Fórmulas trigonométricas (1ºBach)
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Tabla de contenidos |
Introducción
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
En este tutorial se condensan todas las fórmulas que van a verse en esta página, acompañadas de algunos ejemplos.
Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos
Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
I.1:
I.2:
I.3:
Ejemplo: Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
Calcula el valor exacto de (sin calculadora)
![= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}+ \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+1)}{4}](/wikipedia/images/math/9/e/7/9e7985dc90ee3de3954105c35a34cfb3.png)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Fórmulas trigonométricas de la suma de dos ángulos con demostración.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula del seno de la suma de dos ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula de la tangente de la suma de dos ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Demostración de la fórmula del seno de la suma de dos ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Demostración de la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula de la cotangente de la suma de dos ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Obtención de la fórmula del seno, coseno y tangente de la suma de tres ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Halla el valor exacto de .
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Halla el valor exacto de .
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Hallar las razones trigonométricas de sabiendo que
y
son del segundo cuadrante y que
y que
.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Demostrar que si , entonces
.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Halla a partir del dibujo dado en el video.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Halla el valor exacto de .
¡Ojo!: Estamos trabajando con ángulos en radianes.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Usa las identidades trigonométricas de la suma de ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Encuentra valores trigonométricos exactos usando las identidades de la suma de ángulos.
Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos
II.1:
II.2:
II.3:
Para las demostraciones basta sustituir por
y aplicar las fórmulas de la suma (I.1, I.2 y I.3) y tener en cuenta las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo y su opuesto:
![sen \, (-\alpha)=-sen \, \alpha \, , \quad cos \, (-\alpha)=cos \, \alpha \, , \quad tg \, (-\alpha)=-tg \, \alpha](/wikipedia/images/math/1/8/4/184c9bd01baf63cc1007edd8187e4e66.png)
Ejemplo: Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos
Calcula el valor exacto de (sin calculadora)
![= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}- \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}-1)}{4}](/wikipedia/images/math/6/8/e/68e99048133e592c57714c4684a59a9a.png)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Fórmulas trigonométricas de la diferencia de dos ángulos con demostración.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Obtención del valor exacto de a partir de la fórmula del seno del ángulo diferencia.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Obtención del valor exacto de .
Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad
Razones trigonométricas del ángulo doble
III.1:
III.2:
III.3:
Basta utilizar las fórmulas de la suma (I.1, I.2 y I.3) y hacer
![\alpha= \beta \,](/wikipedia/images/math/3/d/0/3d0be6e882c7e0b2148c97180ef4de56.png)
Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo doble
Calcula el valor de a partir de las razones trigonométricas de 60º.
![cos \, 120^\circ= cos^2 \, 60^\circ - sen^2 \, 60^\circ=\cfrac{1}{4}-\cfrac{3}{4}=-\cfrac{1}{2}](/wikipedia/images/math/9/7/6/97633a6d2e32ba68c84de7f7de1c5061.png)
Razones trigonométricas del ángulo mitad
IV.1:
IV.2:
IV.3:
Teniendo en cuenta que y utilizando la fórmula III.2 del coseno del ángulo doble, tenemos:
![cos \, \alpha=cos \, \Big( 2 \cdot \cfrac{\alpha}{2} \Big) = cos^2 \, \cfrac{\alpha}{2}- sen^2 \cfrac{\alpha}{2}](/wikipedia/images/math/2/d/6/2d6cb8460f136a346a6ff5d844d6b15f.png)
que combinado con la fórmula fundamental, nos da el siguiente sistema:
Sumando y restando ambas ecuaciones, tenemos las siguientes expresiones:
![cos \, \cfrac{\alpha}{2}](/wikipedia/images/math/b/7/8/b782e5d756f94fbdbad19ed8d2ef136c.png)
![sen \, \cfrac{\alpha}{2}](/wikipedia/images/math/0/a/8/0a8472913eb87ec965732d5fbafd5223.png)
![tg \, \cfrac{\alpha}{2}](/wikipedia/images/math/b/1/8/b188b23d8f944520712c8d445141b4b2.png)
Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo mitad
Calcula el valor exacto de (sin calculadora).
![tg \, 22^\circ \, 30'= tg \Big( \cfrac{45^\circ}{2} \Big)=\sqrt{\cfrac{1-cos \, 45^\circ}{1+cos \, 45^\circ}}=\sqrt{\cfrac{1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}}=\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=-1+\sqrt{2}](/wikipedia/images/math/f/d/0/fd0e79bd18f0cb499539572a81b415ce.png)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Fórmulas trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad con demostración.
Razones trigonométricas del ángulo doble:
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula del seno del ángulo doble.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula del coseno del ángulo doble.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula de la tangente y la cotangente del ángulo doble.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Si y
, halla el valor exacto de
.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
- a) Calcula:
- b) Sin usar la fórmula del ángulo doble, demuestra que
.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Halla el valor de x en la figura dada.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Halla el valor que te piden en la figura dada.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Halla a partir del dibujo dado en el video.
Razones trigonométricas del ángulo mitad:
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula del seno del ángulo mitad.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula del coseno del ángulo mitad.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de la fórmula de la tangente del ángulo mitad.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
- a) Demostrar que
.
- b) Demostrar que
. (este ejercicio queda propuesto pero no resuelto)
- c) Apoyándote en los apartados anteriores, simplifica
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Reduce en función de
.
Razones trigonométricas del ángulo triple
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Obtención de la fórmula del seno del ángulo triple.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Obtención de la fórmula del coseno del ángulo triple.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Obtención de la fórmula de la tangente del ángulo triple.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Determinar el
en función del
.
- Determinar el
en función del
.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Si , halla
.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Eliminar x en:
Transformaciones de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos
Transformaciones de sumas en productos
V.1:
V.2:
V.3:
V.4:
V.1 y V.2:
Partiendo de las expresiones del I.1 y II.1 del seno de una suma y de una diferencia:
- I.1:
- II.1:
Sumando y restando ambas expresiones, obtenemos:
- Sumando:
[1]
- Restando:
[2]
Hacemos los siguientes cambios de variable:
Resolviendo este sistema:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia en producto con demostración.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de las fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia de cosenos en producto.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Demostración de las fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia de senos en producto.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Ejercicios.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Ejercicios.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Ejercicios.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Ejercicios.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Ejercicios.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Ejercicios.
Ejercicios
Actividad para practicar el cálculo de las razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de ángulos.
Aviso: Antes de hacer la actividad puedes ver algunos ejemplos en: Ejemplos
![](/wikipedia/images/thumb/6/65/Upr.jpg/22px-Upr.jpg)
Actividad para practicar el cálculo de las razones trigonométricas del ángulo doble y mitad.
Aviso: Antes de hacer la actividad puedes ver algunos ejemplos en: Ejemplos
Razones trigonométricas del ángulo suma y diferencia:
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Usando las razones trigonométricas de la suma y de la diferencia, calcula:
- a)
- b) Si
y
, calcula
.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
- a) Si
, simplifica
- b) Simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Simplifica:
Razones trigonométricas del ángulo doble y mitad:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Si μ es un ángulo del tercer cuadrante, y , determinar las razones trigonométricas de μ / 2.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Fórmulas trigonométricas |