Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Teorema de los senos
- 1.1 Ejercicios propuestos
2 Teorema del coseno
- 2.1 Ejercicios propuestos
3 Ejercicios y videotutoriales

(Pág. 116)

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Teorema de los senos

Teorema de los senos

En un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:

$\cfrac{a}{sen \, \hat A}=\cfrac{b}{sen \, \hat B}=\cfrac{c}{sen \, \hat C}$

Además, todos estos cocientes son iguales a $2R\,$ , donde $R\,$ es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Demostración:

Demostración del teorema de los senos Descripción:

En esta escena podrás ver la demostración del teorema de los senos.

Valor de la constante del teorema de los senos Descripción:

En esta escena podrás comprobar el valor de la constante del teorema de los senos.

Demostración:

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento $\overline{BO}$ hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro $\overline{BP}$ .

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que $\overline{BP}$ es un diámetro, y además los ángulos $\hat A$ y $\hat P$ son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo arco, $\widehat{BC}$ . Por la definición de seno, se tiene que

$sen \, \hat A=sen \, \hat P=\cfrac{\overline{BC}}{\overline{BP}} = \cfrac{a}{2R}$

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

$\frac{a}{sen \, \hat A} = 2R$

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

Comprobación del teorema de los senos Descripción:

En esta escena podrás comprobar el teorema de los senos.

Ejemplo: Teorema de los senos

Resuelve el triángulo del que se conocen los siguientes datos:

$a = 6 \, m \, , \, \hat B = 45^\circ \, , \, \hat C = 105^\circ$

Solución:

$\hat A=180^\circ -45^\circ - 105^\circ= 30^\circ$

$\cfrac{6}{sen \, 30^\circ}=\cfrac{b}{sen \, 45^\circ} \quad \rightarrow \quad b=6 \cdot \cfrac{sen \ 45^\circ}{sen \, 30^\circ}=6 \cdot \cfrac{\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{\cfrac{1}{2}}=6 \, \sqrt{2} \, m$

$\cfrac{6}{sen \, 30^\circ}=\cfrac{c}{sen \, 105^\circ} \quad \rightarrow \quad c=6 \cdot \cfrac{sen \ 105^\circ}{sen \, 30^\circ}=11.6 \, m$

Más información en: Teorema de los senos

Teorema de los senos

Tutorial 1 (17´23") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja el Teorema del Seno, resolviendo ejercicios en donde se aplica para el cálculo de lados desconocidos de un triángulo.

00:00 a 09:26: Ejemplo introductorio (Ejemplo1).
09:26 a 10:40: Teorema del Seno: Enunciado.
10:40 a 14:45: Teorema del Seno: Demostración.
14:45 a Fin: Aplicación del Teorema del Seno en cálculo del lado de un triángulo (Ejemplo 1).

Tutorial 2 (6´02") Sinopsis:

Teorema de los senos con otra demostración.

Tutorial 3a (5´27") Sinopsis:

Teorema de los senos. Ejemplo.

Tutorial 3b (7´12") Sinopsis:

Teorema de los senos. Ejemplo con 2 soluciones.

Ejercicio 1 (4´20") Sinopsis:

Resuelve el triángulo ABC sabiendo que $\hat A=35^\circ$ , $\hat B=61^\circ$ y $a=13\,cm$ .

Ejercicio 2 (5´59") Sinopsis:

Resuelve el triángulo ABC sabiendo que $\hat A=30^\circ$ , $\hat B=45^\circ$ y $a=2\;$ .

Problema (9´30") Sinopsis:

Halla la distancia entre dos barcos observados desde bajo ángulos de depresión de 40º y 25º, desde un globo que vuela a 3000 pies.

Teorema de los senos

Actividad 1 Descripción:

Problemas de aplicación del teorema de los senos.

Actividad 2 Descripción:

Problemas de aplicación del teorema de los senos.

Autoevaluación Descripción:

Autoevaluación sobre el teorema de los senos.

Teorema de los senos

Actividad: Teorema de los senos

a) Herramienta interactiva para aplicar el teorema de los senos.

b) Halla el ángulo B sabiendo que A=40º, a=6cm y b=8cm.

Solución:

Donde pone "Escribe tu consulta" pon las siguientes expresiones:

a) law of sines

b) law of sines a=6cm, b=8cm, alpha=40º

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Teorema de los senos

(Pág. 117)

5, 6

(Pág. 118)

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Teorema del coseno

Teorema del coseno

En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación:

$c^2=a^2+b^2-2ab \, cos \, \hat C$

Analogamente:

$b^2=a^2+c^2-2ac \, cos \, \hat B$

$a^2=b^2+c^2-2bc \, cos \, \hat A$

Demostración:

Demostración del teorema del coseno Descripción:

En esta escena podrás ver la demostración del teorema del coseno.

Demostración:

Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al teorema de Pitágoras cuando el ángulo $\hat A$ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso.

Primer caso: $\hat A$ es agudo.

Consideremos la figura adjunta. La altura $h\,$ divide al triángulo ABC en dos triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras aplicado a ambos establece que

$c^2 = h^2 + u^2\,$ y $h^2 = a^2 - (b-u)^2\,$

Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos

$c^2 = u^2 + a^2 - b^2 + 2bu - u^2=a^2 - b^2 + 2bu\,$

Por la definición de coseno, se tiene:

$cos \, \hat C = \cfrac{b-u}{a} \quad \rightarrow \quad u = b-a \,\cos \hat C\,$

Sustituimos el valor de $u\,$ en la expresión para $c^2\,$ y simplificamos:

$c^2 = a^2-b^2 +2b (b-a cos \, \hat C)$

concluyendo que

$c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C$

y terminando con esto la prueba del primer caso.

Segundo caso: $\hat A$ es obtuso.

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que

$c^2 = h^2 + u^2\;$ y $h^2 = a^2 - (b+u)^2\,$

Combinando ambas ecuaciones obtenemos

$c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2= a^2 -b^2 -2bu\,$

De la definición de coseno, se tiene:

$cos \, \hat C = \cfrac{b+u}{a} \quad \rightarrow \quad u = a\, cos \, \hat C -b$

Sustituimos en la expresión para $c^2\,$ y simplificamos

$c^2 = a^2-b^2 -2b(a cos \, \hat C -b)\,$

concluyendo nuevamente

$c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, cos \hat C$

Esto concluye la demostración.

Comprobación del teorema del coseno Descripción:

En esta escena podrás comprobar el teorema del coseno.

Ejemplo: Teorema del coseno

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

Solución:

Aplicamos el teorema del coseno al triángulo AOD:

$\overline{AD}=\sqrt{5^2+6^2-2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot cos \, 48^\circ \, 15'}=4.5877 \, cm$

Ahora aplicamos el teorema del coseno al triángulo AOB

$\widehat{BOA}=180^\circ-48^\circ \, 15'=131^\circ \, 45'$

$\overline{AB}=\sqrt{5^2+6^2-2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot cos \, 131^\circ \, 45'}=10.047 \, cm$

Más información en: Teorema del coseno

Teorema del coseno

Tutorial 1 (12´44") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja el Teorema del Coseno, resolviendo ejercicios en donde se aplica tanto para el cálculo de lados como el de ángulos.

00:00 a 06:00: Ejemplo introductorio (Ejemplo1).
06:00 a 07:14: Teorema del Coseno: Enunciado.
07:14 a 10:03: Teorema del Coseno: Demostración.
10:03 a 11:05: Aplicación del Teorema del Coseno en cálculo del lado de un triángulo (Ejemplo 1).
11:05 a Fin: Aplicación del Teorema del Coseno para el cálculo de los ángulos de un triángulo, dados sus tres lados del triángulo (Ejemplo 2).

Tutorial 2 (9´38") Sinopsis:

Teorema del coseno con demostración.

Tutorial 3 (8´45") Sinopsis:

Teorema del coseno. Ejemplo.

Ejercicio 1 (4´24") Sinopsis:

Resuelve el triángulo ABC sabiendo que $\hat C=42^\circ$ , $a=13\, cm$ y $b=8 \,cm$ .

Ejercicio 2 (6´03") Sinopsis:

Resuelve el triángulo ABC sabiendo que $\hat A=70^\circ$ , $b=2\, m$ y $c=15\, m$ .

Ejercicio 3 (4´31") Sinopsis:

En un triángulo ABC sabemos que $\hat A=87^\circ$ , $b = 12$ y $c = 9$ . Halla el lado $a\;$ .

Ejercicio 4 (6´43") Sinopsis:

En un triángulo ABC sabemos que sus lados miden $a=50\,n$ , $b=60\,m$ y $c = 20$ . Halla el ángulo $\hat C\;$ .

Problema 1 (2´54") Sinopsis:

Halla la distancia entre dos cometas sabiendo que un muchacho las sujeta con dos hilos que forman un ángulo de 30º y que miden 400 m y 500 m cada uno.

Problema 2 (9´24") Sinopsis:

De un puerto sale un barco a las 2:00 PM con velocidad constante de 60 km/h hacia el este. A las 3:00 PM sale, del mismo puerto, otro barco con velocidad constante de 40 km/h y con rumbo N18ºE. ¿Qué distancia separa los barcos a las 5:00 PM

Problema 3 (6´01") Sinopsis:

Artemisa desea conocer la anchura del Cinturón de Orión, que es un cúmulo de estrellas en la constelación de Orión. Para ello deberá calcular la distancia entre las estrellas Alnitak y Mintaka, que están en los extremos del cinturón. Ella observa desde su casa que el ángulo que forma su visual entre la estrella Alnitak y la estrella Mintaka, es de 3º. Además conoce la distancia que hay desde sus casa hasta cada estrella: 736 años luz a Alnitak y 915 años luz a Mintaka.

Teorema del coseno

Actividad 1 Descripción:

Problemas de aplicación del teorema del coseno.

Actividad 2 Descripción:

Problemas de aplicación del teorema del coseno.

Autoevaluación Descripción:

Autoevaluación sobre el teorema del coseno.

Teorema del coseno

Actividad: Teorema del coseno

a) Herramienta interactiva para aplicar el teorema del coseno.

b) Si en un triángulo a=5cm, b=4cm y C=30º, calcula el lado c.

c) Si en un triángulo a=5cm, b=4cm y c=3cm, calcula sus ángulos.

Solución:

Donde pone "Escribe tu consulta" pon la siguiente expresión:

a) law of cosines

b) law of cosines 5cm, 4cm, 30º

b) law of cosines 5cm, 4cm, 3cm

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Teorema del coseno

(Pág. 119)

8a,b,g; 9

8c,e,f,h

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Ejercicios y videotutoriales

En la siguiente tanda de ejercicios tendrás que decidir entre utilizar el teorema de los senos o el del coseno. Pero antes puedes consultar el siguiente enlace para ver algunos ejemplos de aplicación de estos dos teoremas.

Ejemplos de resolución de triángulos Descripción:

Ejemplos de los distintos casos de resolución de triángulos.

Resolución de triángulos cualesquiera

Tutorial (1´37") Sinopsis:

Resolver un triángulo es identificarlo (o sea, determinar sus lados y ángulos); para ello hay que conocer tres de sus elementos, siendo alguno de ellos un lado. Cabe distinguir 4 casos:

Se conocen dos ángulos y un lado.
Se conocen dos lados y el ángulo que forman.
Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Se conocen los tres lados.

Tutorial 2a (13´51") Sinopsis:

Resolución de triángulos no rectángulos. Ejemplos.

Tutorial 2b (8´53") Sinopsis:

Problemas de distancias entre dos puntos no accesibles. Ejemplo.

Ejercicio 1 (2´57") Sinopsis:

Caso 1: Se conocen dos ángulos y un lado.

Resuelve el triángulo ABC si $\hat B=53^\circ$ , $\hat C=34^\circ$ y $a= 10\,cm$ .

Ejercicio 2 (9´18") Sinopsis:

Caso 2: Se conocen dos lados y el ángulo que forman.

Resuelve el triángulo ABC si $\hat C=59^\circ$ , $a = 37 \, cm$ y $b= 25\,cm$ .
Resuelve el triángulo ABC si $\hat A=29^\circ$ , $b = 13 \, cm$ y $c= 9\,cm$ .

Ejercicio 3a (7´56") Sinopsis:

Caso 3: Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno.

Resuelve el triángulo ABC si $\hat A=59^\circ$ , $a = 14 \, cm$ y $b= 8\,cm$ .
Resuelve el triángulo ABC si $\hat B=54^\circ$ , $a = b = 12 \, cm$ .

Ejercicio 3b (6´30") Sinopsis:

Caso 3: Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno.

Resuelve el triángulo ABC si $\hat B=20^\circ$ , $b = 29 \, cm$ y $c= 47\,cm$ .

Ejercicio 4 (4´35") Sinopsis:

Caso 4: Se conocen los tres lados.

Resuelve el triángulo ABC si $a=7\,cm$ , $b = 11 \, cm$ y $c= 15\,cm$ .
Resuelve el triángulo ABC si $a=22\,cm$ , $b = 7 \, cm$ y $c= 17\,cm$ .

Ejercicio 5 (8´49") Sinopsis:

Ejercicio (Real como la vida misma).

Ejercicio 6 (3´23") Sinopsis:

Resuelve el triángulo ABC sabiendo que $\hat A=37^\circ$ , $a=12\,m$ y $b=10\, m$ .

Ejercicio 7 (4´11") Sinopsis:

Resuelve el triángulo ABC sabiendo que $\hat A=37^\circ$ , $\hat B=52^\circ$ y $c=10\,m$ .

Ejercicio 8 (3´03") Sinopsis:

Resuelve el triángulo ABC sabiendo que $\hat A=37^\circ$ , $b=12\,m$ y $c=10\,m$ .

Ejercicio 9 (3´03") Sinopsis:

Resuelve el triángulo ABC sabiendo que $\hat A=37^\circ$ , $b=12\,m$ y $c=10\,m$ .

Problema (5´36") Sinopsis:

Estás con un amigo que está volando una cometa. El está a 40 m de distancia de ti y sujeta la cometa con una cuerda que mide 30 m. Si tu observas la cometa con un ángulo de elevación sobre el suelo de 40º, ¿con qué ángulo de elevación la observa tu amigo?

Resolución de triángulos cualesquiera

Actividad 1 Descripción:

Repaso sobre el teorema de los senos y el del coseno.

Actividad 2: Cálculo de la distancia entre dos puntos inaccesibles Descripción:

Problema resuelto sobre cómo calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles. Se usará el teorema de los senos y el del coseno.

Autoevaluación Descripción:

Problemas sobre resolución de triángulos.

Ejercicios y problemas Descripción:

Ejercicios y problemas resueltos sobre triángulos oblicuángulos.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Resoluci%C3%B3n_de_tri%C3%A1ngulos_cualesquiera_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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Tabla de contenidos

Teorema de los senos

Ejercicios propuestos

Teorema del coseno

Ejercicios propuestos

Ejercicios y videotutoriales

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+En la siguiente tanda de ejercicios tendrás que decidir entre utilizar el teorema de los senos o el del coseno.
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-|sinopsis=1 ejercicio (Se conocen dos ángulos y un lado).
+|sinopsis='''Caso 1: Se conocen dos ángulos y un lado.'''
+Resuelve el triángulo ABC si <math>\hat B=53^\circ</math>, <math>\hat C=34^\circ</math> y <math>a= 10\,cm</math>.
 }}
 {{p}}
 |duracion=9´18"
 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=op8aXHJWM68&list=PL56F1B8468B0DCC96&index=7
-|sinopsis=Dos ejercicios (Se conocen dos lados y el ángulo que forman).
+|sinopsis='''Caso 2: Se conocen dos lados y el ángulo que forman.'''
+# Resuelve el triángulo ABC si <math>\hat C=59^\circ</math>, <math>a = 37 \, cm</math> y <math>b= 25\,cm</math>.
+# Resuelve el triángulo ABC si <math>\hat A=29^\circ</math>, <math>b = 13 \, cm</math> y <math>c= 9\,cm</math>.
 }}
 {{p}}
 {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=Ejercicio 3
+|titulo1=Ejercicio 3a
 |duracion=7´56"
 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=peHLs3D_Z4E&list=PL56F1B8468B0DCC96&index=8
-|sinopsis=Dos ejercicios (Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno)
+|sinopsis='''Caso 3: Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno.'''
+# Resuelve el triángulo ABC si <math>\hat A=59^\circ</math>, <math>a = 14 \, cm</math> y <math>b= 8\,cm</math>.
+# Resuelve el triángulo ABC si <math>\hat B=54^\circ</math>, <math>a = b = 12 \, cm</math>.
 }}
 {{p}}
 {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=Ejercicio 4
+|titulo1=Ejercicio 3b
 |duracion=6´30"
 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=Yh5IgojmW9I&list=PL56F1B8468B0DCC96&index=9
-|sinopsis=Ejercicio (Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno).
+|sinopsis='''Caso 3: Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno.'''
+Resuelve el triángulo ABC si <math>\hat B=20^\circ</math>, <math>b = 29 \, cm</math> y <math>c= 47\,cm</math>.
 }}
 {{p}}
 {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=Ejercicio 5
+|titulo1=Ejercicio 4
 |duracion=4´35"
 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=-2zTgN_YPkI&list=PL56F1B8468B0DCC96&index=10
-|sinopsis=Dos ejercicios (Se conocen los tres lados).
+|sinopsis='''Caso 4: Se conocen los tres lados.'''
+# Resuelve el triángulo ABC si <math>a=7\,cm</math>, <math>b = 11 \, cm</math> y <math>c= 15\,cm</math>.
+# Resuelve el triángulo ABC si <math>a=22\,cm</math>, <math>b = 7 \, cm</math> y <math>c= 17\,cm</math>.
 }}
 {{p}}
 {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=Ejercicio 6
+|titulo1=Ejercicio 5
 |duracion=8´49"
 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=4OMAQuxYPfI&list=PL56F1B8468B0DCC96&index=11
 }}
 {{Video_enlace_miguematicas
-|titulo1=Ejercicio 7
+|titulo1=Ejercicio 6
 |duracion=3´23"
 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=ZSvtKL2P5eE&index=1&list=PLLfTN7MHLxConmGSq82Dwz6NE8i2l2rMW
-|sinopsis=Resuelve el triángulo ABC sabiendo que A=37º, a=12 m y b=10 m.
+|sinopsis=Resuelve el triángulo ABC sabiendo que <math>\hat A=37^\circ</math>, <math>a=12\,m</math> y <math>b=10\, m</math>.
 }}
 {{Video_enlace_miguematicas
-|titulo1=Ejercicio 8
+|titulo1=Ejercicio 7
 |duracion=4´11"
 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=ei2siaU3ny0&index=2&list=PLLfTN7MHLxConmGSq82Dwz6NE8i2l2rMW
-|sinopsis=Resuelve el triángulo ABC sabiendo que A=37º, B=52º y c=10 m.
+|sinopsis=Resuelve el triángulo ABC sabiendo que <math>\hat A=37^\circ</math>, <math>\hat B=52^\circ</math> y <math>c=10\,m</math>.
 }}
 {{Video_enlace_miguematicas
-|titulo1=Ejercicio 9
+|titulo1=Ejercicio 8
 |duracion=3´03"
 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=_6eQLLS0pL0&index=3&list=PLLfTN7MHLxConmGSq82Dwz6NE8i2l2rMW
-|sinopsis=Resuelve el triángulo ABC sabiendo que A=37º, b=12 m y c=10 m.
+|sinopsis=Resuelve el triángulo ABC sabiendo que <math>\hat A=37^\circ</math>, <math>b=12\,m</math> y <math>c=10\,m</math>.
 }}
 {{Video_enlace_miguematicas
-|titulo1=Ejercicio 10
+|titulo1=Ejercicio 9
 |duracion=3´03"
 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=_6eQLLS0pL0&index=3&list=PLLfTN7MHLxConmGSq82Dwz6NE8i2l2rMW
-|sinopsis=Resuelve el triángulo ABC sabiendo que A=37º, b=12 m y c=10 m.
+|sinopsis=Resuelve el triángulo ABC sabiendo que <math>\hat A=37^\circ</math>, <math>b=12\,m</math> y <math>c=10\,m</math>.
+}}
+{{Video_enlace_khan
+|titulo1=Problema
+|duracion=5´36"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=2IF5nLi590Q
+|sinopsis=Estás con un amigo que está volando una cometa. El está a 40 m de distancia de ti y sujeta la cometa con una cuerda que mide 30 m. Si tu observas la cometa con un ángulo de elevación sobre el suelo de 40º, ¿con qué ángulo de elevación la observa tu amigo?
+}}
+}}
+{{Actividades|titulo=Resolución de triángulos cualesquiera|enunciado=
+{{AI_Khan
+|titulo1=Actividad 1
+|descripcion=Repaso sobre el teorema de los senos y el del coseno.
+|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-with-general-triangles/solving-general-triangles/a/laws-of-sines-and-cosines-review
+}}
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=Problema resuelto sobre cómo calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles. Se usará el teorema de los senos y el del coseno.
+|enlace=[http://ggbm.at/zznBAvac Actividad 2: ''Cálculo de la distancia entre dos puntos inaccesibles'']
+}}
+{{AI_Khan
+|titulo1=Autoevaluación
+|descripcion=Problemas sobre resolución de triángulos.
+|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-with-general-triangles/solving-general-triangles/e/law-of-sines-and-cosines-word-problems
 }}
-{{Video_enlace_miguematicas
-|titulo1=Ejercicio 11
-|duracion=6´03"
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=09QXon_f2dA&index=6&list=PLLfTN7MHLxConmGSq82Dwz6NE8i2l2rMW
-|sinopsis=Resuelve el triángulo ABC sabiendo que A=70º, b=20 m y c=15 m.
 }}
+{{Ejercicios_vitutor
+|titulo1=Ejercicios y problemas
+|descripcion=Ejercicios y problemas resueltos sobre triángulos oblicuángulos.
+|url1=http://www.vitutor.com/al/trigo/tr_e1.html
 }}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]