Puntos y vectores el plano (1ºBach)
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{{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:sistemaref.jpg|200px]]<br> Sistema de referencia ortonormal</center> | {{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:sistemaref.jpg|200px]]<br> Sistema de referencia ortonormal</center> | ||
|celda1={{Caja_Amarilla|texto= | |celda1={{Caja_Amarilla|texto= | ||
- | Un '''sistema de referencia''' del plano consiste en una terna {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}</math>}}, donde {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>O\,</math>}} es un punto fijo, llamado '''origen''', y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})</math>}} una base de vectores del plano. | + | Un '''sistema de referencia''' del plano consiste en una terna {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathfrak{R}=\big\{O,B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}</math>}}, donde {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>O\,</math>}} es un punto fijo, llamado '''origen''', y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})</math>}} una base de vectores del plano. |
En este sistema de referencia, cada punto <math>P\,</math> del plano tiene asociado un vector fijo {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{OP}</math>}}, llamado '''vector de posición''' del punto <math>P\,</math>. | En este sistema de referencia, cada punto <math>P\,</math> del plano tiene asociado un vector fijo {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{OP}</math>}}, llamado '''vector de posición''' del punto <math>P\,</math>. | ||
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{{Geogebra_enlace | {{Geogebra_enlace | ||
|descripcion=En esta escena podrás ver como se obtienen las coordenadas de un punto respecto de un sistema de referencia del plano a partir de su vector de posición. | |descripcion=En esta escena podrás ver como se obtienen las coordenadas de un punto respecto de un sistema de referencia del plano a partir de su vector de posición. | ||
- | |enlace=[https://ggbm.at/TWjAJah2 Vector de posición y coordenadas de un punto del plano] | + | |enlace=[http://ggbm.at/TWjAJah2 Vector de posición y coordenadas de un punto del plano] |
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{{Videotutoriales|titulo=Vector que une dos puntos del plano|enunciado= | {{Videotutoriales|titulo=Vector que une dos puntos del plano|enunciado= | ||
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{{Video_enlace_fonemato | {{Video_enlace_fonemato | ||
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|sinopsis=Siendo <math>P = (x_0,y_0)</math> y <math>Q = (x_1,y_1)</math> puntos del plano, en este vídeo definimos el concepto de "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q). Visualizamos dicho vector fijo mediante una "flecha" que tiene origen en "P" y extremo en "Q". El vector fijo asociado al par (Q,P) se dice "opuesto" del asociado al par (P,Q). | |sinopsis=Siendo <math>P = (x_0,y_0)</math> y <math>Q = (x_1,y_1)</math> puntos del plano, en este vídeo definimos el concepto de "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q). Visualizamos dicho vector fijo mediante una "flecha" que tiene origen en "P" y extremo en "Q". El vector fijo asociado al par (Q,P) se dice "opuesto" del asociado al par (P,Q). | ||
En términos matemáticos, el vector fijo asociado al par ordenado (P,Q) queda identificado mediante el par ordenado de números reales <math>(x_1 - x_0 , y_1 - y_0)</math>, que se obtiene al restar las coordenadas del punto "P" a las coordenadas del punto "Q". De dicho par <math>(x_1 - x_0 , y_1 - y_0)</math> se dice que son las coordenadas del vector fijo. | En términos matemáticos, el vector fijo asociado al par ordenado (P,Q) queda identificado mediante el par ordenado de números reales <math>(x_1 - x_0 , y_1 - y_0)</math>, que se obtiene al restar las coordenadas del punto "P" a las coordenadas del punto "Q". De dicho par <math>(x_1 - x_0 , y_1 - y_0)</math> se dice que son las coordenadas del vector fijo. | ||
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|titulo1=Signo de las coordenadas de un vector | |titulo1=Signo de las coordenadas de un vector | ||
|duracion=19´59" | |duracion=19´59" | ||
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|sinopsis=Estudio del signo de las coordenadas de un vector <math>\vec{AB}</math> según la posición del origen A y el extremo B del vector. | |sinopsis=Estudio del signo de las coordenadas de un vector <math>\vec{AB}</math> según la posición del origen A y el extremo B del vector. | ||
}} | }} | ||
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|sinopsis=Calcula el vector <math>\vec{AB}</math> y dibújalo anclado al origen, siendo A=(-1,1) y B=(3,2). | |sinopsis=Calcula el vector <math>\vec{AB}</math> y dibújalo anclado al origen, siendo A=(-1,1) y B=(3,2). | ||
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- | {{Video_enlace_matefacil | + | {{Video_enlace_julioprofe |
|titulo1=Ejercicio 3 | |titulo1=Ejercicio 3 | ||
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Línea 98: | Línea 104: | ||
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|sinopsis=Siendo <math>P = (x_0,y_0)\;</math> y <math>Q = (x_1,y_1)\;</math> puntos del plano, las coordenadas del "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q) son: | |sinopsis=Siendo <math>P = (x_0,y_0)\;</math> y <math>Q = (x_1,y_1)\;</math> puntos del plano, las coordenadas del "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q) son: | ||
Línea 108: | Línea 114: | ||
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- | |sinopsis=Sea C un punto sobre el segmento AB tal que la distancia de C a B es el doble que la distancia de C a A. Sean <math>\vec{a}=\vec{OA}</math>, <math>\vec{b}=\vec{OB}</math> y <math>\vec{c}=\vec{OC}</math>, donde O es el origen. Demostrar que <math>\vec{c}=\cfrac{2}{3}\vec{a}+\cfrac{1}{3}\vec{b}</math>. | + | |
- | }} | + | |
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
+ | {{Actividades|titulo=Coordenadas del vector que une dos puntos|enunciado= | ||
{{Geogebra_enlace | {{Geogebra_enlace | ||
|descripcion=En esta escena podrás calcular las coordenadas del vector que une dos puntos del plano. | |descripcion=En esta escena podrás calcular las coordenadas del vector que une dos puntos del plano. | ||
- | |enlace=[https://ggbm.at/H4Db73bD Autoevaluación: Coordenadas del vector que une dos puntos] | + | |enlace=[http://ggbm.at/H4Db73bD Autoevaluación 1] |
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+ | |titulo1=Autoevaluación 2 | ||
+ | |descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre coordenadas del vector que une dos puntos. | ||
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}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
Línea 132: | Línea 140: | ||
|titulo1=Equipolencia de vectores fijos. Vector libre | |titulo1=Equipolencia de vectores fijos. Vector libre | ||
|duracion=14´37" | |duracion=14´37" | ||
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/08-vectores-en-el-plano/04-equipolencia-de-vectores-fijos-vector-libre#.VC1S0ha7ZV8 | + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=PhoHBFXoMG4&index=9&list=PL811F7AF8E8EC9655 |
|sinopsis= | |sinopsis= | ||
*Dos vectores fijos se dicen "equipolentes" si tienen el mismo módulo, dirección y sentido o, equivalentemente, si tienen las mismas coordenadas. | *Dos vectores fijos se dicen "equipolentes" si tienen el mismo módulo, dirección y sentido o, equivalentemente, si tienen las mismas coordenadas. | ||
Línea 145: | Línea 153: | ||
|titulo1=2 ejercicios | |titulo1=2 ejercicios | ||
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|sinopsis=Conocidos 3 puntos del plano hallar un cuarto punto tal que forme con los otros tres un paralelogramo. | |sinopsis=Conocidos 3 puntos del plano hallar un cuarto punto tal que forme con los otros tres un paralelogramo. | ||
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Línea 206: | Línea 214: | ||
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|sinopsis= | |sinopsis= | ||
*Producto de un escalar por un vector | *Producto de un escalar por un vector | ||
Línea 215: | Línea 230: | ||
*Vectores colineales | *Vectores colineales | ||
*Condición para que tres puntos estén alineados | *Condición para que tres puntos estén alineados | ||
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+ | }} | ||
+ | {{AI_vitutor | ||
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{{p}} | {{p}} | ||
Línea 260: | Línea 281: | ||
<math>M \, \Big( \cfrac{-5+7}{2},\, \cfrac{2+(-4)}{2} \Big)=(1,-1)</math> | <math>M \, \Big( \cfrac{-5+7}{2},\, \cfrac{2+(-4)}{2} \Big)=(1,-1)</math> | ||
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|sinopsis=Obtención de la fórmula del punto medio de un segmento AB. Ejemplos | |sinopsis=Obtención de la fórmula del punto medio de un segmento AB. Ejemplos | ||
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{{Video_enlace_abel | {{Video_enlace_abel | ||
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|duracion=16´30" | |duracion=16´30" | ||
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=a4vCc4ecFf0 | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=a4vCc4ecFf0 | ||
|sinopsis=Este vídeo explica como se calcula las coordenadas del punto medio de un segmento y lo ilustra con un ejemplo. | |sinopsis=Este vídeo explica como se calcula las coordenadas del punto medio de un segmento y lo ilustra con un ejemplo. | ||
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{{Video_enlace_julioprofe | {{Video_enlace_julioprofe | ||
- | |titulo1=Ejemplo | + | |titulo1=Ejercicio 1 |
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|url1=https://www.youtube.com/watch?v=eRlmoF2Z3I4 | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=eRlmoF2Z3I4 | ||
|sinopsis= Halla el punto medio del segmento de extremos (-17,3) y (5,-29). | |sinopsis= Halla el punto medio del segmento de extremos (-17,3) y (5,-29). | ||
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}} | }} | ||
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|sinopsis=En este video aprendemos a determinar los puntos que dividen un segmento dado en tres partes iguales. | |sinopsis=En este video aprendemos a determinar los puntos que dividen un segmento dado en tres partes iguales. | ||
}} | }} | ||
+ | }} | ||
+ | {{AI_vitutor | ||
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+ | |descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre el cálculo del punto medio de un segmento. | ||
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}} | }} | ||
Línea 335: | Línea 386: | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
+ | {{Video_enlace_8cifras | ||
+ | |titulo1=Simétrico de un punto respecto de otro | ||
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+ | :a) Calcular el simétrico del punto A(1,6) respecto del punto B(4,3). | ||
+ | :b) Calcular el simétrico del punto B respecto de A. | ||
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+ | |||
+ | ==Ejercicios== | ||
+ | {{Videotutoriales|titulo=Puntos y vectores en el plano|enunciado= | ||
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+ | |sinopsis=Si A, B y C son los tres vértices de un triángulo, calcula <math>\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}</math>. | ||
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+ | |sinopsis=Sea C un punto sobre el segmento AB tal que la distancia de C a B es el doble que la distancia de C a A. Sean <math>\vec{a}=\vec{OA}</math>, <math>\vec{b}=\vec{OB}</math> y <math>\vec{c}=\vec{OC}</math>, donde O es el origen. Demostrar que <math>\vec{c}=\cfrac{2}{3}\vec{a}+\cfrac{1}{3}\vec{b}</math>. | ||
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+ | |sinopsis=Haciendo uso de vectores, demuestra que el segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado, y tiene la mitad de su longitud. | ||
+ | }} | ||
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+ | |titulo1=Ejercicio 4 | ||
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+ | |sinopsis=Haciendo uso de vectores, demuestra que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. | ||
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+ | {{Video_enlace_fonemato | ||
+ | |titulo1=Ejercicios 5 | ||
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+ | |sinopsis=En éste video veremos 6 ejercicios en los que jugaremos con vectores colineales. | ||
+ | |||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_fonemato | ||
+ | |titulo1=Ejercicios 6 | ||
+ | |duracion=11'11" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=3ezG3I-0ze4&index=22&list=PL811F7AF8E8EC9655 | ||
+ | |sinopsis=En éste video veremos 6 ejercicios en los que jugaremos con la suma de vectores y con el producto escalar de vectores: | ||
+ | |||
+ | Sean los puntos A(2,3), B(-1,4), C(0,3) y D(k,6). Determina "k" en cada uno de los siguientes casos: | ||
+ | |||
+ | 1) <math>\vec{AB} \cdot \vec{BD}=0</math>;{{b4}}2) <math>\vec{CD} \cdot \vec{DA}=-9</math>;{{b4}}3) <math>(2\vec{CB}) \cdot \vec{DC}=7</math>;{{b4}}4) <math>(\vec{AD}-\vec{CB} \cdot \vec{DA}=-6</math> | ||
+ | |||
+ | Además de estos cuatro ejercicios hay otros dos que ilustran lo que "no puede ser", y que podrás ver al final del video. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_fonemato | ||
+ | |titulo1=Ejercicios 7 | ||
+ | |duracion=17'13" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=cilcF3bHp8w&index=18&list=PL811F7AF8E8EC9655 | ||
+ | |sinopsis=Si <math>|\overline{PQ}|=2</math>, posicione los puntos A, B, C, D, E y F en cada uno de los siguientes casos: | ||
+ | |||
+ | 1) <math>\vec{QA}=3 \vec{PQ}=0</math>;{{b4}}2) <math>\vec{BP}=-2 \vec{PQ}</math>;{{b4}}3) <math>(\vec{QC})=2\vec{PQ}</math>;{{b4}}4) <math>\vec{DP}=\cfrac{1}{2}\vec{PQ}</math>;{{b4}}5) <math>\vec{EP}=2\vec{QP}</math>;{{b4}}6) <math>\vec{FP}=-\cfrac{1}{2}\vec{FQ}</math> | ||
+ | |||
+ | }} | ||
+ | }} | ||
+ | |||
===Ejercicios propuestos=== | ===Ejercicios propuestos=== | ||
{{ejercicio | {{ejercicio | ||
Línea 349: | Línea 470: | ||
==Traslaciones y homotecias== | ==Traslaciones y homotecias== | ||
{{Videotutoriales|titulo=Traslaciones y homotecias|enunciado= | {{Videotutoriales|titulo=Traslaciones y homotecias|enunciado= | ||
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+ | Advertencia: En este video cuando dice que suma un punto {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>P\;</math>}} con un vector {{sube|porcentaje=+50%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}</math>}}, en realidad lo que está haciendo es sumar dos vectores: {{sube|porcentaje=+50%|contenido=<math>\overrightarrow{OP}</math>}} y {{sube|porcentaje=+50%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}</math>}}, donde {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>O\;</math> es el origen de coordenadas}}. | ||
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|sinopsis=Siendo <math>\vec{u}</math> un vector libre, llamamos '''traslación''' de vector <math>\vec{u}</math> a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que las que las coordenadas del vector fijo <math>\vec{AA'}</math> coinciden con las de <math>\vec{u}</math>. Del punto A' se dice "trasladado" de A según la traslación de vector <math>\vec{u}</math>. | |sinopsis=Siendo <math>\vec{u}</math> un vector libre, llamamos '''traslación''' de vector <math>\vec{u}</math> a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que las que las coordenadas del vector fijo <math>\vec{AA'}</math> coinciden con las de <math>\vec{u}</math>. Del punto A' se dice "trasladado" de A según la traslación de vector <math>\vec{u}</math>. | ||
Obvio: si <math>u = (u_1,u_2)</math> y <math>A = (a_1,a_2)</math>, es A' = (a_1+u_1,u_2+u_2). | Obvio: si <math>u = (u_1,u_2)</math> y <math>A = (a_1,a_2)</math>, es A' = (a_1+u_1,u_2+u_2). | ||
Línea 361: | Línea 490: | ||
|titulo1=2 ejercicios | |titulo1=2 ejercicios | ||
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Obvio: si<math> \vec{u} = (u_1,u_2)</math> y <math>A = (a_1,a_2)</math>, es <math>A' = (a_1+u_1,u_2+u_2)</math>. | Obvio: si<math> \vec{u} = (u_1,u_2)</math> y <math>A = (a_1,a_2)</math>, es <math>A' = (a_1+u_1,u_2+u_2)</math>. | ||
Línea 372: | Línea 501: | ||
|titulo1=Suma de vectores como composición de traslaciones | |titulo1=Suma de vectores como composición de traslaciones | ||
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*Suma de vectores: método del paralelogramo. | *Suma de vectores: método del paralelogramo. | ||
Línea 383: | Línea 512: | ||
|titulo1=Homotecias | |titulo1=Homotecias | ||
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*Llamamos '''homotecia''' de centro en el punto "P" y razón "k" a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que el vector fijo <math>\vec{PA'}</math> es el producto del número real "k" por el vector fijo <math>\vec{PA'}</math>. | *Llamamos '''homotecia''' de centro en el punto "P" y razón "k" a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que el vector fijo <math>\vec{PA'}</math> es el producto del número real "k" por el vector fijo <math>\vec{PA'}</math>. | ||
Línea 393: | Línea 522: | ||
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- | ==Operaciones con vectores== | ||
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- | |sinopsis=En éste video jugamos con vectores colineales. | ||
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- | |sinopsis=En este video jugamos con la suma de vectores y con el producto escalar de vectores. | ||
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Tabla de contenidos |
(Pág. 188)
Sistema de referencia en el plano
Un sistema de referencia del plano consiste en una terna En este sistema de referencia, cada punto Si el vector Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia ortonormal, que es aquel en el que la base es ortonormal. |
En esta escena podrás ver como se obtienen las coordenadas de un punto respecto de un sistema de referencia del plano a partir de su vector de posición.
Coordenadas del vector que une dos puntos
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Vector que une dos puntos del plano. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Cómo calcular un vector entre dos puntos
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Vector que une dos puntos del plano. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Siendo P = (x0,y0) y Q = (x1,y1) puntos del plano, en este vídeo definimos el concepto de "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q). Visualizamos dicho vector fijo mediante una "flecha" que tiene origen en "P" y extremo en "Q". El vector fijo asociado al par (Q,P) se dice "opuesto" del asociado al par (P,Q). En términos matemáticos, el vector fijo asociado al par ordenado (P,Q) queda identificado mediante el par ordenado de números reales (x1 − x0,y1 − y0), que se obtiene al restar las coordenadas del punto "P" a las coordenadas del punto "Q". De dicho par (x1 − x0,y1 − y0) se dice que son las coordenadas del vector fijo.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Estudio del signo de las coordenadas de un vector según la posición del origen A y el extremo B del vector.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Calcula las componentes de los vectores ,
y
, siendo A=(4,1), B=(-3,0) y C=(5,-2).
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Calcula el vector y dibújalo anclado al origen, siendo A=(-1,1) y B=(3,2).
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Dados los puntos A(8,-2) y B(-3,-4), determina su módulo y su dirección (ángulo con los ejes).
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Siendo y
puntos del plano, las coordenadas del "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q) son:
![\vec{PQ} = (x_1 - x_0 ; y_1 - y_0)](/wikipedia/images/math/c/b/8/cb8af2ebf735c7841c4daaeb65fdc3e9.png)
En este vídeo nos dan las coordenadas del vector fijo y las del punto "P" (punto "Q"), pidiéndonos que determinemos las coordenadas del punto "Q" (punto "P").
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás calcular las coordenadas del vector que une dos puntos del plano.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre coordenadas del vector que une dos puntos.
Vectores equipolentes
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Dos vectores fijos se dicen "equipolentes" si tienen el mismo módulo, dirección y sentido o, equivalentemente, si tienen las mismas coordenadas.
- Si el vector fijo asociado al par (M,N) es equipolente al vector fijo asociado al par (S,T), los segmentos MT y NS tienen el mismo punto medio, y si los puntos "M", "N", "S" y "T" nos están alineados, el polígono cuyos vértices son esos puntos es un paralelogramo.
- Se llama "vector libre" al CONJUNTO formado por un vector fijo y todos los equipolentes a él.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Conocidos 3 puntos del plano hallar un cuarto punto tal que forme con los otros tres un paralelogramo.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como vectores equipolentes tienen las mismas coordenadas.
Condición para que tres puntos estén alineados
Condición para que tres puntos estén alineados
Los puntos del plano ,
y
, están alineados si
y
son vectores paralelos, es decir, si sus coordenadas son proporcionales:
![\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}](/wikipedia/images/math/d/2/9/d299259c601a66db8f7eab63c4db29d5.png)
Los puntos del plano ,
y
, están alineados si los vectores
y
tienen la misma dirección.
Ahora, esto ocurre si los vectores son proporcionales:
![\lambda \,](/wikipedia/images/math/0/7/1/07110254746dcae91bc441539c119e0e.png)
Comprueba que los puntos A(2,-1), B(6,1) y C(8,2) están alineados.
Solución:
Para que están alineados los vectores y
deben ser paralelos, es decir, sus coordenadas deben ser proporcionales:
Están alineados.
Ejercicio resuelto
Averigua el valor de "m" para que P(1,4), Q(5,-2) y R(6,m) estén alineados.
Para que se cumpla lo que piden y
deben ser paralelos, es decir, sus coordenadas deben ser proporcionales.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Cómo averiguar si tres puntos están alineados
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Producto de un escalar por un vector
- Propiedades
- Vectores colineales
- Condición para que tres puntos estén alineados
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre condiciones para que tres puntos estén alineados y división de un segmento en tres partes iguales.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Puntos y vectores en el plano |
Punto medio de un segmento
Punto medio de un segmento Las coordenadas del punto medio,
![]() Demostración: Sea
![]() Calcular el punto medio entre dos puntos ![]() Obtención de la fórmula del punto medio de un segmento AB. Ejemplos ![]() Este vídeo explica como se calcula las coordenadas del punto medio de un segmento y lo ilustra con un ejemplo. ![]() Halla el punto medio del segmento de extremos (-17,3) y (5,-29). ![]() Halla el punto medio del segmento de extremos A(-2,-4) y B(4,-2). ![]() Halla el punto medio del segmento de extremos A(-2,3/4) y B(1/6,3). ![]() Halla el punto medio del segmento de extremos A(3.5,3/2) y B(5.3,7/5). ![]() En este video aprendemos a determinar los puntos que dividen un segmento dado en tres partes iguales. ![]() Ejercicios de autoevaluación sobre el cálculo del punto medio de un segmento. |
Simétrico de un punto respecto de otro
Para calcular el punto simétrico de un punto respecto de otro, utilizaremos la anterior fórmula del punto medio, tomando como datos los puntos A y M y como incógnita el punto B. Luego despejaremos de las ecuaciones resultantes las coordenadas del punto B.
También podemos hacer uso de la siguiente fórmula:
Ejercicios resueltos
1. Halla el simétrico, A', del punto A(7,4) respecto de P(3,-11).
2. Dados los puntos M(7,4) y N(-2,1), halla un punto P en el segmento MN tal que la distancia de M a P sea la mitad de la distancia de P a N.
Soluciones:
1. A'(-1,-26)
2. P(4,3)![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
- a) Calcular el simétrico del punto A(1,6) respecto del punto B(4,3).
- b) Calcular el simétrico del punto B respecto de A.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre puntos simétricos.
Ejercicios
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Si A, B y C son los tres vértices de un triángulo, calcula .
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Sea C un punto sobre el segmento AB tal que la distancia de C a B es el doble que la distancia de C a A. Sean ,
y
, donde O es el origen. Demostrar que
.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Haciendo uso de vectores, demuestra que el segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado, y tiene la mitad de su longitud.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Haciendo uso de vectores, demuestra que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
En éste video veremos 6 ejercicios en los que jugaremos con vectores colineales.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
En éste video veremos 6 ejercicios en los que jugaremos con la suma de vectores y con el producto escalar de vectores:
Sean los puntos A(2,3), B(-1,4), C(0,3) y D(k,6). Determina "k" en cada uno de los siguientes casos:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
Además de estos cuatro ejercicios hay otros dos que ilustran lo que "no puede ser", y que podrás ver al final del video.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Si , posicione los puntos A, B, C, D, E y F en cada uno de los siguientes casos:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
; 5)
; 6)
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Puntos y vectores el plano |
Traslaciones y homotecias
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Traslación de un punto mediante un vector.
Advertencia: En este video cuando dice que suma un punto con un vector
, en realidad lo que está haciendo es sumar dos vectores:
y
, donde
es el origen de coordenadas.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Siendo un vector libre, llamamos traslación de vector
a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que las que las coordenadas del vector fijo
coinciden con las de
. Del punto A' se dice "trasladado" de A según la traslación de vector
.
Obvio: si u = (u1,u2) y A = (a1,a2), es A' = (a_1+u_1,u_2+u_2).
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Siendo un vector libre, llamamos traslación de vector
a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que las coordenadas del vector fijo
coinciden con las de
. Del punto A' se dice "trasladado" de A según la traslación de vector
.
Obvio: si
y A = (a1,a2), es A' = (a1 + u1,u2 + u2).
Pueden jugar a darte y A y pedirte A', o darte
y A' y pedirte A, o darte A y A' y pedirte
.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Suma de vectores: método del paralelogramo.
- Coordenadas del vector suma.
- Propiedades de la suma de vectores.
- Suma de vectores como composición de traslaciones.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Llamamos homotecia de centro en el punto "P" y razón "k" a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que el vector fijo
es el producto del número real "k" por el vector fijo
.
El punto A' se dice homotético del punto A. Los puntos P, A y A' están alineados.
- La homotecia se dice directa si k>0, y se dice inversa si k<0.