Fórmulas trigonométricas (1ºBach)

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(Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos)
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(Introducción)
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-==Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos==+==Introducción==
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 +|titulo1=Razones del ángulo suma, diferencia, doble y mitad
 +|duracion=13´12"
 +|url1=https://youtu.be/zYCytkWAeiI?list=PLwCiNw1sXMSCaukmrbPRm2SQuhas4kWS_
 +|sinopsis=En este tutorial se condensan todas las fórmulas que van a verse en esta página, acompañadas de algunos ejemplos.
 +}}
 + 
 +==Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos==
{{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos {{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
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Línea 58: Línea 66:
}} }}
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- +{{ejemplo
 +|titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos''
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 +Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>sen \, 75^\circ \,</math>}} (sin calculadora)
 +|sol=
 +<math>sen \, 75^\circ= sen \, (45^\circ + 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ + cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ=</math>
 +{{p}}
 +<math>= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}+ \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+1)}{4}</math>
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|sinopsis=Fórmulas trigonométricas de la suma de dos ángulos con demostración. |sinopsis=Fórmulas trigonométricas de la suma de dos ángulos con demostración.
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|titulo1=Seno de la suma de dos ángulos |titulo1=Seno de la suma de dos ángulos
Línea 85: Línea 101:
|sinopsis=Demostración de la fórmula de la tangente de la suma de dos ángulos. |sinopsis=Demostración de la fórmula de la tangente de la suma de dos ángulos.
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Línea 91: Línea 120:
|sinopsis=Demostración de la fórmula de la cotangente de la suma de dos ángulos. |sinopsis=Demostración de la fórmula de la cotangente de la suma de dos ángulos.
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 +{{Video_enlace_fonemato
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-{{ejemplo+
-|titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos''+
-|enunciado={{p}}+
-Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>sen \, 75^\circ \,</math>}} (sin calculadora)+
-|sol=+
-<math>sen \, 75^\circ= sen \, (45^\circ + 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ + cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ=</math>+
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-<math>= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}+ \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+1)}{4}</math>+
-}}+
-{{p}}+
-{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios|enunciado=+
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|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
Línea 118: Línea 141:
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|titulo1= Ejercicio 3 |titulo1= Ejercicio 3
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-|sinopsis=Hallar las razones trigonométricas de <math>\theta + \mu</math> sabiendo que <math>\theta</math> y <math>\mu</math> son del segundo cuadrante y que <math>sen \theta = 1/2</math> y que <math>cos \mu = -2/3</math>.+|sinopsis=Hallar las razones trigonométricas de <math>\theta + \mu\;</math> sabiendo que <math>\theta\;</math> y <math>\mu\;</math> son del segundo cuadrante y que <math>sen \,\theta = 1/2</math> y que <math>cos \,\mu = -2/3</math>.
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{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
|titulo1= Ejercicio 4 |titulo1= Ejercicio 4
|duracion=3´01" |duracion=3´01"
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-|sinopsis=Demostrar que si A+B+C=180º, entonces tg A + tg B + tg C = tg A · tg B · tg C.+|sinopsis=Demostrar que si <math>A+B+C=180^{\circ}</math>, entonces <math>tg \, A + tg \, B + tg \, C = tg \, A \cdot tg \, B \cdot tg \, C</math>.
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-{{Video_enlace_fonemato+{{Video_enlace_khan
-|titulo1=Ejercicio 5: Razones trigonométricas de la suma de tres ángulos+|titulo1= Ejercicio 5
-|duracion=5´23"+|duracion=5´45"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/06-angulos-orientados/1101-tres-ejercicios-seno-coseno-y-tangente-de-la-suma-de-tres-angulos#.VCrhiha7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XxueEKjiuuA
-|sinopsis=Seno, coseno y tangente de la suma de tres ángulos.+|sinopsis=Halla <math>cos\,(\hat B + 60º)</math> a partir del dibujo dado en el video.
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 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1= Ejercicio 6
 +|duracion=5´45"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XxueEKjiuuA
 +|sinopsis=Halla el valor exacto de <math>sen \, \cfrac{7\pi}{12}</math>.
 +----
 +'''¡Ojo!:''' Estamos trabajando con ángulos en radianes.
 +}}
 +}}
 +{{Actividades|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos|enunciado=
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 1
 +|descripcion=Usa las identidades trigonométricas de la suma de ángulos.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/intro-to-trig-angle-addition-identities/e/trig_addition_identities
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 2
 +|descripcion=Encuentra valores trigonométricos exactos usando las identidades de la suma de ángulos.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/using-trig-identities/e/applying-angle-addition-formulas
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}} }}
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- 
-==Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos== 
{{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos {{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos
|enunciado= |enunciado=
Línea 148: Línea 189:
Para las demostraciones basta sustituir <math>\alpha - \beta \,</math> por <math>\alpha + (-\beta) \,</math> y aplicar las fórmulas de la suma ('''I.1''', '''I.2''' y '''I.3''') y tener en cuenta las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo y su opuesto: Para las demostraciones basta sustituir <math>\alpha - \beta \,</math> por <math>\alpha + (-\beta) \,</math> y aplicar las fórmulas de la suma ('''I.1''', '''I.2''' y '''I.3''') y tener en cuenta las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo y su opuesto:
<center><math>sen \, (-\alpha)=-sen \, \alpha \, , \quad cos \, (-\alpha)=cos \, \alpha \, , \quad tg \, (-\alpha)=-tg \, \alpha</math></center> <center><math>sen \, (-\alpha)=-sen \, \alpha \, , \quad cos \, (-\alpha)=cos \, \alpha \, , \quad tg \, (-\alpha)=-tg \, \alpha</math></center>
-}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace_fonemato 
-|titulo1=Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos 
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-|sinopsis=Fórmulas trigonométricas de la diferencia de dos ángulos con demostración.  
}} }}
{{p}} {{p}}
Línea 165: Línea 199:
{{p}} {{p}}
<math>= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}- \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}-1)}{4}</math> <math>= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}- \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}-1)}{4}</math>
-----+}}
{{p}} {{p}}
 +
 +{{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos|enunciado=
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Tutorial
 +|duracion=7´08
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 +|sinopsis=Fórmulas trigonométricas de la diferencia de dos ángulos con demostración.
 +}}
 +----
{{Video_enlace_julioprofe {{Video_enlace_julioprofe
-|titulo1=Valor exacto de sen 15º+|titulo1=Ejercicio 1
|duracion=3´49" |duracion=3´49"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=-WnHUiePogg |url1=https://www.youtube.com/watch?v=-WnHUiePogg
-|sinopsis=Obtención del valor exacto de sen 15º a partir de la fórmula del seno del ángulo diferencia.+|sinopsis=Obtención del valor exacto de <math>sen \, 15^{\circ}</math> a partir de la fórmula del seno del ángulo diferencia.
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-}} 
-{{p}} 
{{Video_enlace_julioprofe {{Video_enlace_julioprofe
-|titulo1=Ejemplo+|titulo1=Ejercicio 2
|duracion=9´55" |duracion=9´55"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=i0PZwglONQQ |url1=https://www.youtube.com/watch?v=i0PZwglONQQ
|sinopsis=Obtención del valor exacto de <math>cos \left( arc\,sen \cfrac{8}{17} - arc\,cos \cfrac{12}{13} \right)</math>. |sinopsis=Obtención del valor exacto de <math>cos \left( arc\,sen \cfrac{8}{17} - arc\,cos \cfrac{12}{13} \right)</math>.
 +}}
}} }}
{{p}} {{p}}
-==Razones trigonométricas del ángulo doble==+==Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad==
{{Teorema|titulo=Razones trigonométricas del ángulo doble {{Teorema|titulo=Razones trigonométricas del ángulo doble
|enunciado= |enunciado=
Línea 201: Línea 243:
|sol= |sol=
<math>cos \, 120^\circ= cos^2 \, 60^\circ - sen^2 \, 60^\circ=\cfrac{1}{4}-\cfrac{3}{4}=-\cfrac{1}{2}</math> <math>cos \, 120^\circ= cos^2 \, 60^\circ - sen^2 \, 60^\circ=\cfrac{1}{4}-\cfrac{3}{4}=-\cfrac{1}{2}</math>
-}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace_julioprofe 
-|titulo1= Ejemplo 1 
-|duracion=7´04" 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=BJVxcEThHp4 
-|sinopsis=Si <math>tan \, \alpha = \cfrac{4}{3}</math> y <math>\alpha \in III</math>, halla el valor exacto de <math>sen \, 2\alpha</math>. 
-}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace_julioprofe 
-|titulo1=Ejemplo 2: Comprobar identidades trigonométricas 
-|duracion=2´48" 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=8ESRmd-i_qs 
-|sinopsis=Comprueba la siguiente identidad trigonométrica: 
- 
-<math>4 \,sen^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha = 1 - cos^2 (2\alpha)\;</math> 
}} }}
{{p}} {{p}}
-==Razones trigonométricas del ángulo mitad== 
{{Teorema|titulo=Razones trigonométricas del ángulo mitad {{Teorema|titulo=Razones trigonométricas del ángulo mitad
|enunciado= |enunciado=
Línea 248: Línea 273:
}} }}
{{p}} {{p}}
 +{{ejemplo
 +|titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas del ángulo mitad''
 +|enunciado={{p}}
 +Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>tg \, 22^\circ \, 30'</math>}} (sin calculadora).
 +|sol=
 +<math>tg \, 22^\circ \, 30'= tg \Big( \cfrac{45^\circ}{2} \Big)=\sqrt{\cfrac{1-cos \, 45^\circ}{1+cos \, 45^\circ}}=\sqrt{\cfrac{1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}}=\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=-1+\sqrt{2}</math>
 +}}
 +{{p}}
 +
{{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad|enunciado= {{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad|enunciado=
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Razones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad |titulo1=Razones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad
|duracion=8´03 |duracion=8´03
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/06-angulos-orientados/13-razones-trigonometricas-del-angulo-doble-y-del-angulo-mitad#.VCrk5Ra7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=yVW2LHijBNM&index=22&list=PL8C0D37B1235315C7
|sinopsis=Fórmulas trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad con demostración. |sinopsis=Fórmulas trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad con demostración.
}} }}
---- ----
 +'''Razones trigonométricas del ángulo doble:'''
 +
{{Video_enlace_abel {{Video_enlace_abel
|titulo1=Seno del ángulo doble |titulo1=Seno del ángulo doble
Línea 275: Línea 311:
}} }}
---- ----
 +
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1= Ejercicio 1
 +|duracion=7´04"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=BJVxcEThHp4
 +|sinopsis=Si <math>tan \, \alpha = \cfrac{4}{3}</math> y <math>\alpha \in III</math>, halla el valor exacto de <math>sen \, 2\alpha</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=2´48"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=8ESRmd-i_qs
 +|sinopsis=Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:
 +
 +<math>4 \,sen^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha = 1 - cos^2 (2\alpha)\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=13´46"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=sOfb8x5_9jM&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=42
 +|sinopsis=
 +:a) Calcula: <math>sec \, 120^{\circ}</math>
 +
 +:b) Sin usar la fórmula del ángulo doble, demuestra que <math>cos \, 2x = 1- sen^2 \, x</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=14´04"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=qHXaptv7Hgc&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=43
 +|sinopsis=Halla el valor de ''x'' en la figura dada.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 5
 +|duracion=16´36"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=9knwfcegQ8o&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=44
 +|sinopsis=Halla el valor que te piden en la figura dada.
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1= Ejercicio 6
 +|duracion=4´06"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=RdsPF0aJdCo
 +|sinopsis=Halla <math>cos\,(2\,\hat B)</math> a partir del dibujo dado en el video.
 +}}
 +----
 +'''Razones trigonométricas del ángulo mitad:'''
 +
{{Video_enlace_abel {{Video_enlace_abel
|titulo1=Seno del ángulo mitad |titulo1=Seno del ángulo mitad
Línea 293: Línea 374:
|sinopsis=Demostración de la fórmula de la tangente del ángulo mitad. |sinopsis=Demostración de la fórmula de la tangente del ángulo mitad.
}} }}
 +----
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=14´29"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=lIpmDO_pdBg&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=47
 +|sinopsis=
 +:a) Demostrar que <math>tg\,\cfrac{x}{2}=cosec\,x-cotg\,x</math>.
 +
 +:b) Demostrar que <math>cotg\,\cfrac{x}{2}=cosec\,x+cotg\,x</math>. (este ejercicio queda propuesto pero no resuelto)
 +
 +:c) Apoyándote en los apartados anteriores, simplifica <math>M=\cfrac{cotg\, \cfrac{x}{2}-2\,cotg\,x}{tg\, \cfrac{x}{2}+cotg\,x}+cos\,x</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=8´59"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=C-60bamV32A&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=45
 +|sinopsis=Reduce <math>(cos\,a-cos\,b)^2+(sen\,a-sen\,b)^2</math> en función de <math>\cfrac{a-b}{2}</math>.
}} }}
-{{p}} 
-{{ejemplo 
-|titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas del ángulo mitad'' 
-|enunciado={{p}} 
-Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>tg \, 22^\circ \, 30'</math>}} (sin calculadora). 
-|sol= 
-<math>tg \, 22^\circ \, 30'= tg \Big( \cfrac{45^\circ}{2} \Big)=\sqrt{\cfrac{1-cos \, 45^\circ}{1+cos \, 45^\circ}}=\sqrt{\cfrac{1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}}=\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=-1+\sqrt{2}</math> 
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios|enunciado=+ 
 +==Razones trigonométricas del ángulo triple==
 +{{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas del ángulo triple|enunciado=
{{Video_enlace_abel {{Video_enlace_abel
|titulo1= Seno del ángulo triple |titulo1= Seno del ángulo triple
Línea 325: Línea 418:
|titulo1=Seno y coseno del ángulo triple |titulo1=Seno y coseno del ángulo triple
|duracion=5´22" |duracion=5´22"
-|url1=http://www.youtube.com/watch?v=9TvJGhKyrVs+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=9TvJGhKyrVs&index=23&list=PL8C0D37B1235315C7
|sinopsis=*Determinar el <math>sen 3\theta\;</math> en función del <math>sen \theta\;</math>. |sinopsis=*Determinar el <math>sen 3\theta\;</math> en función del <math>sen \theta\;</math>.
*Determinar el <math>cos 3\theta\;</math> en función del <math>cos \theta\;</math>. *Determinar el <math>cos 3\theta\;</math> en función del <math>cos \theta\;</math>.
}} }}
-{{Video_enlace_fonemato+----
-|titulo1= Ejercicio+{{Video_enlace_matemovil
-|duracion=4´58"+|titulo1= Ejercicio 1
-|url1=http://www.youtube.com/watch?v=i4w-CYZX81g+|duracion=6´43"
-|sinopsis=Si <math>\mu</math> es un ángulo del tercer cuadrante, y <math>tg \mu = 3\;</math>, determinar las razones trigonométricas de <math>\mu /2</math>.+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=nPXYNsTPohQ&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=49&t=11m39s
 +|sinopsis= Si <math>tg \, x + cotg \, x =6</math>, halla <math>sen\,6x</math>.
 + 
}} }}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1= Ejercicio 2
 +|duracion=12´30"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XCnp0TJ3V4w&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=50
 +|sinopsis=Eliminar ''x'' en:
 +
 +:<math>\left . \begin{matrix} ~cos \, x - sen \, x \ =\ a \\ cos \, 3x + sen \, 3x =\ b \end{matrix} \right \}</math>
 +
 +}}
 +
}} }}
{{p}} {{p}}
Línea 378: Línea 483:
}} }}
{{p}} {{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Transformaciones de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos|enunciado=
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Transformación de una suma y de una diferencia en un producto |titulo1=Transformación de una suma y de una diferencia en un producto
|duracion=6´46 |duracion=6´46
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/06-angulos-orientados/14-transformacion-de-una-suma-y-de-una-diferencia-en-un-producto#.VCro9Ra7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=f0W9R_ddEW8&index=28&list=PL8C0D37B1235315C7
|sinopsis=Fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia en producto con demostración. |sinopsis=Fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia en producto con demostración.
}} }}
Línea 395: Línea 501:
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=3HBUDjB2mMA |url1=https://www.youtube.com/watch?v=3HBUDjB2mMA
|sinopsis=Demostración de las fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia de senos en producto. |sinopsis=Demostración de las fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia de senos en producto.
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicios 1
 +|duracion=9´49
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=KfFjbB55upk&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=51
 +|sinopsis=Ejercicios.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicios 2
 +|duracion=16´08
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=NFQBqyTkIaM&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=52
 +|sinopsis=Ejercicios.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicios 3
 +|duracion=17´29
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Línea 431: Línea 575:
}} }}
-==Ejercicios propuestos==+==Ejercicios==
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 +|titulo1=Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia
 +|descripcion=Actividad para practicar el cálculo de las razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de ángulos.
 +----
 +'''Aviso:''' Antes de hacer la actividad puedes ver algunos ejemplos en: '''[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master//trig_sum_dif/trig_sum_dif.html Ejemplos]'''
 +|url1=http://quiz.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/oneques.cgi?database=Precalculo2_soluciones/trig_ids/addition-ids.db&no_ques=4
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 +{{AI_upr
 +|titulo1=Razones trigonométricas del ángulo doble y mitad
 +|descripcion=Actividad para practicar el cálculo de las razones trigonométricas del ángulo doble y mitad.
 +----
 +'''Aviso:''' Antes de hacer la actividad puedes ver algunos ejemplos en: '''[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/trig_dob_med/trig_doble_mitad.html Ejemplos]'''
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 +|url1=http://quiz.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/oneques.cgi?database=Precalculo2_soluciones/trig_ids/halfang.db&no_ques=8
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 +{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios|enunciado=
 +'''Razones trigonométricas del ángulo suma y diferencia:'''
 + 
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicios 1
 +|duracion=16'13"
 +|sinopsis=Usando las razones trigonométricas de la suma y de la diferencia, calcula:
 + 
 +:a) <math>cos \, 75^{\circ}</math>
 + 
 +:b) Si <math>tg \, (x+y)=5</math> y <math>tg \, x=7</math>, calcula <math>tg\, y</math>.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Fb9vpVdOmXg&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=39
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicios 2
 +|duracion=14'44"
 +|sinopsis=
 +:a) Si <math>x+y=45^{\circ}\;</math>, simplifica <math>M=\cfrac{1 + tg\,x}{1 + tg\,y}</math>
 + 
 +:b) Simplifica: <math>M=sen \, (x+y) \cdot sen \, (x-y) + sen^2 \, y</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=meth8PkW5yM&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=40
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1= Ejercicio 3
 +|duracion=11´40"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=nPXYNsTPohQ&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=49
 +|sinopsis=Simplifica: <math>4 \, cos \, x \cdot cos \, (60^{\circ}+x) \cdot cos \, (60^{\circ}-x)</math>
 + 
 +}}
 +----
 +'''Razones trigonométricas del ángulo doble y mitad:'''
 + 
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1= Ejercicio 1
 +|duracion=4´58"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=r4ANdw_njZc&index=24&list=PL8C0D37B1235315C7
 +|sinopsis=Si <math>\mu</math> es un ángulo del tercer cuadrante, y <math>tg \mu = 3\;</math>, determinar las razones trigonométricas de <math>\mu /2</math>.
 +}}
 +}}
 +===Ejercicios propuestos===
{{ejercicio {{ejercicio
|titulo=Ejercicios propuestos: ''Fórmulas trigonométricas'' |titulo=Ejercicios propuestos: ''Fórmulas trigonométricas''

Revisión actual

Tabla de contenidos

Introducción

Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos

ejercicio

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos


I.1:    sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta

I.2:    cos \, (\alpha + \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta

I.3:    tg \, (\alpha + \beta) = \frac{tg \, \alpha + tg \, \beta}{1 - tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}

ejercicio

Ejemplo: Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos


Calcula el valor exacto de sen \, 75^\circ \, (sin calculadora)

ejercicio

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos


II.1:    sen \, (\alpha - \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta - cos \, \alpha \cdot sen \, \beta

II.2:    cos \, (\alpha - \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta + sen \, \alpha \cdot sen \, \beta

II.3:    tg \, (\alpha - \beta) = \frac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1 + tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}

ejercicio

Ejemplo: Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos


Calcula el valor exacto de sen \, 15^\circ (sin calculadora)

Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad

ejercicio

Razones trigonométricas del ángulo doble


III.1:    sen \, (2 \, \alpha) = 2 \, sen \, \alpha \cdot cos \, \alpha

III.2:    cos \, (2 \, \alpha) = cos^2 \, \alpha - sen^2 \, \alpha

III.3:    tg \, (2 \, \alpha) = \frac{2 \, tg \, \alpha}{1 - tg^2 \, \alpha}

ejercicio

Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo doble


Calcula el valor de cos \, 120^\circ \, a partir de las razones trigonométricas de 60º.

ejercicio

Razones trigonométricas del ángulo mitad


IV.1:    sen \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{2}}

IV.2:    cos \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1+cos \, \alpha}{2}}

IV.3:    tg \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{1+cos \, \alpha}}

ejercicio

Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo mitad


Calcula el valor exacto de tg \, 22^\circ \, 30' (sin calculadora).

Razones trigonométricas del ángulo triple

Transformaciones de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos

ejercicio

Transformaciones de sumas en productos


V.1:    sen \, A + sen \, B = 2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}

V.2:    sen \, A - sen \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}

V.3:    cos \, A + cos \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}

V.4:    cos \, A - cos \, B = -2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}

ejercicio

Ejemplo: Transformaciones de sumas en productos


Transforma en producto y calcula: sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ.

Ejercicios

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Fórmulas trigonométricas


(Pág. 130-133)

5, 7, 9, 11, 14, 15, 17b,c, 18

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 13

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