Fórmulas trigonométricas (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 07:48 11 dic 2017
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→Ejercicios)
← Ir a diferencia anterior		 Revisión actual
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→Introducción)
Línea 6: Línea 6:
}} }}
{{p}} {{p}}
-==Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos==+==Introducción==
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Razones del ángulo suma, diferencia, doble y mitad
 +|duracion=13´12"
 +|url1=https://youtu.be/zYCytkWAeiI?list=PLwCiNw1sXMSCaukmrbPRm2SQuhas4kWS_
 +|sinopsis=En este tutorial se condensan todas las fórmulas que van a verse en esta página, acompañadas de algunos ejemplos.
 +}}
 + 
 +==Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos==
{{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos {{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
|enunciado= |enunciado=
Línea 58: Línea 66:
}} }}
{{p}} {{p}}
- +{{ejemplo
 +|titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos''
 +|enunciado={{p}}
 +Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>sen \, 75^\circ \,</math>}} (sin calculadora)
 +|sol=
 +<math>sen \, 75^\circ= sen \, (45^\circ + 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ + cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ=</math>
 +{{p}}
 +<math>= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}+ \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+1)}{4}</math>
 +}}
 +{{p}}
{{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos|enunciado= {{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos|enunciado=
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
Línea 66: Línea 83:
|sinopsis=Fórmulas trigonométricas de la suma de dos ángulos con demostración. |sinopsis=Fórmulas trigonométricas de la suma de dos ángulos con demostración.
}} }}
----- 
{{Video_enlace_abel {{Video_enlace_abel
|titulo1=Seno de la suma de dos ángulos |titulo1=Seno de la suma de dos ángulos
Línea 85: Línea 101:
|sinopsis=Demostración de la fórmula de la tangente de la suma de dos ángulos. |sinopsis=Demostración de la fórmula de la tangente de la suma de dos ángulos.
}} }}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Seno de la suma de dos ángulos
 +|duracion=7´46"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XFlmO483bgc
 +|sinopsis=Demostración de la fórmula del seno de la suma de dos ángulos.
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Coseno de la suma de dos ángulos
 +|duracion=5´13"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=6vuXcHqerPg
 +|sinopsis=Demostración de la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos.
 +}}
 +
{{Video_enlace_abel {{Video_enlace_abel
|titulo1=Cotangente de la suma de dos ángulos |titulo1=Cotangente de la suma de dos ángulos
Línea 91: Línea 120:
|sinopsis=Demostración de la fórmula de la cotangente de la suma de dos ángulos. |sinopsis=Demostración de la fórmula de la cotangente de la suma de dos ángulos.
}} }}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Razones trigonométricas de la suma de tres ángulos
 +|duracion=5´23"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=gcto_sBqkGc&index=17&list=PL8C0D37B1235315C7
 +|sinopsis=Obtención de la fórmula del seno, coseno y tangente de la suma de tres ángulos.
}} }}
-{{p}}+----
-{{ejemplo+
-|titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos''+
-|enunciado={{p}}+
-Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>sen \, 75^\circ \,</math>}} (sin calculadora)+
-|sol=+
-<math>sen \, 75^\circ= sen \, (45^\circ + 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ + cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ=</math>+
-{{p}}+
-<math>= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}+ \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+1)}{4}</math>+
-}}+
-{{p}}+
-{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios|enunciado=+
{{Video_enlace_julioprofe {{Video_enlace_julioprofe
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
Línea 120: Línea 143:
|duracion=3´51" |duracion=3´51"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=-jw3VsDuC6M&index=18&list=PL8C0D37B1235315C7 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=-jw3VsDuC6M&index=18&list=PL8C0D37B1235315C7
-|sinopsis=Hallar las razones trigonométricas de <math>\theta + \mu</math> sabiendo que <math>\theta</math> y <math>\mu</math> son del segundo cuadrante y que <math>sen \theta = 1/2</math> y que <math>cos \mu = -2/3</math>.+|sinopsis=Hallar las razones trigonométricas de <math>\theta + \mu\;</math> sabiendo que <math>\theta\;</math> y <math>\mu\;</math> son del segundo cuadrante y que <math>sen \,\theta = 1/2</math> y que <math>cos \,\mu = -2/3</math>.
}} }}
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
Línea 126: Línea 149:
|duracion=3´01" |duracion=3´01"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=rq2v3ZyHbTM&index=19&list=PL8C0D37B1235315C7 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=rq2v3ZyHbTM&index=19&list=PL8C0D37B1235315C7
-|sinopsis=Demostrar que si A+B+C=180º, entonces tg A + tg B + tg C = tg A · tg B · tg C.+|sinopsis=Demostrar que si <math>A+B+C=180^{\circ}</math>, entonces <math>tg \, A + tg \, B + tg \, C = tg \, A \cdot tg \, B \cdot tg \, C</math>.
}} }}
-{{Video_enlace_fonemato+{{Video_enlace_khan
-|titulo1=Ejercicio 5: Razones trigonométricas de la suma de tres ángulos+|titulo1= Ejercicio 5
-|duracion=5´23"+|duracion=5´45"
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=gcto_sBqkGc&index=17&list=PL8C0D37B1235315C7+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XxueEKjiuuA
-|sinopsis=Seno, coseno y tangente de la suma de tres ángulos.+|sinopsis=Halla <math>cos\,(\hat B + 60º)</math> a partir del dibujo dado en el video.
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1= Ejercicio 6
 +|duracion=5´45"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XxueEKjiuuA
 +|sinopsis=Halla el valor exacto de <math>sen \, \cfrac{7\pi}{12}</math>.
 +----
 +'''¡Ojo!:''' Estamos trabajando con ángulos en radianes.
 +}}
 +}}
 +{{Actividades|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos|enunciado=
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 1
 +|descripcion=Usa las identidades trigonométricas de la suma de ángulos.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/intro-to-trig-angle-addition-identities/e/trig_addition_identities
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 2
 +|descripcion=Encuentra valores trigonométricos exactos usando las identidades de la suma de ángulos.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/using-trig-identities/e/applying-angle-addition-formulas
}} }}
}} }}
{{p}} {{p}}
- 
-==Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos== 
{{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos {{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos
|enunciado= |enunciado=
Línea 148: Línea 189:
Para las demostraciones basta sustituir <math>\alpha - \beta \,</math> por <math>\alpha + (-\beta) \,</math> y aplicar las fórmulas de la suma ('''I.1''', '''I.2''' y '''I.3''') y tener en cuenta las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo y su opuesto: Para las demostraciones basta sustituir <math>\alpha - \beta \,</math> por <math>\alpha + (-\beta) \,</math> y aplicar las fórmulas de la suma ('''I.1''', '''I.2''' y '''I.3''') y tener en cuenta las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo y su opuesto:
<center><math>sen \, (-\alpha)=-sen \, \alpha \, , \quad cos \, (-\alpha)=cos \, \alpha \, , \quad tg \, (-\alpha)=-tg \, \alpha</math></center> <center><math>sen \, (-\alpha)=-sen \, \alpha \, , \quad cos \, (-\alpha)=cos \, \alpha \, , \quad tg \, (-\alpha)=-tg \, \alpha</math></center>
-}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace_fonemato 
-|titulo1=Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos 
-|duracion=7´08 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=sBpx0-KjpNA&index=20&list=PL8C0D37B1235315C7 
-|sinopsis=Fórmulas trigonométricas de la diferencia de dos ángulos con demostración.  
}} }}
{{p}} {{p}}
Línea 165: Línea 199:
{{p}} {{p}}
<math>= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}- \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}-1)}{4}</math> <math>= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}- \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}-1)}{4}</math>
 +}}
 +{{p}}
 +
 +{{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos|enunciado=
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Tutorial
 +|duracion=7´08
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=sBpx0-KjpNA&index=20&list=PL8C0D37B1235315C7
 +|sinopsis=Fórmulas trigonométricas de la diferencia de dos ángulos con demostración.
 +}}
---- ----
-{{p}} 
{{Video_enlace_julioprofe {{Video_enlace_julioprofe
-|titulo1=Valor exacto de sen 15º+|titulo1=Ejercicio 1
|duracion=3´49" |duracion=3´49"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=-WnHUiePogg |url1=https://www.youtube.com/watch?v=-WnHUiePogg
-|sinopsis=Obtención del valor exacto de sen 15º a partir de la fórmula del seno del ángulo diferencia.+|sinopsis=Obtención del valor exacto de <math>sen \, 15^{\circ}</math> a partir de la fórmula del seno del ángulo diferencia.
}} }}
-}} 
-{{p}} 
{{Video_enlace_julioprofe {{Video_enlace_julioprofe
-|titulo1=Ejemplo+|titulo1=Ejercicio 2
|duracion=9´55" |duracion=9´55"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=i0PZwglONQQ |url1=https://www.youtube.com/watch?v=i0PZwglONQQ
|sinopsis=Obtención del valor exacto de <math>cos \left( arc\,sen \cfrac{8}{17} - arc\,cos \cfrac{12}{13} \right)</math>. |sinopsis=Obtención del valor exacto de <math>cos \left( arc\,sen \cfrac{8}{17} - arc\,cos \cfrac{12}{13} \right)</math>.
 +}}
}} }}
{{p}} {{p}}
-==Razones trigonométricas del ángulo doble==+==Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad==
{{Teorema|titulo=Razones trigonométricas del ángulo doble {{Teorema|titulo=Razones trigonométricas del ángulo doble
|enunciado= |enunciado=
Línea 203: Línea 245:
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas del ángulo doble|enunciado= 
-{{Video_enlace_julioprofe 
-|titulo1= Ejercicio 1 
-|duracion=7´04" 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=BJVxcEThHp4 
-|sinopsis=Si <math>tan \, \alpha = \cfrac{4}{3}</math> y <math>\alpha \in III</math>, halla el valor exacto de <math>sen \, 2\alpha</math>. 
-}} 
-{{Video_enlace_julioprofe 
-|titulo1=Ejercicio 2 
-|duracion=2´48" 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=8ESRmd-i_qs 
-|sinopsis=Comprueba la siguiente identidad trigonométrica: 
-<math>4 \,sen^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha = 1 - cos^2 (2\alpha)\;</math> 
-}} 
-{{Video_enlace_matemovil 
-|titulo1=Ejercicio 3 
-|duracion=13´46" 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=sOfb8x5_9jM&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=42 
-|sinopsis=Ejercicios. 
-}} 
-{{Video_enlace_matemovil 
-|titulo1=Ejercicio 4 
-|duracion=14´04" 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=qHXaptv7Hgc&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=43 
-|sinopsis=Ejercicios. 
-}} 
-{{Video_enlace_matemovil 
-|titulo1=Ejercicio 5 
-|duracion=16´36" 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=9knwfcegQ8o&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=44 
-|sinopsis=Ejercicios. 
-}} 
-}} 
-{{p}} 
- 
-==Razones trigonométricas del ángulo mitad== 
{{Teorema|titulo=Razones trigonométricas del ángulo mitad {{Teorema|titulo=Razones trigonométricas del ángulo mitad
|enunciado= |enunciado=
Línea 267: Línea 273:
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas del ángulo mitad|enunciado=+{{ejemplo
-{{Video_enlace_matemovil+|titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas del ángulo mitad''
-|titulo1=Ejercicio 1+|enunciado={{p}}
-|duracion=14´29"+Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>tg \, 22^\circ \, 30'</math>}} (sin calculadora).
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=lIpmDO_pdBg&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=47+|sol=
-|sinopsis=Ejercicios.+<math>tg \, 22^\circ \, 30'= tg \Big( \cfrac{45^\circ}{2} \Big)=\sqrt{\cfrac{1-cos \, 45^\circ}{1+cos \, 45^\circ}}=\sqrt{\cfrac{1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}}=\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=-1+\sqrt{2}</math>
-}}+
-{{Video_enlace_matemovil+
-|titulo1=Ejercicio 2+
-|duracion=8´59"+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=C-60bamV32A&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=45+
-|sinopsis=Ejercicio.+
-}}+
}} }}
{{p}} {{p}}
 +
{{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad|enunciado= {{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad|enunciado=
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
Línea 290: Línea 290:
}} }}
---- ----
 +'''Razones trigonométricas del ángulo doble:'''
 +
{{Video_enlace_abel {{Video_enlace_abel
|titulo1=Seno del ángulo doble |titulo1=Seno del ángulo doble
Línea 309: Línea 311:
}} }}
---- ----
 +
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1= Ejercicio 1
 +|duracion=7´04"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=BJVxcEThHp4
 +|sinopsis=Si <math>tan \, \alpha = \cfrac{4}{3}</math> y <math>\alpha \in III</math>, halla el valor exacto de <math>sen \, 2\alpha</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=2´48"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=8ESRmd-i_qs
 +|sinopsis=Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:
 +
 +<math>4 \,sen^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha = 1 - cos^2 (2\alpha)\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=13´46"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=sOfb8x5_9jM&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=42
 +|sinopsis=
 +:a) Calcula: <math>sec \, 120^{\circ}</math>
 +
 +:b) Sin usar la fórmula del ángulo doble, demuestra que <math>cos \, 2x = 1- sen^2 \, x</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=14´04"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=qHXaptv7Hgc&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=43
 +|sinopsis=Halla el valor de ''x'' en la figura dada.
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 5
 +|duracion=16´36"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=9knwfcegQ8o&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=44
 +|sinopsis=Halla el valor que te piden en la figura dada.
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1= Ejercicio 6
 +|duracion=4´06"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=RdsPF0aJdCo
 +|sinopsis=Halla <math>cos\,(2\,\hat B)</math> a partir del dibujo dado en el video.
 +}}
 +----
 +'''Razones trigonométricas del ángulo mitad:'''
 +
{{Video_enlace_abel {{Video_enlace_abel
|titulo1=Seno del ángulo mitad |titulo1=Seno del ángulo mitad
Línea 327: Línea 374:
|sinopsis=Demostración de la fórmula de la tangente del ángulo mitad. |sinopsis=Demostración de la fórmula de la tangente del ángulo mitad.
}} }}
 +----
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=14´29"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=lIpmDO_pdBg&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=47
 +|sinopsis=
 +:a) Demostrar que <math>tg\,\cfrac{x}{2}=cosec\,x-cotg\,x</math>.
 +
 +:b) Demostrar que <math>cotg\,\cfrac{x}{2}=cosec\,x+cotg\,x</math>. (este ejercicio queda propuesto pero no resuelto)
 +
 +:c) Apoyándote en los apartados anteriores, simplifica <math>M=\cfrac{cotg\, \cfrac{x}{2}-2\,cotg\,x}{tg\, \cfrac{x}{2}+cotg\,x}+cos\,x</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=8´59"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=C-60bamV32A&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=45
 +|sinopsis=Reduce <math>(cos\,a-cos\,b)^2+(sen\,a-sen\,b)^2</math> en función de <math>\cfrac{a-b}{2}</math>.
}} }}
-{{p}} 
-{{ejemplo 
-|titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas del ángulo mitad'' 
-|enunciado={{p}} 
-Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>tg \, 22^\circ \, 30'</math>}} (sin calculadora). 
-|sol= 
-<math>tg \, 22^\circ \, 30'= tg \Big( \cfrac{45^\circ}{2} \Big)=\sqrt{\cfrac{1-cos \, 45^\circ}{1+cos \, 45^\circ}}=\sqrt{\cfrac{1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}}=\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=-1+\sqrt{2}</math> 
}} }}
{{p}} {{p}}
 +
==Razones trigonométricas del ángulo triple== ==Razones trigonométricas del ángulo triple==
-{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios|enunciado=+{{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas del ángulo triple|enunciado=
{{Video_enlace_abel {{Video_enlace_abel
|titulo1= Seno del ángulo triple |titulo1= Seno del ángulo triple
Línea 365: Línea 423:
}} }}
---- ----
-{{Video_enlace_fonemato+{{Video_enlace_matemovil
|titulo1= Ejercicio 1 |titulo1= Ejercicio 1
-|duracion=4´58"+|duracion=6´43"
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=r4ANdw_njZc&index=24&list=PL8C0D37B1235315C7+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=nPXYNsTPohQ&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=49&t=11m39s
-|sinopsis=Si <math>\mu</math> es un ángulo del tercer cuadrante, y <math>tg \mu = 3\;</math>, determinar las razones trigonométricas de <math>\mu /2</math>.+|sinopsis= Si <math>tg \, x + cotg \, x =6</math>, halla <math>sen\,6x</math>.
 + 
}} }}
{{Video_enlace_matemovil {{Video_enlace_matemovil
|titulo1= Ejercicio 2 |titulo1= Ejercicio 2
-|duracion=12´41" 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=nPXYNsTPohQ&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=49 
-|sinopsis=Ejercicios. 
-}} 
-{{Video_enlace_matemovil 
-|titulo1= Ejercicio 3 
|duracion=12´30" |duracion=12´30"
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XCnp0TJ3V4w&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=50 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=XCnp0TJ3V4w&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=50
-|sinopsis=Ejercicio.+|sinopsis=Eliminar ''x'' en:
 + 
 +:<math>\left . \begin{matrix} ~cos \, x - sen \, x \ =\ a \\ cos \, 3x + sen \, 3x =\ b \end{matrix} \right \}</math>
 + 
}} }}
 +
}} }}
{{p}} {{p}}
Línea 534: Línea 591:
|url1=http://quiz.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/oneques.cgi?database=Precalculo2_soluciones/trig_ids/halfang.db&no_ques=8 |url1=http://quiz.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/oneques.cgi?database=Precalculo2_soluciones/trig_ids/halfang.db&no_ques=8
}} }}
-{{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia|enunciado=+{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios|enunciado=
 +'''Razones trigonométricas del ángulo suma y diferencia:'''
 + 
{{Video_enlace_matemovil {{Video_enlace_matemovil
|titulo1=Ejercicios 1 |titulo1=Ejercicios 1
Línea 553: Línea 612:
:b) Simplifica: <math>M=sen \, (x+y) \cdot sen \, (x-y) + sen^2 \, y</math> :b) Simplifica: <math>M=sen \, (x+y) \cdot sen \, (x-y) + sen^2 \, y</math>
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=meth8PkW5yM&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=40 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=meth8PkW5yM&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=40
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1= Ejercicio 3
 +|duracion=11´40"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=nPXYNsTPohQ&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=49
 +|sinopsis=Simplifica: <math>4 \, cos \, x \cdot cos \, (60^{\circ}+x) \cdot cos \, (60^{\circ}-x)</math>
 +
 +}}
 +----
 +'''Razones trigonométricas del ángulo doble y mitad:'''
 +
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1= Ejercicio 1
 +|duracion=4´58"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=r4ANdw_njZc&index=24&list=PL8C0D37B1235315C7
 +|sinopsis=Si <math>\mu</math> es un ángulo del tercer cuadrante, y <math>tg \mu = 3\;</math>, determinar las razones trigonométricas de <math>\mu /2</math>.
}} }}
}} }}

Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]
[editar]

Introducción

[editar]

Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos

ejercicio

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

I.1:    sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta

I.2:    cos \, (\alpha + \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta

I.3:    tg \, (\alpha + \beta) = \frac{tg \, \alpha + tg \, \beta}{1 - tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}

ejercicio

Ejemplo: Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Calcula el valor exacto de sen \, 75^\circ \, (sin calculadora)

ejercicio

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

II.1:    sen \, (\alpha - \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta - cos \, \alpha \cdot sen \, \beta

II.2:    cos \, (\alpha - \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta + sen \, \alpha \cdot sen \, \beta

II.3:    tg \, (\alpha - \beta) = \frac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1 + tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}

ejercicio

Ejemplo: Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Calcula el valor exacto de sen \, 15^\circ (sin calculadora)

[editar]

Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad

ejercicio

Razones trigonométricas del ángulo doble

III.1:    sen \, (2 \, \alpha) = 2 \, sen \, \alpha \cdot cos \, \alpha

III.2:    cos \, (2 \, \alpha) = cos^2 \, \alpha - sen^2 \, \alpha

III.3:    tg \, (2 \, \alpha) = \frac{2 \, tg \, \alpha}{1 - tg^2 \, \alpha}

ejercicio

Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo doble

Calcula el valor de cos \, 120^\circ \, a partir de las razones trigonométricas de 60º.

ejercicio

Razones trigonométricas del ángulo mitad

IV.1:    sen \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{2}}

IV.2:    cos \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1+cos \, \alpha}{2}}

IV.3:    tg \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{1+cos \, \alpha}}

ejercicio

Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo mitad

Calcula el valor exacto de tg \, 22^\circ \, 30' (sin calculadora).

[editar]

Razones trigonométricas del ángulo triple

[editar]

Transformaciones de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos

ejercicio

Transformaciones de sumas en productos

V.1:    sen \, A + sen \, B = 2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}

V.2:    sen \, A - sen \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}

V.3:    cos \, A + cos \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}

V.4:    cos \, A - cos \, B = -2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}

ejercicio

Ejemplo: Transformaciones de sumas en productos

Transforma en producto y calcula: sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ.

[editar]

Ejercicios

[editar]

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Fórmulas trigonométricas

(Pág. 130-133)

5, 7, 9, 11, 14, 15, 17b,c, 18

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 13

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/F%C3%B3rmulas_trigonom%C3%A9tricas_%281%C2%BABach%29"
Herramientas personales
phpMyVisites * AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda