Lugares geométricos (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Revisión actual

Menú:

Enlaces internos	Para repasar o ampliar	Enlaces externos
Indice Descartes Manual Casio		WIRIS Geogebra Calculadoras

Tabla de contenidos

1 Lugar geométrico
2 Mediatriz de un segmento
3 Bisectriz del ángulo entre dos rectas
4 Circunferencia
5 Ejercicios propuestos

(Pág. 216)

[editar]

Lugar geométrico

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.

Vamos a estudiar a continuación algunos lugares geométricos como la mediatriz de un segmento o la bisectriz de un ángulo. En cada caso buscaremos una ecuación que describa a dicho lugar geométrico.

[editar]

Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus extremos.

Así, dado el segmento $\overline{AB}$ , su mediatriz está formada por los puntos $P\,$ del siguiente conjunto:

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}$

Mediatriz de un segmento Descripción:

En esta escena podrás ver como construye la mediatriz de un segmento.

Fig. 1: En rojo, la mediatriz de un segmento AB.

Propiedad

La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Demostración:

Para hallar la ecuación de la mediatriz AB, siendo $A=(x_a,y_a)\;$ y $B=(x_b,y_b)\;$ tenemos que hallar la ecuación del lugar geométrico

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}$

Para ello escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos:

$d(P,A)=d(P,B) \;$

$\sqrt{(x-x_a)^2+(y-y_a)^2}=\sqrt{(x-x_b)^2+(y-y_b)^2}$

Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los binomios y simplificando, comprueba que queda la ecuación:

$2(x_b-x_a)x+2(y_b-y_a)y+(x_a^2+y_a^2-x_b^2-y_b^2)=0$

Por tanto, la ecuación de la mediatriz del segmento AB es la ecuación de una recta.

Faltaría ver que es perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio.

Ejemplo: Mediatriz de un segmento

Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos $A(-3,4)\,$ y $B(1,0)\,$ y represéntala gráficamente.

Solución:

Para hallar la ecuación del lugar geométrico

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}$

escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos:

$d(P,A)=d(P,B)\;$

$\sqrt{(x+3)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$

Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los binomios y simplificando, comprueba que queda la ecuación:

$y=x+3\,$

Por tanto, la mediatriz del segmento es una recta.

Representación gráfica de la mediatriz Descripción:

En esta escena podrás representar la mediatriz del segmento. Tan sólo tendrás que mover los extremos del segmento para hacerlos coincidir con los del enunciado.

Mediatriz de un segmento

Ejemplo 1 (6'49") Sinopsis:

Otra forma de calcular la mediatriz de un segmento cuyos extremos son dados.

Ejemplo 2 (3'35") Sinopsis:

Otra forma de calcular la mediatriz de un segmento cuyos extremos son dados.

[editar]

Bisectriz del ángulo entre dos rectas

La bisectriz de un ángulo que forman las rectas es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus lados.

Así, la bisectriz del ángulo que forman dos rectas, $r\,$ y $s\,$ , está formada por los puntos $P\,$ del siguiente conjunto:

$\big \{P(x,y) \ / \ d(P,r)=d(P,s)\big \}$

Por como se ha definido la bisectriz, ésta divide al ángulo que forman las rectas en dos ángulos iguales. Además, como dos rectas determinan dos parejas de ángulos iguales, todo par de rectas determinan dos bisectrices.

Bisectriz del ángulo entre dos rectas Descripción:

En esta escena podrás ver las bisectrices de los ángulos entre dos rectas.

Propiedad

Las bisectrices del ángulo entre dos rectas son un par de rectas perpendiculares.

Fig. 2: Las dos rectas de color rojo son las bisectrices de los ángulos que forman rectas r y s. Fíjate como forman un ángulo recto.

Ejemplo: Bisectriz del ángulo entre dos rectas

Halla las ecuaciones de las bisectrices del ángulo que forman las rectas $r: \, 11x+2y-20=0$ y $s: \, 2x+11y+7=0$ , y la represéntalas gráficamente.

Solución:

Para hallar la ecuación del lugar geométrico

$\big \{P(x,y) \, , \; d(P,r)=d(P,s) \big \}$

escribiremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta:

$d(P,r)=d(P,s)\;$

$\cfrac{|11x+2y-20|}{\sqrt{11^2+2^2}}=\cfrac{|2x+11y+7|}{\sqrt{2^2+11^2}}$

De aquí salen dos ecuaciones, ya que si $|A|=|B|\,$ , se puede dar que $A=B\,$ o que $A=-B\,$

Así, las dos ecuaciones resultantes son:

$11x+2y-20=2x+11y+7 \quad \rightarrow \; x-y-3=0$

o bien

$11x+2y-20=-2x-11y-7 \quad \rightarrow \; x+y-1=0$

Por tanto, dos rectas, al determinar dos ángulos, dan lugar a dos bisectrices, que son rectas perpendiculares. En la siguiente escena tienes representadas en rojo la segunda y en gris la primera.

Click aquí si no se ve bien la escena

Bisectrices de los ángulos entre dos rectas

Tutorial (5´29") Sinopsis:

Las bisectrices de los ángulos determinados por dos rectas están formadas por los puntos que equidistan de ambas rectas.

Ejercicio 1 (7´50") Sinopsis:

Determina la bisectriz del ángulo entre dos rectas dadas en ecuaciones generales.

Ejercicio 2 (Incentro de un triángulo) (9´37") Sinopsis:

Determinamos el "incentro" de un triángulo de vértices conocidos. Cae millones de veces todos los años en examen. No es admisible dejarlo escapar.

[editar]

Circunferencia

La circunferencia de centro $O\,$ y radio $r\,$ , es el lugar geométrico de los puntos $P\,$ , del plano, cuya distancia al centro es $r\,$ .

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,O)=r \big \}$

Trazado de la circunferencia Descripción:

En esta escena podrás ver como se dibuja una circunferencia.

Circunferencia de centro O y radio r.

[editar]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Lugares geométricos

(Pág. 217)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Lugares_geom%C3%A9tricos_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 |enlaces=
 }}
+__TOC__
 {{p}}
+(Pág. 216)
 ==Lugar geométrico==
-{{Caja_Amarilla|texto= Se llama '''lugar geométrico''' a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.
+{{lugar geométrico}}
-}}
 {{p}}
 Vamos a estudiar a continuación algunos lugares geométricos como la mediatriz de un segmento o la bisectriz de un ángulo. En cada caso buscaremos una ecuación que describa a dicho lugar geométrico.
 {{p}}
 ==Mediatriz de un segmento==
-{{Caja_Amarilla|texto= La '''mediatriz de un segmento''' <math>\overline{AB}</math>, es el lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math>, que equidistan de los extremos <math>A\,</math> y <math>B\,</math>.
+{{mediatriz de un segmento}}
-{{Caja|contenido=<math>d(P,A)=d(P,B)</math>}}
-}}
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Mediatriz de un segmento''|cuerpo=
+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Mediatriz de un segmento''|enunciado=
-{{ai_cuerpo
+Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos <math>A(-3,4)\,</math> y <math>B(1,0)\,</math> y represéntala gráficamente.
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena hallaremos la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos <math>A(-3,4)\,</math> y <math>B(1,0)\,</math> y la representaremos gráficamente.
+|sol=Para hallar la ecuación del lugar geométrico
-|actividad=Para hallar la ecuación del lugar geométrico
-<center><math>\big \{P(x,y) \, , \; d(P,A)=d(P,B) \big \}</math></center>
+<center><math>\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}</math></center>
 escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos:
+<center><math>d(P,A)=d(P,B)\;</math></center>
+{{p}}
 <center><math>\sqrt{(x+3)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}</math></center>
 Por tanto, la mediatriz del segmento es una recta.
+{{p}}
-<center><iframe>
+{{Geogebra_enlace
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_8_1.html
+|descripcion=En esta escena podrás representar la mediatriz del segmento. Tan sólo tendrás que mover los extremos del segmento para hacerlos coincidir con los del enunciado.
-width=500
+|enlace=[https://ggbm.at/wAKetmpw Representación gráfica de la mediatriz]
-height=400
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_8_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-En esta escena puedes obtener la mediatriz de cualquier segmento. Para ello mueve los extremos '''A''' y '''B''', o bien modifica las coordenadas manualmente.
 }}
 }}
 {{p}}
+{{Videotutoriales|titulo=Mediatriz de un segmento|enunciado=
-==Bisectriz de un ángulo==
+{{Video_enlace_unicoos
-{{Caja_Amarilla|texto= La '''bisectriz de un ángulo''' de lados <math>r\,</math> y <math>s\,</math>, es el lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math>, que equidistan de los lados <math>r\,</math> y <math>s\,</math>.
+|titulo1=Ejemplo 1
+|duracion=6'49"
-{{Caja|contenido=<math>d(X,r)=d(X,s)</math>}}
+|sinopsis=Otra forma de calcular la mediatriz de un segmento cuyos extremos son dados.
+|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/geometria-analitica/puntos-notables-de-un-triangulo/mediatriz-de-un-segmento
+}}
+{{Video_enlace_miguematicas
+|titulo1=Ejemplo 2
+|duracion=3'35"
+|sinopsis=Otra forma de calcular la mediatriz de un segmento cuyos extremos son dados.
+|url1=http://youtu.be/WL8Q-_ghAcE
+}}
 }}
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Bisectriz de un ángulo''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
+==Bisectriz del ángulo entre dos rectas==
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena hallaremos la ecuación de la bisectriz del ángulo que forman las rectas <math>r: \, 11x+2y-20=0</math> y <math>s: \, 2x+11y+7=0</math>, y la representaremos gráficamente.
+{{bisectriz del ángulo}}
-|actividad=Para hallar la ecuación del lugar geométrico
+{{p}}
+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Bisectriz del ángulo entre dos rectas''|enunciado=Halla las ecuaciones de las bisectrices del ángulo que forman las rectas <math>r: \, 11x+2y-20=0</math> y <math>s: \, 2x+11y+7=0</math>, y la represéntalas gráficamente.
+|sol=Para hallar la ecuación del lugar geométrico
 <center><math>\big \{P(x,y) \, , \; d(P,r)=d(P,s) \big \}</math></center>
 escribiremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta:
+<center><math>d(P,r)=d(P,s)\;</math></center>
+{{p}}
 <center><math>\cfrac{|11x+2y-20|}{\sqrt{11^2+2^2}}=\cfrac{|2x+11y+7|}{\sqrt{2^2+11^2}}</math></center>
 <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_8_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
+}}
+{{p}}
+{{Videotutoriales|titulo=Bisectrices de los ángulos entre dos rectas|enunciado=
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Tutorial
+|duracion=5´29"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=qSp1eTNZOB4&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=40
+|sinopsis=Las bisectrices de los ángulos determinados por dos rectas están formadas por los puntos que equidistan de ambas rectas.
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 1
+|duracion=7´50"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=iVtbPOfqrr8&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=41
+|sinopsis=Determina la bisectriz del ángulo entre dos rectas dadas en ecuaciones generales.
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 2 (Incentro de un triángulo)
+|duracion=9´37"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=6ZQ7Z2nb9e4&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=42
+|sinopsis=Determinamos el "incentro" de un triángulo de vértices conocidos.
+Cae millones de veces todos los años en examen. No es admisible dejarlo escapar.
 }}
 }}
 {{p}}
+==Circunferencia==
+{{circunferencia}}
+{{p}}
+==Ejercicios propuestos==
+{{ejercicio
+|titulo=Ejercicios propuestos: ''Lugares geométricos''
+|cuerpo=
+(Pág. 217)
+[[Imagen:red_star.png|12px]] 1
+}}
+{{p}}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

Lugares geométricos (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión actual

Tabla de contenidos

Lugar geométrico

Mediatriz de un segmento

Bisectriz del ángulo entre dos rectas

Circunferencia

Ejercicios propuestos

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas