Vectores: Coordenadas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Base de vectores en el plano
- 2.1 Base ortogonal y ortonormal
- 2.2 Base canónica de los vectores del plano
3 Coordenadas de un vector respecto de una base
4 Operaciones con vectores dados por coordenadas
5 Ejercicios propuestos

(Pág. 174)

Introducción

Veamos unos vídeos introductorios para poder comprender mejor el concepto de base.

Dependencia e independencia lineal de vectores I (13´47") Sinopsis:

Dependencia e independencia lineal de vectores. Ejemplos. Combinación lineal de vectores linealmente independientes.

Dependencia e independencia lineal de vectores II (13´47") Sinopsis:

Dependencia e independencia lineal de vectores. En el plano más de dos vectores son siempre linealmente dependientes.

Base de vectores en el plano

Proposición

Dados dos vectores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ , con distintas direcciones (linealmente independientes), cualquier vector del plano, $\vec{v}$ , se puede poner como combinación lineal de ellos:

$\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{y}$

Esta combinación lineal es única, es decir, sólo existen dos números $a\,$ y $b\,$ para los que se cumple la igualdad anterior.

Demostración:

1ª parte (Existencia):

Para la demostración de la primera parte tienes el siguiente videotutorial:

Dos vectores no paralelos generan plano (18´21") Sinopsis:

Veremos en este video una comprobación geométrica y otra analítica del siguiente resultado:

Dados dos vectores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ , con distintas direcciones, cualquier vector del plano, $\vec{v}$ , se puede poner como combinación lineal de ellos:

$\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{x}$

Nota: En el video hace uso de la regla de Cramer, que se ve en el próximo curso, para resolver un sistema 2x2. También lo puedes resolver, usando en su lugar, el método de sustitución.

2ª parte (Unicidad):

Para la demostración de la segunda parte razonaremos por reducción al absurdo. Supondremos que existen dos combinaciones lineales distintas y llegaremos a una contradicción con la hipótesis de partida.

Supongamos que existe dos combinaciones lineales distintas:

$\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{y}$

$\vec{v}=a' \vec{x}+b' \vec{y}$

con $a \ne a'$ y $b \ne b'$

Igualando ambas expresiones:

$a \vec{x}+b \vec{y}=a' \vec{x}+b' \vec{y}$

de donde:

$(a-a') \vec{x}=(b'-b) \vec{y}$

Y como $a \ne a'$ , podemos pasar dividiendo (a-a') que es distinto de cero:

$\vec{x}=\cfrac{(b'-b)}{(a-a')} \vec{y}$

Pero esta expresión nos dice que los vectores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ son proporcionales y que, por tanto, tienen la misma dirección. Esto contradice la hipótesis de partida.

Estos resultados permiten dar la siguiente definición:

Se llama base de un conjunto de vectores del plano a dos vectores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ , con distintas direcciones (linealmente independientes). La representaremos por $B(\vec{x},\vec{y})$ .

De esta manera, la proposición anterior se pueden expresar de la siguiente manera:

Teorema de la base

Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de los vectores de una base, de forma única.

Base ortogonal y ortonormal

Si los dos vectores de una base del plano son perpendiculares entre sí, se dice que forman una base ortogonal. Si además ambos tienen módulo 1, se dice que forman una base ortonormal.

Base canónica de los vectores del plano

La base canónica o base usual de los vectores del plano, es una base ortonormal que representaremos por $B(\vec{i}, \vec{j})$ , cuyos vectores se caracterizan por:

1) Estan fijados a un punto común, el origen del sistema de referencia o punto (0,0).

2) Tienen por direcciones la de los ejes de coordenadas.

3) Tienen el mismo sentido que el de los semiejes positivos.

Base canónica (9´49") Sinopsis:

Base canónica de vectores del plano.

Nota: En la segunda parte del video se trata el caso de vectores tridimensionales.

Coordenadas de un vector respecto de una base

Dada una base del plano $B(\vec{x},\vec{y})$ , por el teorema de la base, sabemos que cualquier vector $\vec{v}$ se puede poner como combinación lineal de los vectores de dicha base, de forma única:

$\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{y}$

Al par de números $(a,b)\,$ los llamaremos las coordenadas del vector $\vec{v}$ respecto de la base $B(\vec{x},\vec{y})$ . Lo expresaremos $\vec{v}=(a,b)$ , o bien, $\vec{v}(a,b)$ .
Las coordenadas de los vectores de la base son $\vec{x}(1,0)$ e $\vec{y}(0,1)$ , ya que $\vec{x}=1 \vec{x}+0 \vec{y}$ y $\vec{y}=0 \vec{x}+1 \vec{y}$ .

Coordenadas de un vector respecto de una base

Tutorial (10´49") Sinopsis:

Coordenadas de un vector respecto de una base: Un ejemplo gráfico y otro numérico.

Ejercicio 1 (4´58") Sinopsis:

Calcula las coordenadas del vector (7,4) respecto de la base B={(-2,-1);(1,1)}

Ejercicio 2 (5´35") Sinopsis:

Expresa el vector (5,-3) como combinación lineal de los vectores (-1,2) y (3,1).

Combinación lineal de vectores. Bases Descripción:

En esta escena podrás poner un vector como combinación lineal de los vectores de una base y obtener sus coordenadas respecto de ella.

Autoevaluación: Combinación lineal de vectores. Bases Descripción:

Ejercicio de autoevaluación en el que podrás poner un vector como combinación lineal de otros dos no alineados y que, por tanto, constituyen una base de vectores del plano. En consecuncia podrás averiguar sus coordenadas respecto de dicha base, que serán los números por los que hay que multiplicar los vectores de la base para obtener el vector dado.

Operaciones con vectores dados por coordenadas

Sean $\vec{u}=(x_1,y_1)$ y $\vec{v}=(x_2,y_2)$ dos vectores del plano:

Suma de vectores: $\vec{u}+\vec{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
Producto por un número k: $k \vec{u}=(k \, x_1,k \, y_1)$
Combinación lineal: $a \vec{u}+b \vec{v}=(a \, x_1+ b \, x_2, a \, y_1+b \, y_2)$

Operaciones con vectores dados por coordenadas

Actividad: Operaciones con vectores dados por coordenadas

Sean $\vec{u} =(-2,1)$ y $\vec{v} =(1,2)$ . Representa y halla las coordenadas de los siguientes vectores:

a) $4 \vec{u}$

b) $\vec{u}- \vec{v}$

c) $3 \vec{u} +2 \vec{v}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) vector 4(-2,1)

b) vector (-2,1)-(1,2)

c) vector 3(-2,1)+2(1,2)

(Pág. 175)

Ejercicios resueltos: Operaciones con vectores dados por coordenadas

1. Sean $\vec{u}=(2,3)$ y $\vec{v}=(5,-2)$ . Halla y comprueba gráficamente que:

a) $3 \, \vec{u} = (6,9)$

b) $\vec{u}+\vec{v} = (7,1)$

2. Sean $\vec{u}=(0,-1)$ , $\vec{v}=(-1,0)$ y $\vec{w}=(2,-3)$ .

Calcula "a" y "b" para que $\vec{w}=a\, \vec{u} + b\, \vec{v}$ .

Solución:

1a) Utiliza la siguiente escena:

Producto de un vector por un número Descripción:

En esta escena podrás ver como se multiplica un vector por un número.

1b) Utiliza la siguiente escena:

Suma y resta de vectores Descripción:

En esta escena podrás ver como se suman y restan vectores.

2) Soluciones: a = 3; b = -2

Compruébalo en la siguiente escena:

Combinación lineal de vectores. Bases Descripción:

En esta escena podrás poner un vector como combinación lineal de los vectores de una base y obtener sus coordenadas respecto de ella.

Operaciones con vectores dados por coordenadas

Operaciones con vectores (6´38") Sinopsis:

Suma y resta de vectores.
Multiplicación de un vector por un escalar.
Ejemplos y ejercicios.

Suma y resta de vectores (11'23") Sinopsis:

Suma y resta de vectores

Vectores en el plano (21´22") Sinopsis:

Sistema de coordenadas rectangulares. Ejemplos.
Vectores en el plano. Componentes. Ejemplos.
Suma de vectores y multiplicación de un vector por un escalar. Ejemplos.

Interpretación geométrica de las operaciones con vectores (16´45") Sinopsis:

Interpretación geométrica de la suma de vectores y multiplicación de un vector por un escalar. Ejemplos.

Combinación lineal de vectores (20´33") Sinopsis:

Combinación lineal de vectores del plano.

Nota: En la segunda parte del video se trata el caso de vectores tridimensionales.

Suma de vectores. (24´12") Sinopsis:

Suma de vectores: método del paralelogramo.
Coordenadas del vector suma.
Propiedades de la suma de vectores.

Producto de un escalar por un vector. (20´52") Sinopsis:

Producto de un escalar por un vector
Propiedades
Vectores colineales

Producto de un escalar por un vector (9´46") Sinopsis:

Producto de un escalar por un vector. Ejemplos.

Suma de vectores (7´39") Sinopsis:

Suma de vectores. Ejemplos.

Combinación lineal de vectores (7´38") Sinopsis:

Combinación lineal de vectores. Ejemplos.

Ejercicio 1 (4´56") Sinopsis:

Encontrar la suma de los vectores dados e ilustrar gráficamente:

$\vec{u}=(-1,4)$ y $\vec{v}=(3,-2)$

Ejercicio 2 (5´44") Sinopsis:

Averigua si los vectores $\vec{u}=(3,-1)$ y $\vec{v}=(-9,3)$ son paralelos o no.

Ejercicio 3 (7´49") Sinopsis:

Si $\vec{a}=(3,2)$ , $\vec{b}=(2,-1)$ y $\vec{c}=(7,1)$ , encuentra $s, \, t \in \mathbb{R}$ tales que $\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}$ .

Ejercicios 4 (10´17") Sinopsis:

Sean $\vec{u}=(2,1)\, , \ \vec{v}=(a,-1) \ y \ \vec{z}=(1,b)$ . Halla "a" y "b" en los siguientes casos:

a) $\vec{z}=8\vec{u}-5\vec{v}$

b) $2\vec{z}=7\vec{u}-4\vec{v}$

c) $\vec{z}=a\vec{u}-\vec{v}$

d) $\vec{z}=\vec{u}-a\vec{v}$

Ejercicios 5 (13´40") Sinopsis:

Demostración de que dados dos vectores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ , con distintas direcciones, cualquier vector del plano, $\vec{v}$ , se puede poner como combinación lineal de ellos.
Ejercicio: Si $\vec{u}=(2,1)$ , $\vec{v}(3,-4)$ y $\vec{z}=(1,6)$ , expresa $\vec{z}$ como combinación lineal de los otros dos vectores.

Operaciones con vectores dados por coordenadas Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones con vectores dados por coordenadas.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Coordenadas de un vector

(Pág. 175)

1b,c

1a,b

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Vectores:_Coordenadas_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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Vectores: Coordenadas (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión de 11:10 5 dic 2019

Tabla de contenidos

Introducción

Base de vectores en el plano

Base ortogonal y ortonormal

Base canónica de los vectores del plano

Coordenadas de un vector respecto de una base

Operaciones con vectores dados por coordenadas

Ejercicios propuestos

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