Lugares geométricos (1ºBach)

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Vamos a estudiar a continuación algunos lugares geométricos como la mediatriz de un segmento o la bisectriz de un ángulo. En cada caso buscaremos una ecuación que describa a dicho lugar geométrico. Vamos a estudiar a continuación algunos lugares geométricos como la mediatriz de un segmento o la bisectriz de un ángulo. En cada caso buscaremos una ecuación que describa a dicho lugar geométrico.
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-En esta escena puedes obtener la mediatriz de cualquier segmento. Para ello mueve los extremos '''A''' y '''B''', o bien modifica las coordenadas manualmente.+
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-Por como se ha definido la bisectriz, ésta divide al ángulo que forman las rectas en dos ángulos iguales. Además, como dos rectas determinan dos parejas de ángulos iguales, en realidad hay dos bisectrices. 
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escribiremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta: escribiremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta:
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|sinopsis=Determinamos el "incentro" de un triángulo de vértices conocidos. |sinopsis=Determinamos el "incentro" de un triángulo de vértices conocidos.
Cae millones de veces todos los años en examen. No es admisible dejarlo escapar. Cae millones de veces todos los años en examen. No es admisible dejarlo escapar.
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Tabla de contenidos

(Pág. 216)

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Lugar geométrico

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.

Vamos a estudiar a continuación algunos lugares geométricos como la mediatriz de un segmento o la bisectriz de un ángulo. En cada caso buscaremos una ecuación que describa a dicho lugar geométrico.

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Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus extremos.

Así, dado el segmento \overline{AB}, su mediatriz está formada por los puntos P\, del siguiente conjunto:

\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}

Mediatriz de un segmento     Descripción:

En esta escena podrás ver como construye la mediatriz de un segmento.

Fig. 1: En rojo, la mediatriz de un segmento AB.
Aumentar
Fig. 1: En rojo, la mediatriz de un segmento AB.

ejercicio

Propiedad

La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Demostración:

Para hallar la ecuación de la mediatriz AB, siendo A=(x_a,y_a)\; y B=(x_b,y_b)\; tenemos que hallar la ecuación del lugar geométrico

\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}

Para ello escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos:

d(P,A)=d(P,B) \;

\sqrt{(x-x_a)^2+(y-y_a)^2}=\sqrt{(x-x_b)^2+(y-y_b)^2}

Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los binomios y simplificando, comprueba que queda la ecuación:

2(x_b-x_a)x+2(y_b-y_a)y+(x_a^2+y_a^2-x_b^2-y_b^2)=0

Por tanto, la ecuación de la mediatriz del segmento AB es la ecuación de una recta.

Faltaría ver que es perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio.

ejercicio

Ejemplo: Mediatriz de un segmento

Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(-3,4)\, y B(1,0)\, y represéntala gráficamente.

Solución:

Para hallar la ecuación del lugar geométrico

\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}

escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos:

d(P,A)=d(P,B)\;

\sqrt{(x+3)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}

Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los binomios y simplificando, comprueba que queda la ecuación:

y=x+3\,

Por tanto, la mediatriz del segmento es una recta.

Representación gráfica de la mediatriz     Descripción:

En esta escena podrás representar la mediatriz del segmento. Tan sólo tendrás que mover los extremos del segmento para hacerlos coincidir con los del enunciado.

video
Mediatriz de un segmento
Ejemplo 1 (6'49")     Sinopsis:

Otra forma de calcular la mediatriz de un segmento cuyos extremos son dados.

Ejemplo 2 (3'35")     Sinopsis:

Otra forma de calcular la mediatriz de un segmento cuyos extremos son dados.

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Bisectriz del ángulo entre dos rectas

La bisectriz de un ángulo que forman las rectas es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus lados.

Así, la bisectriz del ángulo que forman dos rectas, r\, y s\,, está formada por los puntos P\, del siguiente conjunto:

\big \{P(x,y) \ / \ d(P,r)=d(P,s)\big \}

Por como se ha definido la bisectriz, ésta divide al ángulo que forman las rectas en dos ángulos iguales. Además, como dos rectas determinan dos parejas de ángulos iguales, todo par de rectas determinan dos bisectrices.

Bisectriz del ángulo entre dos rectas     Descripción:

En esta escena podrás ver las bisectrices de los ángulos entre dos rectas.

ejercicio

Propiedad

Las bisectrices del ángulo entre dos rectas son un par de rectas perpendiculares.

Fig. 2: Las dos rectas de color rojo son las bisectrices de los ángulos que forman rectas r y s. Fíjate como forman un ángulo recto.
Aumentar
Fig. 2: Las dos rectas de color rojo son las bisectrices de los ángulos que forman rectas r y s. Fíjate como forman un ángulo recto.

ejercicio

Ejemplo: Bisectriz del ángulo entre dos rectas

Halla las ecuaciones de las bisectrices del ángulo que forman las rectas r: \, 11x+2y-20=0 y s: \, 2x+11y+7=0, y la represéntalas gráficamente.

Solución:

Para hallar la ecuación del lugar geométrico

\big \{P(x,y) \, , \; d(P,r)=d(P,s) \big \}

escribiremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta:

d(P,r)=d(P,s)\;

\cfrac{|11x+2y-20|}{\sqrt{11^2+2^2}}=\cfrac{|2x+11y+7|}{\sqrt{2^2+11^2}}

De aquí salen dos ecuaciones, ya que si |A|=|B|\,, se puede dar que A=B\, o que A=-B\,

Así, las dos ecuaciones resultantes son:

11x+2y-20=2x+11y+7 \quad \rightarrow \; x-y-3=0

o bien

11x+2y-20=-2x-11y-7 \quad \rightarrow \; x+y-1=0

Por tanto, dos rectas, al determinar dos ángulos, dan lugar a dos bisectrices, que son rectas perpendiculares. En la siguiente escena tienes representadas en rojo la segunda y en gris la primera.


Click aquí si no se ve bien la escena

video
Bisectrices de los ángulos entre dos rectas
Tutorial (5´29")     Sinopsis:

Las bisectrices de los ángulos determinados por dos rectas están formadas por los puntos que equidistan de ambas rectas.

Ejercicio 1 (7´50")     Sinopsis:

Determina la bisectriz del ángulo entre dos rectas dadas en ecuaciones generales.

Ejercicio 2 (Incentro de un triángulo) (9´37")     Sinopsis:

Determinamos el "incentro" de un triángulo de vértices conocidos. Cae millones de veces todos los años en examen. No es admisible dejarlo escapar.

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Circunferencia

La circunferencia de centro O\, y radio r\,, es el lugar geométrico de los puntos P\,, del plano, cuya distancia al centro es r\,.

\big \{P(x,y) \, / \; d(P,O)=r \big \}

Trazado de la circunferencia     Descripción:

En esta escena podrás ver como se dibuja una circunferencia.

Circunferencia de centro O y radio r.
Aumentar
Circunferencia de centro O y radio r.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Lugares geométricos

(Pág. 217)

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