \, (45^\circ + 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ + cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ=</math> |
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+ | <math>= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}+ \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+1)}{4}</math> | ||
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+ | {{Video_enlace_fonemato | ||
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- | |sinopsis=Seno, coseno y tangente de la suma de tres ángulos. | + | |sinopsis=Obtención de la fórmula del seno, coseno y tangente de la suma de tres ángulos. |
}} | }} | ||
- | {{Video_enlace | + | ---- |
- | |titulo1= Ejercicio | + | {{Video_enlace_julioprofe |
- | |duracion=3´52" | + | |titulo1=Ejercicio 1 |
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- | |sinopsis=Videotutorial. | + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=0Ofgbx6Cu6E |
+ | |sinopsis=Halla el valor exacto de <math>cos \, 105^o</math>. | ||
}} | }} | ||
- | {{Video_enlace | + | {{Video_enlace_julioprofe |
- | |titulo1= Ejercicio | + | |titulo1= Ejercicio 2 |
+ | |duracion=14´12" | ||
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+ | |sinopsis=Halla el valor exacto de <math>tg \, 75^o</math>. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_fonemato | ||
+ | |titulo1= Ejercicio 3 | ||
+ | |duracion=3´51" | ||
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+ | |sinopsis=Hallar las razones trigonométricas de <math>\theta + \mu\;</math> sabiendo que <math>\theta\;</math> y <math>\mu\;</math> son del segundo cuadrante y que <math>sen \,\theta = 1/2</math> y que <math>cos \,\mu = -2/3</math>. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_fonemato | ||
+ | |titulo1= Ejercicio 4 | ||
|duracion=3´01" | |duracion=3´01" | ||
- | |url1=http://www.youtube.com/watch?v=rq2v3ZyHbTM | + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=rq2v3ZyHbTM&index=19&list=PL8C0D37B1235315C7 |
- | |sinopsis=Videotutorial. | + | |sinopsis=Demostrar que si <math>A+B+C=180^{\circ}</math>, entonces <math>tg \, A + tg \, B + tg \, C = tg \, A \cdot tg \, B \cdot tg \, C</math>. |
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_khan | ||
+ | |titulo1= Ejercicio 5 | ||
+ | |duracion=5´45" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=XxueEKjiuuA | ||
+ | |sinopsis=Halla <math>cos\,(\hat B + 60º)</math> a partir del dibujo dado en el video. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_khan | ||
+ | |titulo1= Ejercicio 6 | ||
+ | |duracion=5´45" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=XxueEKjiuuA | ||
+ | |sinopsis=Halla el valor exacto de <math>sen \, \cfrac{7\pi}{12}</math>. | ||
+ | ---- | ||
+ | '''¡Ojo!:''' Estamos trabajando con ángulos en radianes. | ||
+ | }} | ||
+ | }} | ||
+ | {{Actividades|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos|enunciado= | ||
+ | {{AI_Khan | ||
+ | |titulo1=Autoevaluación 1 | ||
+ | |descripcion=Usa las identidades trigonométricas de la suma de ángulos. | ||
+ | |url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/intro-to-trig-angle-addition-identities/e/trig_addition_identities | ||
+ | }} | ||
+ | {{AI_Khan | ||
+ | |titulo1=Autoevaluación 2 | ||
+ | |descripcion=Encuentra valores trigonométricos exactos usando las identidades de la suma de ángulos. | ||
+ | |url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/using-trig-identities/e/applying-angle-addition-formulas | ||
}} | }} | ||
- | |||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | |||
- | ==Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos== | ||
{{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos | {{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos | ||
|enunciado= | |enunciado= | ||
- | :'''II.1:'''{{b4}}<math>sen \, (\alpha - \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta - cos \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> | + | '''II.1:'''{{b4}}<math>sen \, (\alpha - \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta - cos \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> |
- | :'''II.2:'''{{b4}}<math>cos \, (\alpha - \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta + sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> | + | '''II.2:'''{{b4}}<math>cos \, (\alpha - \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta + sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> |
- | :'''II.3:'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>tg \, (\alpha - \beta) = \frac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1 + tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math>}} | + | '''II.3:'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>tg \, (\alpha - \beta) = \frac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1 + tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math>}} |
|demo= | |demo= | ||
Para las demostraciones basta sustituir <math>\alpha - \beta \,</math> por <math>\alpha + (-\beta) \,</math> y aplicar las fórmulas de la suma ('''I.1''', '''I.2''' y '''I.3''') y tener en cuenta las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo y su opuesto: | Para las demostraciones basta sustituir <math>\alpha - \beta \,</math> por <math>\alpha + (-\beta) \,</math> y aplicar las fórmulas de la suma ('''I.1''', '''I.2''' y '''I.3''') y tener en cuenta las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo y su opuesto: | ||
<center><math>sen \, (-\alpha)=-sen \, \alpha \, , \quad cos \, (-\alpha)=cos \, \alpha \, , \quad tg \, (-\alpha)=-tg \, \alpha</math></center> | <center><math>sen \, (-\alpha)=-sen \, \alpha \, , \quad cos \, (-\alpha)=cos \, \alpha \, , \quad tg \, (-\alpha)=-tg \, \alpha</math></center> | ||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | {{Video_enlace | ||
- | |titulo1=Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos | ||
- | |duracion=7´08 | ||
- | |url1=http://www.youtube.com/watch?v=sBpx0-KjpNA | ||
- | |sinopsis=Videotutorial. | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
Línea 115: | Línea 194: | ||
|titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos'' | |titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos'' | ||
|enunciado={{p}} | |enunciado={{p}} | ||
- | :Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>sen \, 15^\circ</math>}} (sin calculadora) | + | Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>sen \, 15^\circ</math>}} (sin calculadora) |
|sol= | |sol= | ||
- | :<math>sen \, 15^\circ= sen \, (45^\circ - 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ - cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}- \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}-1)}{4}</math> | + | <math>sen \, 15^\circ= sen \, (45^\circ - 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ - cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ=</math> |
+ | {{p}} | ||
+ | <math>= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}- \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}-1)}{4}</math> | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | ==Razones trigonométricas del ángulo doble== | + | |
+ | {{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos|enunciado= | ||
+ | {{Video_enlace_fonemato | ||
+ | |titulo1=Tutorial | ||
+ | |duracion=7´08 | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=sBpx0-KjpNA&index=20&list=PL8C0D37B1235315C7 | ||
+ | |sinopsis=Fórmulas trigonométricas de la diferencia de dos ángulos con demostración. | ||
+ | }} | ||
+ | ---- | ||
+ | {{Video_enlace_julioprofe | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 1 | ||
+ | |duracion=3´49" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=-WnHUiePogg | ||
+ | |sinopsis=Obtención del valor exacto de <math>sen \, 15^{\circ}</math> a partir de la fórmula del seno del ángulo diferencia. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_julioprofe | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 2 | ||
+ | |duracion=9´55" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=i0PZwglONQQ | ||
+ | |sinopsis=Obtención del valor exacto de <math>cos \left( arc\,sen \cfrac{8}{17} - arc\,cos \cfrac{12}{13} \right)</math>. | ||
+ | }} | ||
+ | }} | ||
+ | {{p}} | ||
+ | |||
+ | ==Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad== | ||
{{Teorema|titulo=Razones trigonométricas del ángulo doble | {{Teorema|titulo=Razones trigonométricas del ángulo doble | ||
|enunciado= | |enunciado= | ||
- | :'''III.1:'''{{b4}}<math>sen \, (2 \, \alpha) = 2 \, sen \, \alpha \cdot cos \, \alpha</math> | + | '''III.1:'''{{b4}}<math>sen \, (2 \, \alpha) = 2 \, sen \, \alpha \cdot cos \, \alpha</math> |
- | :'''III.2:'''{{b4}}<math>cos \, (2 \, \alpha) = cos^2 \, \alpha - sen^2 \, \alpha</math> | + | '''III.2:'''{{b4}}<math>cos \, (2 \, \alpha) = cos^2 \, \alpha - sen^2 \, \alpha</math> |
- | :'''III.3:'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>tg \, (2 \, \alpha) = \frac{2 \, tg \, \alpha}{1 - tg^2 \, \alpha}</math>}} | + | '''III.3:'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>tg \, (2 \, \alpha) = \frac{2 \, tg \, \alpha}{1 - tg^2 \, \alpha}</math>}} |
|demo= | |demo= | ||
Basta utilizar las fórmulas de la suma ('''I.1''', '''I.2''' y '''I.3''') y hacer <math>\alpha= \beta \,</math>. | Basta utilizar las fórmulas de la suma ('''I.1''', '''I.2''' y '''I.3''') y hacer <math>\alpha= \beta \,</math>. | ||
Línea 135: | Línea 240: | ||
|titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas del ángulo doble'' | |titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas del ángulo doble'' | ||
|enunciado={{p}} | |enunciado={{p}} | ||
- | :Calcula el valor de {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>cos \, 120^\circ \,</math>}} a partir de las razones trigonométricas de 60º. | + | Calcula el valor de {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>cos \, 120^\circ \,</math>}} a partir de las razones trigonométricas de 60º. |
|sol= | |sol= | ||
- | :<math>cos \, 120^\circ= cos^2 \, 60^\circ - sen^2 \, 60^\circ=\cfrac{1}{4}-\cfrac{3}{4}=-\cfrac{1}{2}</math> | + | <math>cos \, 120^\circ= cos^2 \, 60^\circ - sen^2 \, 60^\circ=\cfrac{1}{4}-\cfrac{3}{4}=-\cfrac{1}{2}</math> |
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | ==Razones trigonométricas del ángulo mitad== | ||
{{Teorema|titulo=Razones trigonométricas del ángulo mitad | {{Teorema|titulo=Razones trigonométricas del ángulo mitad | ||
|enunciado= | |enunciado= | ||
- | :'''IV.1:'''{{b4}}<math>sen \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{2}}</math> | + | '''IV.1:'''{{b4}}<math>sen \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{2}}</math> |
- | :'''IV.2:'''{{b4}}<math>cos \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \sqrt{\cfrac{1+cos \, \alpha}{2}}</math> | + | '''IV.2:'''{{b4}}<math>cos \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1+cos \, \alpha}{2}}</math> |
- | :'''IV.3:'''{{b4}}<math>tg \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{1+cos \, \alpha}}</math> | + | '''IV.3:'''{{b4}}<math>tg \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{1+cos \, \alpha}}</math> |
|demo=Teniendo en cuenta que <math>\alpha= 2 \cdot \cfrac{\alpha}{2}</math> y utilizando la fórmula '''III.2''' del coseno del ángulo doble, tenemos: | |demo=Teniendo en cuenta que <math>\alpha= 2 \cdot \cfrac{\alpha}{2}</math> y utilizando la fórmula '''III.2''' del coseno del ángulo doble, tenemos: | ||
Línea 167: | Línea 271: | ||
De estas igualdades se despejan <math>cos \, \cfrac{\alpha}{2}</math> y <math>sen \, \cfrac{\alpha}{2}</math>, y a partir de ellos, se obtiene el valor de <math>tg \, \cfrac{\alpha}{2}</math>. | De estas igualdades se despejan <math>cos \, \cfrac{\alpha}{2}</math> y <math>sen \, \cfrac{\alpha}{2}</math>, y a partir de ellos, se obtiene el valor de <math>tg \, \cfrac{\alpha}{2}</math>. | ||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | {{Video_enlace | ||
- | |titulo1=Razones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad | ||
- | |duracion=8´03 | ||
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/06-angulos-orientados/13-razones-trigonometricas-del-angulo-doble-y-del-angulo-mitad#.VCrk5Ra7ZV8 | ||
- | |sinopsis=Videotutorial. | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
Línea 179: | Línea 276: | ||
|titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas del ángulo mitad'' | |titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas del ángulo mitad'' | ||
|enunciado={{p}} | |enunciado={{p}} | ||
- | :Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>tg \, 22^\circ \, 30'</math>}} (sin calculadora). | + | Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>tg \, 22^\circ \, 30'</math>}} (sin calculadora). |
|sol= | |sol= | ||
- | :<math>tg \, 22^\circ \, 30'= tg \Big( \cfrac{45^\circ}{2} \Big)=\sqrt{\cfrac{1-cos \, 45^\circ}{1+cos \, 45^\circ}}=\sqrt{\cfrac{1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}}=\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=-1+\sqrt{2}</math> | + | <math>tg \, 22^\circ \, 30'= tg \Big( \cfrac{45^\circ}{2} \Big)=\sqrt{\cfrac{1-cos \, 45^\circ}{1+cos \, 45^\circ}}=\sqrt{\cfrac{1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}}=\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=-1+\sqrt{2}</math> |
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | {{ejercicio | + | |
- | |titulo=Ejercicios: ''Razones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad'' | + | {{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad|enunciado= |
- | |cuerpo= | + | {{Video_enlace_fonemato |
- | {{Video_enlace | + | |titulo1=Razones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad |
- | |titulo1= Ejercicio | + | |duracion=8´03 |
- | |duracion=5´22" | + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=yVW2LHijBNM&index=22&list=PL8C0D37B1235315C7 |
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- | |sinopsis=Videotutorial. | + | |
}} | }} | ||
- | {{Video_enlace | + | ---- |
- | |titulo1= Ejercicio | + | '''Razones trigonométricas del ángulo doble:''' |
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- | |url1=http://www.youtube.com/watch?v=i4w-CYZX81g | + | {{Video_enlace_abel |
- | |sinopsis=Videotutorial. | + | |titulo1=Seno del ángulo doble |
+ | |duracion=3´00 | ||
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+ | |sinopsis=Demostración de la fórmula del seno del ángulo doble. | ||
}} | }} | ||
- | {{Video_enlace | + | {{Video_enlace_abel |
- | |titulo1= 3 ejercicios (Ecuaciones trigonométricas) | + | |titulo1=Coseno del ángulo doble |
- | |duracion=5´55" | + | |duracion=10´42 |
- | |url1=http://www.youtube.com/watch?v=H2K6xqAHskE | + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=eEJ_Q-Twqcg |
- | |sinopsis=Videotutorial. | + | |sinopsis=Demostración de la fórmula del coseno del ángulo doble. |
}} | }} | ||
- | {{Video_enlace | + | {{Video_enlace_abel |
- | |titulo1= 3 ejercicios (Ecuaciones trigonométricas) | + | |titulo1=Tangente y cotangente del ángulo doble |
- | |duracion=5´44" | + | |duracion=9´19 |
- | |url1=http://www.youtube.com/watch?v=71ah85_lSWw | + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=h2MEjBaT-7w |
- | |sinopsis=Videotutorial. | + | |sinopsis=Demostración de la fórmula de la tangente y la cotangente del ángulo doble. |
}} | }} | ||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | {{Video_enlace_julioprofe | ||
+ | |titulo1= Ejercicio 1 | ||
+ | |duracion=7´04" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=BJVxcEThHp4 | ||
+ | |sinopsis=Si <math>tan \, \alpha = \cfrac{4}{3}</math> y <math>\alpha \in III</math>, halla el valor exacto de <math>sen \, 2\alpha</math>. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_julioprofe | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 2 | ||
+ | |duracion=2´48" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=8ESRmd-i_qs | ||
+ | |sinopsis=Comprueba la siguiente identidad trigonométrica: | ||
+ | |||
+ | <math>4 \,sen^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha = 1 - cos^2 (2\alpha)\;</math> | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 3 | ||
+ | |duracion=13´46" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=sOfb8x5_9jM&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=42 | ||
+ | |sinopsis= | ||
+ | :a) Calcula: <math>sec \, 120^{\circ}</math> | ||
+ | |||
+ | :b) Sin usar la fórmula del ángulo doble, demuestra que <math>cos \, 2x = 1- sen^2 \, x</math>. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 4 | ||
+ | |duracion=14´04" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=qHXaptv7Hgc&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=43 | ||
+ | |sinopsis=Halla el valor de ''x'' en la figura dada. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 5 | ||
+ | |duracion=16´36" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=9knwfcegQ8o&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=44 | ||
+ | |sinopsis=Halla el valor que te piden en la figura dada. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_khan | ||
+ | |titulo1= Ejercicio 6 | ||
+ | |duracion=4´06" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=RdsPF0aJdCo | ||
+ | |sinopsis=Halla <math>cos\,(2\,\hat B)</math> a partir del dibujo dado en el video. | ||
+ | }} | ||
+ | ---- | ||
+ | '''Razones trigonométricas del ángulo mitad:''' | ||
+ | |||
+ | {{Video_enlace_abel | ||
+ | |titulo1=Seno del ángulo mitad | ||
+ | |duracion=7´23 | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=56-0L7bwaH8 | ||
+ | |sinopsis=Demostración de la fórmula del seno del ángulo mitad. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_abel | ||
+ | |titulo1=Coseno del ángulo mitad | ||
+ | |duracion=7´33 | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=mkVb4zYb6bE | ||
+ | |sinopsis=Demostración de la fórmula del coseno del ángulo mitad. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_abel | ||
+ | |titulo1=Tangente del ángulo mitad | ||
+ | |duracion=7´40 | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=OOFahCF09RU | ||
+ | |sinopsis=Demostración de la fórmula de la tangente del ángulo mitad. | ||
+ | }} | ||
+ | ---- | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 1 | ||
+ | |duracion=14´29" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=lIpmDO_pdBg&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=47 | ||
+ | |sinopsis= | ||
+ | :a) Demostrar que <math>tg\,\cfrac{x}{2}=cosec\,x-cotg\,x</math>. | ||
+ | |||
+ | :b) Demostrar que <math>cotg\,\cfrac{x}{2}=cosec\,x+cotg\,x</math>. (este ejercicio queda propuesto pero no resuelto) | ||
+ | |||
+ | :c) Apoyándote en los apartados anteriores, simplifica <math>M=\cfrac{cotg\, \cfrac{x}{2}-2\,cotg\,x}{tg\, \cfrac{x}{2}+cotg\,x}+cos\,x</math> | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 2 | ||
+ | |duracion=8´59" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=C-60bamV32A&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=45 | ||
+ | |sinopsis=Reduce <math>(cos\,a-cos\,b)^2+(sen\,a-sen\,b)^2</math> en función de <math>\cfrac{a-b}{2}</math>. | ||
+ | }} | ||
+ | }} | ||
+ | {{p}} | ||
+ | |||
+ | ==Razones trigonométricas del ángulo triple== | ||
+ | {{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas del ángulo triple|enunciado= | ||
+ | {{Video_enlace_abel | ||
+ | |titulo1= Seno del ángulo triple | ||
+ | |duracion=13´29" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=e4lGMXfF8kQ | ||
+ | |sinopsis=Obtención de la fórmula del seno del ángulo triple. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_abel | ||
+ | |titulo1= Coseno del ángulo triple | ||
+ | |duracion=15´18" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=MpD0kfDgEvY | ||
+ | |sinopsis=Obtención de la fórmula del coseno del ángulo triple. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_abel | ||
+ | |titulo1= Tangente del ángulo triple | ||
+ | |duracion=17´44" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=Xm_qy86ZHaE | ||
+ | |sinopsis=Obtención de la fórmula de la tangente del ángulo triple. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_fonemato | ||
+ | |titulo1=Seno y coseno del ángulo triple | ||
+ | |duracion=5´22" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=9TvJGhKyrVs&index=23&list=PL8C0D37B1235315C7 | ||
+ | |sinopsis=*Determinar el <math>sen 3\theta\;</math> en función del <math>sen \theta\;</math>. | ||
+ | *Determinar el <math>cos 3\theta\;</math> en función del <math>cos \theta\;</math>. | ||
+ | }} | ||
+ | ---- | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1= Ejercicio 1 | ||
+ | |duracion=6´43" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=nPXYNsTPohQ&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=49&t=11m39s | ||
+ | |sinopsis= Si <math>tg \, x + cotg \, x =6</math>, halla <math>sen\,6x</math>. | ||
+ | |||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1= Ejercicio 2 | ||
+ | |duracion=12´30" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=XCnp0TJ3V4w&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=50 | ||
+ | |sinopsis=Eliminar ''x'' en: | ||
+ | |||
+ | :<math>\left . \begin{matrix} ~cos \, x - sen \, x \ =\ a \\ cos \, 3x + sen \, 3x =\ b \end{matrix} \right \}</math> | ||
+ | |||
+ | }} | ||
+ | |||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
Línea 217: | Línea 446: | ||
{{Teorema|titulo=Transformaciones de sumas en productos | {{Teorema|titulo=Transformaciones de sumas en productos | ||
|enunciado= | |enunciado= | ||
- | :'''V.1:'''{{b4}}<math>sen \, A + sen \, B = 2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}</math> | + | '''V.1:'''{{b4}}<math>sen \, A + sen \, B = 2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}</math> |
- | :'''V.2:'''{{b4}}<math>sen \, A - sen \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}</math> | + | '''V.2:'''{{b4}}<math>sen \, A - sen \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}</math> |
- | :'''V.3:'''{{b4}}<math>cos \, A + cos \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}</math> | + | '''V.3:'''{{b4}}<math>cos \, A + cos \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}</math> |
- | :'''V.4:'''{{b4}}<math>cos \, A - cos \, B = -2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}</math> | + | '''V.4:'''{{b4}}<math>cos \, A - cos \, B = -2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}</math> |
|demo= | |demo= | ||
'''V.1 y V.2:''' | '''V.1 y V.2:''' | ||
Línea 252: | Línea 481: | ||
que sustituidas en '''[1]''' y '''[2]''' nos da '''V.1''' y '''V.2'''. | que sustituidas en '''[1]''' y '''[2]''' nos da '''V.1''' y '''V.2'''. | ||
+ | }} | ||
+ | {{p}} | ||
+ | {{Videotutoriales|titulo=Transformaciones de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos|enunciado= | ||
+ | {{Video_enlace_fonemato | ||
+ | |titulo1=Transformación de una suma y de una diferencia en un producto | ||
+ | |duracion=6´46 | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=f0W9R_ddEW8&index=28&list=PL8C0D37B1235315C7 | ||
+ | |sinopsis=Fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia en producto con demostración. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_abel | ||
+ | |titulo1=Transformación de una suma y de una diferencia de cosenos en un producto | ||
+ | |duracion=13´46 | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=YSAnzLe153Q | ||
+ | |sinopsis=Demostración de las fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia de cosenos en producto. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_abel | ||
+ | |titulo1=Transformación de una suma y de una diferencia de senos en un producto | ||
+ | |duracion=13´00 | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=3HBUDjB2mMA | ||
+ | |sinopsis=Demostración de las fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia de senos en producto. | ||
+ | }} | ||
+ | ---- | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1=Ejercicios 1 | ||
+ | |duracion=9´49 | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=KfFjbB55upk&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=51 | ||
+ | |sinopsis=Ejercicios. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1=Ejercicios 2 | ||
+ | |duracion=16´08 | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=NFQBqyTkIaM&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=52 | ||
+ | |sinopsis=Ejercicios. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1=Ejercicios 3 | ||
+ | |duracion=17´29 | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=Gl3yKDXc194&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=53 | ||
+ | |sinopsis=Ejercicios. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1=Ejercicios 4 | ||
+ | |duracion=11´04 | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=uHpRYiNGudA&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=54 | ||
+ | |sinopsis=Ejercicios. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1=Ejercicios 5 | ||
+ | |duracion=20´29 | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=9BQloU-YYE0&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=55 | ||
+ | |sinopsis=Ejercicios. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1=Ejercicios 6 | ||
+ | |duracion=17´09 | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=cE3s0dugIJg&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=56 | ||
+ | |sinopsis=Ejercicios. | ||
+ | }} | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
Línea 257: | Línea 544: | ||
|titulo=Ejemplo: ''Transformaciones de sumas en productos'' | |titulo=Ejemplo: ''Transformaciones de sumas en productos'' | ||
|enunciado={{p}} | |enunciado={{p}} | ||
- | :Transforma en producto y calcula: {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ</math>}}. | + | Transforma en producto y calcula: {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ</math>}}. |
|sol= | |sol= | ||
- | :<math>sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ= 2 \, cos \, \cfrac{75^\circ+15^\circ}{2} \cdot sen \, \cfrac{75^\circ-15^\circ}{2}= 2 \, cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ= 2 \, \cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}</math> | + | <math>sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ= 2 \, cos \, \cfrac{75^\circ+15^\circ}{2} \cdot sen \, \cfrac{75^\circ-15^\circ}{2}= </math> |
+ | {{p}} | ||
+ | <math>= 2 \, cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ= 2 \, \cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}</math> | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]][[Categoría: Funciones]] | + | {{wolfram desplegable|titulo=Fórmulas trigonométricas|contenido= |
+ | {{wolfram | ||
+ | |titulo=Fórmulas trigonométricas | ||
+ | |cuerpo= | ||
+ | {{ejercicio_cuerpo | ||
+ | |enunciado= | ||
+ | |||
+ | :a) Calcula: {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ</math>}} | ||
+ | :b) Obtén: {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>sen(x-y)\,</math>}} | ||
+ | :c) Factoriza: {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>sen(x)+sen(y)\,</math>}} | ||
+ | |||
+ | {{p}} | ||
+ | |sol= | ||
+ | Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: | ||
+ | |||
+ | :a) {{consulta|texto=simplify sin(75º)-sin(15º)}} | ||
+ | :b) {{consulta|texto=expand sin(x-y)}} | ||
+ | :c) {{consulta|texto=factor sin(x)+sin(y)}} | ||
+ | |||
+ | {{widget generico}} | ||
+ | }} | ||
+ | }} | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | ==Ejercicios== | ||
+ | {{AI_upr | ||
+ | |titulo1=Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia | ||
+ | |descripcion=Actividad para practicar el cálculo de las razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de ángulos. | ||
+ | ---- | ||
+ | '''Aviso:''' Antes de hacer la actividad puedes ver algunos ejemplos en: '''[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master//trig_sum_dif/trig_sum_dif.html Ejemplos]''' | ||
+ | |url1=http://quiz.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/oneques.cgi?database=Precalculo2_soluciones/trig_ids/addition-ids.db&no_ques=4 | ||
+ | }} | ||
+ | {{AI_upr | ||
+ | |titulo1=Razones trigonométricas del ángulo doble y mitad | ||
+ | |descripcion=Actividad para practicar el cálculo de las razones trigonométricas del ángulo doble y mitad. | ||
+ | ---- | ||
+ | '''Aviso:''' Antes de hacer la actividad puedes ver algunos ejemplos en: '''[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/trig_dob_med/trig_doble_mitad.html Ejemplos]''' | ||
+ | |||
+ | |url1=http://quiz.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/oneques.cgi?database=Precalculo2_soluciones/trig_ids/halfang.db&no_ques=8 | ||
+ | }} | ||
+ | {{Videotutoriales|titulo=Ejercicios|enunciado= | ||
+ | '''Razones trigonométricas del ángulo suma y diferencia:''' | ||
+ | |||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1=Ejercicios 1 | ||
+ | |duracion=16'13" | ||
+ | |sinopsis=Usando las razones trigonométricas de la suma y de la diferencia, calcula: | ||
+ | |||
+ | :a) <math>cos \, 75^{\circ}</math> | ||
+ | |||
+ | :b) Si <math>tg \, (x+y)=5</math> y <math>tg \, x=7</math>, calcula <math>tg\, y</math>. | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=Fb9vpVdOmXg&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=39 | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1=Ejercicios 2 | ||
+ | |duracion=14'44" | ||
+ | |sinopsis= | ||
+ | :a) Si <math>x+y=45^{\circ}\;</math>, simplifica <math>M=\cfrac{1 + tg\,x}{1 + tg\,y}</math> | ||
+ | |||
+ | :b) Simplifica: <math>M=sen \, (x+y) \cdot sen \, (x-y) + sen^2 \, y</math> | ||
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+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
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+ | }} | ||
+ | ---- | ||
+ | '''Razones trigonométricas del ángulo doble y mitad:''' | ||
+ | |||
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+ | |sinopsis=Si <math>\mu</math> es un ángulo del tercer cuadrante, y <math>tg \mu = 3\;</math>, determinar las razones trigonométricas de <math>\mu /2</math>. | ||
+ | }} | ||
+ | }} | ||
+ | ===Ejercicios propuestos=== | ||
+ | {{ejercicio | ||
+ | |titulo=Ejercicios propuestos: ''Fórmulas trigonométricas'' | ||
+ | |cuerpo= | ||
+ | (Pág. 130-133) | ||
+ | |||
+ | [[Imagen:red_star.png|12px]] 5, 7, 9, 11, 14, 15, 17b,c, 18 | ||
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+ | [[Imagen:yellow_star.png|12px]] 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 13 | ||
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+ | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] |
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Tabla de contenidos |
Introducción
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
En este tutorial se condensan todas las fórmulas que van a verse en esta página, acompañadas de algunos ejemplos.
Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos
Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
I.1:
I.2:
I.3:
Ejemplo: Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
Calcula el valor exacto de (sin calculadora)
![= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}+ \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+1)}{4}](/wikipedia/images/math/9/e/7/9e7985dc90ee3de3954105c35a34cfb3.png)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Fórmulas trigonométricas de la suma de dos ángulos con demostración.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula del seno de la suma de dos ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula de la tangente de la suma de dos ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Demostración de la fórmula del seno de la suma de dos ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Demostración de la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula de la cotangente de la suma de dos ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Obtención de la fórmula del seno, coseno y tangente de la suma de tres ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Halla el valor exacto de .
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Halla el valor exacto de .
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Hallar las razones trigonométricas de sabiendo que
y
son del segundo cuadrante y que
y que
.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Demostrar que si , entonces
.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Halla a partir del dibujo dado en el video.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Halla el valor exacto de .
¡Ojo!: Estamos trabajando con ángulos en radianes.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Usa las identidades trigonométricas de la suma de ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Encuentra valores trigonométricos exactos usando las identidades de la suma de ángulos.
Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos
II.1:
II.2:
II.3:
Para las demostraciones basta sustituir por
y aplicar las fórmulas de la suma (I.1, I.2 y I.3) y tener en cuenta las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo y su opuesto:
![sen \, (-\alpha)=-sen \, \alpha \, , \quad cos \, (-\alpha)=cos \, \alpha \, , \quad tg \, (-\alpha)=-tg \, \alpha](/wikipedia/images/math/1/8/4/184c9bd01baf63cc1007edd8187e4e66.png)
Ejemplo: Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos
Calcula el valor exacto de (sin calculadora)
![= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}- \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}-1)}{4}](/wikipedia/images/math/6/8/e/68e99048133e592c57714c4684a59a9a.png)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Fórmulas trigonométricas de la diferencia de dos ángulos con demostración.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Obtención del valor exacto de a partir de la fórmula del seno del ángulo diferencia.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Obtención del valor exacto de .
Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad
Razones trigonométricas del ángulo doble
III.1:
III.2:
III.3:
Basta utilizar las fórmulas de la suma (I.1, I.2 y I.3) y hacer
![\alpha= \beta \,](/wikipedia/images/math/3/d/0/3d0be6e882c7e0b2148c97180ef4de56.png)
Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo doble
Calcula el valor de a partir de las razones trigonométricas de 60º.
![cos \, 120^\circ= cos^2 \, 60^\circ - sen^2 \, 60^\circ=\cfrac{1}{4}-\cfrac{3}{4}=-\cfrac{1}{2}](/wikipedia/images/math/9/7/6/97633a6d2e32ba68c84de7f7de1c5061.png)
Razones trigonométricas del ángulo mitad
IV.1:
IV.2:
IV.3:
Teniendo en cuenta que y utilizando la fórmula III.2 del coseno del ángulo doble, tenemos:
![cos \, \alpha=cos \, \Big( 2 \cdot \cfrac{\alpha}{2} \Big) = cos^2 \, \cfrac{\alpha}{2}- sen^2 \cfrac{\alpha}{2}](/wikipedia/images/math/2/d/6/2d6cb8460f136a346a6ff5d844d6b15f.png)
que combinado con la fórmula fundamental, nos da el siguiente sistema:
Sumando y restando ambas ecuaciones, tenemos las siguientes expresiones:
![cos \, \cfrac{\alpha}{2}](/wikipedia/images/math/b/7/8/b782e5d756f94fbdbad19ed8d2ef136c.png)
![sen \, \cfrac{\alpha}{2}](/wikipedia/images/math/0/a/8/0a8472913eb87ec965732d5fbafd5223.png)
![tg \, \cfrac{\alpha}{2}](/wikipedia/images/math/b/1/8/b188b23d8f944520712c8d445141b4b2.png)
Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo mitad
Calcula el valor exacto de (sin calculadora).
![tg \, 22^\circ \, 30'= tg \Big( \cfrac{45^\circ}{2} \Big)=\sqrt{\cfrac{1-cos \, 45^\circ}{1+cos \, 45^\circ}}=\sqrt{\cfrac{1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}}=\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=-1+\sqrt{2}](/wikipedia/images/math/f/d/0/fd0e79bd18f0cb499539572a81b415ce.png)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Fórmulas trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad con demostración.
Razones trigonométricas del ángulo doble:
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula del seno del ángulo doble.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula del coseno del ángulo doble.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula de la tangente y la cotangente del ángulo doble.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Si y
, halla el valor exacto de
.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
- a) Calcula:
- b) Sin usar la fórmula del ángulo doble, demuestra que
.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Halla el valor de x en la figura dada.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Halla el valor que te piden en la figura dada.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Halla a partir del dibujo dado en el video.
Razones trigonométricas del ángulo mitad:
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula del seno del ángulo mitad.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula del coseno del ángulo mitad.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula de la tangente del ángulo mitad.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
- a) Demostrar que
.
- b) Demostrar que
. (este ejercicio queda propuesto pero no resuelto)
- c) Apoyándote en los apartados anteriores, simplifica
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Reduce en función de
.
Razones trigonométricas del ángulo triple
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Obtención de la fórmula del seno del ángulo triple.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Obtención de la fórmula del coseno del ángulo triple.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Obtención de la fórmula de la tangente del ángulo triple.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Determinar el
en función del
.
- Determinar el
en función del
.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Si , halla
.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Eliminar x en:
Transformaciones de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos
Transformaciones de sumas en productos
V.1:
V.2:
V.3:
V.4:
V.1 y V.2:
Partiendo de las expresiones del I.1 y II.1 del seno de una suma y de una diferencia:
- I.1:
- II.1:
Sumando y restando ambas expresiones, obtenemos:
- Sumando:
[1]
- Restando:
[2]
Hacemos los siguientes cambios de variable:
Resolviendo este sistema:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia en producto con demostración.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de las fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia de cosenos en producto.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de las fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia de senos en producto.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Ejercicios.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Ejercicios.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Ejercicios.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Ejercicios.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Ejercicios.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Ejercicios.
Ejercicios
Actividad para practicar el cálculo de las razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de ángulos.
Aviso: Antes de hacer la actividad puedes ver algunos ejemplos en: Ejemplos
![](/wikipedia/images/thumb/6/65/Upr.jpg/22px-Upr.jpg)
Actividad para practicar el cálculo de las razones trigonométricas del ángulo doble y mitad.
Aviso: Antes de hacer la actividad puedes ver algunos ejemplos en: Ejemplos
Razones trigonométricas del ángulo suma y diferencia:
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Usando las razones trigonométricas de la suma y de la diferencia, calcula:
- a)
- b) Si
y
, calcula
.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
- a) Si
, simplifica
- b) Simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Simplifica:
Razones trigonométricas del ángulo doble y mitad:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Si μ es un ángulo del tercer cuadrante, y , determinar las razones trigonométricas de μ / 2.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Fórmulas trigonométricas |