Plantilla:Cálculo de límites en el infinito (1ºBach)

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Revisión de 06:36 19 mar 2020

Tabla de contenidos

[esconder]

Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

  • Decimos que "x\; tiende a + infinito" (x \rightarrow + \infty) cuando x\; toma valores positivos tan grandes como queramos.
  • Decimos que "x\; tiende a - infinito" (x \rightarrow - \infty) cuando x\; toma valores negativos tan pequeños como queramos.
  • A veces te podrás encontrar también la expresión "x\; tiende a infinito" (x \rightarrow \infty) cuando x\; tiende, indistintamente, a + \infty o a - \infty, aunque también hay quien la usa en lugar de x \rightarrow + \infty.

Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a + \infty (o a - \infty) son los siguientes:

  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=L \in \mathbb{R} si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan proximos a L\; como se quiera.
En este caso se dice que la recta y=L\; es una asíntota horizontal (A.H.) de la función.

En estas tres definiciones se puede cambiar x \to +\infty por x \to -\infty para obtener otras tres definiciones análogas.

ejercicio

Ejemplo: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en + \infty y - \infty, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.

a) f(x)= \cfrac{1}{x}        b) f(x)= x^3\;        c) f(x)= 2^x\;        d) f(x)= log \, x        e) f(x)= sen \, x

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

(Pág. 282)

1

Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

ejercicio

Proposición

Sea P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\; una función polinómica en la variable x, de grado n.

Se cumple que:

  • \lim_{x \to + \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \end{cases}
  • \lim_{x \to - \infty} P(x)= \lim_{x \to - \infty} a_nx^n = \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par} \\ +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es impar} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es par} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es impar} \end{cases}

Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).

Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

ejercicio

Proposición

Sea P(x)\; una función polinómica en la variable x. Se cumple que:

  • \lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0        (lo mismo si x \to - \infty)

Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito

ejercicio

Proposición

Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:

\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;

Se cumple que:

\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}         (análogamente si x \to - \infty)

Se pueden dar los siguientes casos:

  • grado(P) > grado(Q): tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser + \infty ó - \infty.
  • grado(P ) = grado(Q): tras simplificar la fracción queda una constante, \cfrac{a_n}{b_n}, que es el valor del límite.
  • grado(P) < grado(Q): tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.

Ejercicios

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Cálculo de límites cuando x tiende a (+/-) infinito

(Pág. 283-284)

1, 4, 5

2, 3

(Pág. 285)

1, 2

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