Fórmulas trigonométricas (1ºBach)
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+ | ==Introducción== | ||
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+ | |titulo1=Razones del ángulo suma, diferencia, doble y mitad | ||
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+ | |sinopsis=En este tutorial se condensan todas las fórmulas que van a verse en esta página, acompañadas de algunos ejemplos. | ||
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==Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos== | ==Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos== | ||
{{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos | {{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos | ||
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- | {{Teorema|titulo=Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos | ||
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- | '''II.1:'''{{b4}}<math>sen \, (\alpha - \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta - cos \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> | ||
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- | '''II.2:'''{{b4}}<math>cos \, (\alpha - \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta + sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> | ||
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- | '''II.3:'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>tg \, (\alpha - \beta) = \frac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1 + tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math>}} | ||
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- | Para las demostraciones basta sustituir <math>\alpha - \beta \,</math> por <math>\alpha + (-\beta) \,</math> y aplicar las fórmulas de la suma ('''I.1''', '''I.2''' y '''I.3''') y tener en cuenta las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo y su opuesto: | ||
- | <center><math>sen \, (-\alpha)=-sen \, \alpha \, , \quad cos \, (-\alpha)=cos \, \alpha \, , \quad tg \, (-\alpha)=-tg \, \alpha</math></center> | ||
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- | |titulo=Ejemplo: ''Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos'' | ||
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- | Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>sen \, 15^\circ</math>}} (sin calculadora) | ||
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- | <math>sen \, 15^\circ= sen \, (45^\circ - 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ - cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ=</math> | ||
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- | <math>= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}- \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}-1)}{4}</math> | ||
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{{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos|enunciado= | {{Videotutoriales|titulo=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos|enunciado= | ||
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Línea 117: | Línea 101: | ||
|sinopsis=Demostración de la fórmula de la tangente de la suma de dos ángulos. | |sinopsis=Demostración de la fórmula de la tangente de la suma de dos ángulos. | ||
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|titulo1=Cotangente de la suma de dos ángulos | |titulo1=Cotangente de la suma de dos ángulos | ||
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Línea 140: | Línea 143: | ||
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- | |sinopsis=Hallar las razones trigonométricas de <math>\theta + \mu</math> sabiendo que <math>\theta</math> y <math>\mu</math> son del segundo cuadrante y que <math>sen \theta = 1/2</math> y que <math>cos \mu = -2/3</math>. | + | |sinopsis=Hallar las razones trigonométricas de <math>\theta + \mu\;</math> sabiendo que <math>\theta\;</math> y <math>\mu\;</math> son del segundo cuadrante y que <math>sen \,\theta = 1/2</math> y que <math>cos \,\mu = -2/3</math>. |
}} | }} | ||
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Línea 146: | Línea 149: | ||
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- | |sinopsis=Demostrar que si A+B+C=180º, entonces tg A + tg B + tg C = tg A · tg B · tg C. | + | |sinopsis=Demostrar que si <math>A+B+C=180^{\circ}</math>, entonces <math>tg \, A + tg \, B + tg \, C = tg \, A \cdot tg \, B \cdot tg \, C</math>. |
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- | |titulo1=Ejercicio 5: Razones trigonométricas de la suma de tres ángulos | + | |titulo1= Ejercicio 5 |
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- | |sinopsis=Seno, coseno y tangente de la suma de tres ángulos. | + | |sinopsis=Halla <math>cos\,(\hat B + 60º)</math> a partir del dibujo dado en el video. |
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+ | |sinopsis=Halla el valor exacto de <math>sen \, \cfrac{7\pi}{12}</math>. | ||
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+ | '''¡Ojo!:''' Estamos trabajando con ángulos en radianes. | ||
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+ | |url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/intro-to-trig-angle-addition-identities/e/trig_addition_identities | ||
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+ | |titulo1=Autoevaluación 2 | ||
+ | |descripcion=Encuentra valores trigonométricos exactos usando las identidades de la suma de ángulos. | ||
+ | |url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/using-trig-identities/e/applying-angle-addition-formulas | ||
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+ | '''II.1:'''{{b4}}<math>sen \, (\alpha - \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta - cos \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> | ||
+ | |||
+ | '''II.2:'''{{b4}}<math>cos \, (\alpha - \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta + sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> | ||
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+ | '''II.3:'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>tg \, (\alpha - \beta) = \frac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1 + tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math>}} | ||
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+ | Para las demostraciones basta sustituir <math>\alpha - \beta \,</math> por <math>\alpha + (-\beta) \,</math> y aplicar las fórmulas de la suma ('''I.1''', '''I.2''' y '''I.3''') y tener en cuenta las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo y su opuesto: | ||
+ | <center><math>sen \, (-\alpha)=-sen \, \alpha \, , \quad cos \, (-\alpha)=cos \, \alpha \, , \quad tg \, (-\alpha)=-tg \, \alpha</math></center> | ||
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+ | Calcula el valor exacto de {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>sen \, 15^\circ</math>}} (sin calculadora) | ||
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+ | <math>sen \, 15^\circ= sen \, (45^\circ - 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ - cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ=</math> | ||
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|duracion=3´49" | |duracion=3´49" | ||
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- | |sinopsis=Obtención del valor exacto de sen 15º a partir de la fórmula del seno del ángulo diferencia. | + | |sinopsis=Obtención del valor exacto de <math>sen \, 15^{\circ}</math> a partir de la fórmula del seno del ángulo diferencia. |
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- | |sinopsis=Ejercicios. | + | |sinopsis= |
+ | :a) Calcula: <math>sec \, 120^{\circ}</math> | ||
+ | |||
+ | :b) Sin usar la fórmula del ángulo doble, demuestra que <math>cos \, 2x = 1- sen^2 \, x</math>. | ||
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- | |sinopsis=Ejercicios. | + | |sinopsis=Halla el valor de ''x'' en la figura dada. |
}} | }} | ||
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Línea 295: | Línea 345: | ||
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- | |sinopsis=Ejercicios. | + | |sinopsis=Halla el valor que te piden en la figura dada. |
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_khan | ||
+ | |titulo1= Ejercicio 6 | ||
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+ | |sinopsis=Halla <math>cos\,(2\,\hat B)</math> a partir del dibujo dado en el video. | ||
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Línea 369: | Línea 425: | ||
{{Video_enlace_matemovil | {{Video_enlace_matemovil | ||
|titulo1= Ejercicio 1 | |titulo1= Ejercicio 1 | ||
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- | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=nPXYNsTPohQ&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=49 | + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=nPXYNsTPohQ&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=49&t=11m39s |
- | |sinopsis=Ejercicios. | + | |sinopsis= Si <math>tg \, x + cotg \, x =6</math>, halla <math>sen\,6x</math>. |
+ | |||
}} | }} | ||
{{Video_enlace_matemovil | {{Video_enlace_matemovil | ||
Línea 377: | Línea 434: | ||
|duracion=12´30" | |duracion=12´30" | ||
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XCnp0TJ3V4w&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=50 | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=XCnp0TJ3V4w&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=50 | ||
- | |sinopsis=Ejercicio. | + | |sinopsis=Eliminar ''x'' en: |
+ | |||
+ | :<math>\left . \begin{matrix} ~cos \, x - sen \, x \ =\ a \\ cos \, 3x + sen \, 3x =\ b \end{matrix} \right \}</math> | ||
+ | |||
}} | }} | ||
+ | |||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
Línea 551: | Línea 612: | ||
:b) Simplifica: <math>M=sen \, (x+y) \cdot sen \, (x-y) + sen^2 \, y</math> | :b) Simplifica: <math>M=sen \, (x+y) \cdot sen \, (x-y) + sen^2 \, y</math> | ||
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=meth8PkW5yM&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=40 | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=meth8PkW5yM&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=40 | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matemovil | ||
+ | |titulo1= Ejercicio 3 | ||
+ | |duracion=11´40" | ||
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+ | |sinopsis=Simplifica: <math>4 \, cos \, x \cdot cos \, (60^{\circ}+x) \cdot cos \, (60^{\circ}-x)</math> | ||
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}} | }} | ||
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Revisión actual
Tabla de contenidos[esconder] |
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Introducción
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Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos
Ejemplo: Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
Calcula el valor exacto de (sin calculadora)
Ejemplo: Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos
Calcula el valor exacto de (sin calculadora)
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Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad
Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo doble
Calcula el valor de a partir de las razones trigonométricas de 60º.
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Razones trigonométricas del ángulo triple
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Transformaciones de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos
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Ejercicios
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Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Fórmulas trigonométricas |