Vectores: Definición y operaciones (1ºBach)

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Indice Descartes Manual Casio	Vectores 4º ESO	WIRIS Geogebra Calculadoras

Tabla de contenidos

1 Vectores
2 Operaciones con vectores

(Pág. 172)

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Vectores

Los siguientes vídeos sirven de introducción a los conceptos que vamos a ver a lo largo de esta página.

Introducción al concepto de vector (6´11") Sinopsis:

Vídeo que nos introduce el concepto de vector con un ejemplo gráfico que representa el desplazamiento de una persona a lo largo de un plano.

Vector fijo y vector libre (9´53") Sinopsis:

Conceptos de vector fijo y vector libre del plano. Nota: En el vídeo se habla de las coordenadas del vector que une dos puntos que se estudiarán en otro tema.

Módulo y dirección de un vector (5´12") Sinopsis:

Cálculo del módulo de un vector. Nota: La obtención de la fórmula del módulo de un vector se estudiará en otro tema.

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Vectores fijos

Un vector fijo es un segmento orientado que queda determinado por un punto origen, A y otro punto extremo, B. Lo simbolizamos $\overrightarrow{AB}$ .

Características de un vector:

El módulo del vector $\overrightarrow{AB}$ es la longitud del segmento $\overline{AB}$ , se representa por $|\overrightarrow{AB}|$ .
La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquiera de sus paralelas.
Cada dirección admite dos sentidos opuestos: el que va de A a B y el que va de B a A. Gráficamente se representa con una punta de flecha.

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Vectores equipolentes. Vectores libres

Dos vectores, $\vec{AB}$ y $\vec{CD}$ , son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido (aunque sus orígenes y extremos sean distintos). Lo simbolizaremos $\vec{AB}=\vec{CD}$

Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como representante del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama vector libre. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: $\vec{u} \, , \vec{v} \, , ...$

Vectores equipolentes

$\vec{u}=\vec{v}=\vec{w}$

Vectores equipolentes Descripción:

En esta escena podrás ver un conjunto de vectores equipolentes.

Vectores libres Descripción:

Cuenta los vectores libres que hay en la escena.

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Vector nulo

El vector nulo es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo simbolizaremos $\vec{0}$ .

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Vectores opuestos

Dos vectores, $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , son opuestos si tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos $\vec{u}=-\vec{v}$ .

Vectores opuestos: $\vec{u}=-\vec{v}$

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Operaciones con vectores

Operaciones con vectores (5´24") Sinopsis:

Suma y resta de vectores (método gráfico).
Multiplicación de un vector por un escalar (método gráfico).
Ejemplos y ejercicios.

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Producto de un vector por un número

El producto de un número real $k\,$ por un vector $\vec{v}$ es otro vector $k\vec{v}$ que tiene las siguientes características:

Módulo: $|k\vec{v}|=|k| \cdot |\vec{v}|$ ( $|k|\,$ es el valor absoluto del número real $k\,$ )
Dirección: la misma que $\vec{v}$ .
Sentido: el mismo que $\vec{v}$ si $k>0\,$ y opuesto si $k<0\,$ .

Producto de un vector por un número Descripción:

En esta escena podrás ver como se multiplica un vector por un número o escalar.

$\vec{v}=2 \vec{u} \qquad \vec{w}=- \frac{1}{2} \vec{u}$

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Suma y resta de vectores

Suma de vectores:

Dados dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , para sumarlos se elige un representante del vector $\vec{v}$ que tenga como origen el extremo de $\vec{u}$ . De esta manera el vector suma será otro vector, $\vec{u} + \vec{v}$ , que tendrá como origen el origen de $\vec{u}$ y por el extremo, el extremo de $\vec{v}$ .

Suma de vectores Descripción:

En esta escena podrás ver como se suman vectores.

Resta de vectores:

Para restar dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , sumamos al vector $\vec{u}$ el opuesto de $\vec{v}$ . Es decir, $\vec{u} - \vec{v}=\vec{u} + (- \vec{v})$ .

Resta de vectores Descripción:

En esta escena podrás ver como se restan vectores.

Método del paralelogramo:

Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente.

Suma de vectores (2 métodos) Descripción:

En esta escena podrás ver como se suman vectores por dos métodos geométricos.

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Combinación lineal de vectores

Dados dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y $a,b \in \mathbb{R}$ , el vector $\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v}$ se dice que es una combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ .

En el gráfigo de la derecha tenemos un ejemplo en el que el vector $\vec{w}$ es combinación lineal de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , siendo los coeficientes $a=3\,$ y $b=2\,$ .

La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, el vector

$\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v}+ c \cdot \vec{v} \quad (a,b,c \in \mathbb{R})$

es combinación lineal de $\vec{u}$ , $\vec{v}$ y $\vec{z}$ .

Combinación lineal de vectores Descripción:

En esta escena podrás ver como se expresa un vector como combinación lineal de otros dos.

[editar]

Cómo expresar gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos

Procedimiento

Para expresar gráficamente el vector $\vec{w}$ como combinación lineal de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ $(\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v})$

Colocamos los tres vectores partiendo de un mismo punto.
A continuación, por el extremo de $\vec{w}$ trazamos paralelas a los otros dos vectores.
Donde estas paralelas corten a las prolongaciones de los vectores, tenemos los extremos del vector $a \cdot \vec{u}$ y $b \cdot \vec{v}$ .

Cómo expresar gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos Descripción:

En esta escena podrás ver como se expresa gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Vectores:_Definici%C3%B3n_y_operaciones_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

Vectores: Definición y operaciones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Vectores

Vectores fijos

Vectores equipolentes. Vectores libres

Vector nulo

Vectores opuestos

Operaciones con vectores

Producto de un vector por un número

Suma y resta de vectores

Combinación lineal de vectores

Cómo expresar gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos

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 ===Vectores fijos===
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-===Vector nulo===
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-Dos vectores, {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, son '''opuestos''' si tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{v}</math>}}.
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 ===Vectores equipolentes. Vectores libres===
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-Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como '''representante''' del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama '''vector libre'''. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u} \, , \overrightarrow{v} \, , ...</math>}}
+Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como '''representante''' del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama '''vector libre'''. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u} \, , \vec{v} \, , ...</math>}}
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-{{AI_enlace
+{{Geogebra_enlace
-|titulo1=Actividad 1: ''Módulo, dirección y sentido de un vector fijo''
+|descripcion=En esta escena podrás ver un conjunto de vectores equipolentes.
-|descripcion=En la escena puedes ver varios vectores fijos.
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-#¿Cuáles de ellos crees que tienen la misma dirección? (Para comprobarlo puedes pulsar el botón azul del "control" rectas.)
+{{p}}
-#De los que tienen la misma dirección ¿cuáles tienen el mismo sentido?
-#Te parece que hay vectores en la escena con el mismo módulo?
+{{Geogebra_enlace
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+|descripcion=Cuenta los vectores libres que hay en la escena.
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/m_Geometria/vectores/vectores1_1.html
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 {{p}}
-{{AI_enlace
-|titulo1=Actividad 2: Vectores equipolentes
-|descripcion=Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Para comprobarlo, se unen sus orígenes y sus extremos respectivos. Si el polígono resultante es un paralelogramo, los vectores son equipolentes.
-#Comprueba si los vectores <math>\overrightarrow{AB}</math> y <math>\overrightarrow{CD}</math> son equipolentes. Para ello pincha y arrastra los puntitos amarillos que ves en A y B.
+===Vector nulo===
-#Comprueba si los vectores <math>\overrightarrow{EF}</math> y <math>\overrightarrow{GH}</math> son equipolentes.
+{{Caja_Amarilla|texto=
-#Dibuja en tu cuaderno dos vectores que sean equipolentes y otros dos que no lo sean, dibujando , para demostrarlo, los polígonos correspondientes
+El '''vector nulo''' es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo simbolizaremos {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{0}</math>}}.
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 {{p}}
-{{AI_enlace
-|titulo1=Actividad 3: Vectores libres
-|descripcion=Encierra en cada caja los vectores que te parezcan equipolentes al que ya está dentro. (Para ello pincha y arrastra el puntito negro que ves en el origen de cada vector. Puedes usar el zoom si lo necesitas.)
-¿Cuántos vectores libres se obtienen?
+===Vectores opuestos===
+{{Tabla75|celda2=<center>'''Vectores opuestos: {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{u}=-\vec{v}</math>}}'''<br>[[Imagen:vectores_opuestos.gif|150px]]</center>
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+|celda1={{Caja_Amarilla|texto=
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+Dos vectores, {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, son '''opuestos''' si tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\vec{u}=-\vec{v}</math>}}.
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 ==Operaciones con vectores==
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+*Multiplicación de un vector por un escalar (método gráfico).
+*Ejemplos y ejercicios.
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 ===Producto de un vector por un número===
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+{{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:vectordoble.gif|250px]]<br><math>\vec{v}=2 \vec{u} \qquad \vec{w}=- \frac{1}{2} \vec{u}</math></center>|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=El '''producto de un número real <math>k\,</math> por un vector''' {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} es otro vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>k\overrightarrow{v}</math>}} que tiene las siguientes características:
+{{Caja_Amarilla|texto=El '''producto de un número real <math>k\,</math> por un vector''' {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} es otro vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>k\vec{v}</math>}} que tiene las siguientes características:
-*'''Módulo:''' {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>|k\overrightarrow{v}|=|k| \cdot |\overrightarrow{v}|</math>}} (<math>|k|\,</math> es el valor absoluto del número real <math>k\,</math>)
+*'''Módulo:''' {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>|k\vec{v}|=|k| \cdot |\vec{v}|</math>}} (<math>|k|\,</math> es el valor absoluto del número real <math>k\,</math>)
-*'''Dirección:''' la misma que {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}.
+*'''Dirección:''' la misma que {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}.
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+*'''Sentido:''' el mismo que {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} si <math>k>0\,</math> y opuesto si <math>k<0\,</math>.
-}}
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-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Producto de un vector por un número''|cuerpo=
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+|descripcion=En esta escena podrás ver como se multiplica un vector por un número o escalar.
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-{{p}}
-|actividad=
-Mueve los puntos azules y observa los cambios.
-¿Qué relación encuentras entre los vectores {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>3 \overrightarrow{u}</math>}}?
-Mueve ahora el punto verde y observa.
-¿Qué relación encuentras entre los vectores {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>k  \overrightarrow{u}</math>}}, siendo <math>k\,</math> un número positivo cualquiera?
-¿Y qué ocurre cuando <math>k\,</math> es negativo o 0?
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-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_prod_por_escalar1.html
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_prod_por_escalar1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
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 ===Suma y resta de vectores===
 {{Tabla75|celda1=
 '''Suma de vectores:'''
-{{Caja_Amarilla|texto=Dados dos vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, su '''suma''' es otro vector, {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}</math>}}, que tiene como origen el origen de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y por el extremo, el extremo de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}.
+{{Caja_Amarilla|texto=Dados dos vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, para sumarlos se elige un representante del vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} que tenga como origen el extremo de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}}. De esta manera el vector '''suma''' será otro vector, {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u} + \vec{v}</math>}}, que tendrá como origen el origen de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y por el extremo, el extremo de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}.
-}}
-|celda2=<center>[[Imagen:sumavectores.gif|225px]]</center>
 }}
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 {{Geogebra_enlace
-|descripcion=En esta escena podrás ver como se suman vectores por dos métodos geométricos.
+|descripcion=En esta escena podrás ver como se suman vectores.
-|enlace=[https://ggbm.at/Rx4qrehF Suma de vectores (2 métodos)]
+|enlace=[http://ggbm.at/kSxka7h5 Suma de vectores]
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+|celda2=<center>[[Imagen:sumavectores.gif|225px]]</center>
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 {{p}}
 {{Tabla75|celda1=
 '''Resta de vectores:'''
-{{Caja_Amarilla|texto=Para '''restar'''  dos vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, sumamos al vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} el opuesto de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}. Es decir,  <math>\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u} + (- \overrightarrow{v})</math>.
+{{Caja_Amarilla|texto=Para '''restar'''  dos vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, sumamos al vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} el opuesto de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}. Es decir,  <math>\vec{u} - \vec{v}=\vec{u} + (- \vec{v})</math>.
+}}
+{{p}}
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=En esta escena podrás ver como se restan vectores.
+|enlace=[http://ggbm.at/bhsphdTM Resta de vectores]
 }}
 |celda2=<center>[[Imagen:restavectores.gif|225px]]</center>
 {{Tabla75|celda1=
 '''Método del paralelogramo:'''
-{{Caja_Amarilla|texto=Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente.
+{{Caja_Amarilla|texto=Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente.
 }}
-|celda2=<center>[[Imagen:sumarestavectores.gif|225px]]</center>
+{{p}}
-}}{{p}}
 {{Geogebra_enlace
-|descripcion=En esta escena podrás ver como se suman y restan vectores.
+|descripcion=En esta escena podrás ver como se suman vectores por dos métodos geométricos.
-|enlace=[https://ggbm.at/kds6Sny7 Suma y resta de vectores]
+|enlace=[http://ggbm.at/Rx4qrehF Suma de vectores (2 métodos)]
+}}
+|celda2=<center>[[Imagen:sumarestavectores.gif|225px]]</center>
 }}
 {{p}}
 ===Combinación lineal de vectores===
 {{Tabla75|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=Dados dos vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, otro vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{w}</math>}} es '''combinación lineal''' de ellos si podemos encontrar dos números reales '''a''' y '''b''' tales que
+{{Caja_Amarilla|texto=Dados dos vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} y <math>a,b \in \mathbb{R}</math>, el vector <math>\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v}</math> se dice que es una '''combinación lineal''' de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}.
-<center><math>\overrightarrow{w}=a \cdot \overrightarrow{u}+ b \cdot \overrightarrow{v}</math></center>
 }}
 {{p}}
-En el gráfigo de la derecha tenemos un ejemplo en el que el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{w}</math>}} es combinación lineal de los vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, siendo los coeficientes <math>a=3\,</math> y <math>b=2\,</math>.
+En el gráfigo de la derecha tenemos un ejemplo en el que el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{w}</math>}} es combinación lineal de los vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, siendo los coeficientes <math>a=3\,</math> y <math>b=2\,</math>.
-La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, un vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{w}</math>}} es combinación lineal de otros tres {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}}, {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{z}</math>}} si podemos encontrar 3 números reales '''a''', '''b''' y '''c''' tales que
+La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, el vector
+{{p}}
+<center><math>\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v}+ c \cdot \vec{v} \quad (a,b,c \in \mathbb{R})</math></center>
+{{p}}
+es combinación lineal de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}}, {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{z}</math>}}.
-<center><math>\overrightarrow{w}=a \cdot \overrightarrow{u}+ b \cdot \overrightarrow{v}+ c \cdot \overrightarrow{v}</math></center>
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+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=En esta escena podrás ver como se expresa un vector como combinación lineal de otros dos.
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-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Combinación lineal de vectores''|cuerpo=
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-{{ai_cuerpo
+{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la escena siguiente tienes el vector <math>\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}</math>. Se dice entonces que el vector {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{w}</math>}}es combinación lineal de {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}.
+Para expresar gráficamente el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{w}</math>}} como combinación lineal de los vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>(\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v})</math>}}
-{{p}}
-|actividad=
-<center><iframe>
+*Colocamos los tres vectores partiendo de un mismo punto.
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_cl1_1.html
+*A continuación, por el extremo de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{w}</math>}} trazamos paralelas a los otros dos vectores.
-width=780
+*Donde estas paralelas corten a las prolongaciones de los vectores, tenemos los extremos del vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>a \cdot \vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>b \cdot \vec{v}</math>}}.
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_cl1_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Mueve los puntos verdes hasta visualizar:
-* <math>5 \overrightarrow{u} -2 \overrightarrow{v}</math>
-* <math>-2 \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}</math>
-* <math>\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}</math>
-Puedes mover los puntos azules de los vectores para cambiarlos.
 }}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 2:''' En la escena siguiente vas a expresar un vector como combinación lineal de otros dos.
 {{p}}
-|actividad=Mueve los puntos verdes hasta que el vector rojo coincida exactamente con el amarillo: pon {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{w}</math>}} como combinación lineal de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=En esta escena podrás ver como se expresa gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos.
+|enlace=[http://ggbm.at/jgZfCbpS Cómo expresar gráficamente un vector como combinación lineal de otros dos]
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_cl2_1.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_cl2_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 3:''' En la escena siguiente vas a ver como se construye un vector como combinación lineal de otros dos.
-{{p}}
-|actividad={{p}}
-#Desliza el punto verde lentamente y observa los cambios.
-#Devuelve el deslizador a su posición original, cambia los tres vectores y vuelve a usar el deslizador
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_cl3.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_cl3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
 }}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]