Ampliación del concepto de ángulo (1ºBach)

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-*Los ángulos coterminales tienen las mismas razones trigonométricas, por tener la misma posición en la circunferencia goniométrica.+
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(Pág. 108)

Hasta ahora hemos trabajado con ángulos comprendidos entre 0º y 360º. Vamos a extender el estudio a ángulos con una medida mayor que 360º. Igualmente haremos con ángulos negativos.

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Ángulos coterminales

Dos ángulos, \alpha \; y \beta\;, son coterminales (se nota \alpha \equiv \beta) si tienen el mismo vértice, el mismo lado inicial y el mismo lado final.

ejercicio

Propiedades

Los ángulos coterminales se diferencian en un número entero de vueltas a la circunferencia goniométrica. Es decir,

\alpha \equiv \beta \iff \exist n \in \mathbb{Z} \ / \ \beta = \alpha + n \cdot 360^\circ.

ejercicio
Ejemplo

Los ángulos 45º, 405º y -315º son coterminales.

En efecto:

  • 405º = 45º+360º
  • -315º =45º-360º

ejercicio

Propiedades

  • Los ángulos coterminales tienen las mismas razones trigonométricas.
  • Dado un ángulo mayor que 360º, existe un ángulo comprendido entre 0º y 360º coterminal con él, que es el resto de la división entre el ángulo y 360º.
  • Dado un ángulo negativo, existe un ángulo positivo coterminal con él.
Demostración:
  • Los ángulos coterminales tienen las mismas razones trigonométricas, por tener la misma posición en la circunferencia goniométrica.
  • Dado un ángulo mayor que 360º, existe un ángulo comprendido entre 0º y 360º coterminal con él, que es el resto de la división entre el ángulo y 360º, ya que, al hacer la división y quedarnos con el resto, le estamos quitando un número exacto de vueltas y por tanto obteniendo uno coterminal con él.
  • Dado un ángulo negativo, existe un ángulo positivo coterminal con él pués basta con sumarle 360º un número suficiente de veces.

ejercicio
Ejemplo
  • El ángulo -60º tiene por coterminal al ángulo 300º (-60º+360º). Por tanto, las razones trigonométricas de -60º y 300º son las mismas.

Si un ángulo \alpha\; tiene medida superior a 360º, al ángulo \beta\; con medida inferior a 360º coterminal con \alpha\;, decimos que es la reducción al primer giro de \alpha\;.

ejercicio
Ejemplo
  • 3000º es coterminal con 120º porque la división 3000:360 da 120 de resto. Entonces 120º es la recucción al primer giro de 3000º.

Ángulos coterminales (7´13")     Sinopsis:

Definición de ángulos coterminales. Ejemplos.

Reducción de un ángulo al primer giro (7´03")     Sinopsis:
  • Si un ángulo orientado "A" tiene medida superior a 360º, del único ángulo "B" con medida inferior a 360º coterminal con "A", decimos que es la reducción al primer giro de "A".
  • Ejemplos.

wolfram
Ampliación del concepto de ángulo
wolfram

Actividad: Ampliación del concepto de ángulo

a) Halla el ángulo coterminal con 2000º menor de 360º.
b) Halla el ángulo coterminal con -2000º menor de 360º y positivo.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) remain 2000/360 o bien 2000 mod 360
b) remain -2000/360 o bien -2000 mod 360

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Ejercicios

Razones trigonométricas de ángulos "especiales"     Descripción:

Da el valor exacto de la razón trigonométrica de un ángulo "especial".

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Angulos coterminales

(Pág. 108)

1a,c,e; 2a,b,c

1b,d,f; 2d,e,f,g,h

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