Plantilla:Regla de LHopital

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Si al calcular <math>\lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)} </math> se presenta una indeterminación del tipo <math>\cfrac{0}{0}</math> ó <math>\cfrac{\infty}{\infty}</math>, y <math>\lim_{x \to a} \cfrac{f'(x)}{g'(x)}=l \, ; \ (l \in \mathbb{R})</math>, entonces <math>\lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)}=l </math>. Si al calcular <math>\lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)} </math> se presenta una indeterminación del tipo <math>\cfrac{0}{0}</math> ó <math>\cfrac{\infty}{\infty}</math>, y <math>\lim_{x \to a} \cfrac{f'(x)}{g'(x)}=l \, ; \ (l \in \mathbb{R})</math>, entonces <math>\lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)}=l </math>.
Esto también es cierto si <math>x \to +\infty</math> o <math>x \to -\infty</math>. Esto también es cierto si <math>x \to +\infty</math> o <math>x \to -\infty</math>.
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Revisión actual

ejercicio

Regla de L'Hôpital

Si al calcular \lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)} se presenta una indeterminación del tipo \cfrac{0}{0} ó \cfrac{\infty}{\infty}, y \lim_{x \to a} \cfrac{f'(x)}{g'(x)}=l \, ; \ (l \in \mathbb{R}), entonces \lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)}=l.

Esto también es cierto si x \to +\infty o x \to -\infty.

Demostración:
Demostración (16'32")     Sinopsis:
  • Demostración de la regla de l'Hopital para el caso de indeterminación 0/0.
  • Ejemplos de aplicación de la regla.
  • Ejemplos en los que no se puede aplicar la regla por no verificarse las condiciones.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Regla de L'Hôpital

Calcula:

a)\lim_{x \to 3} \cfrac{x^3-5x-12}{x^2+3x-18}
b)\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3}{2^x}
c)\lim_{x \to 0} \cfrac{sen \, x}{x}
Solución:

a) \lim_{x \to 3} \cfrac{x^3-5x-12}{x^2+3x-18} = ind. \left( \cfrac{0}{0} \right)

Aplicando la regla de L'Hôpital:

\lim_{x \to 3} \cfrac{x^3-5x-12}{x^2+3x-18} = \lim_{x \to 3} \cfrac{3x^2-5}{2x+3}=\cfrac{22}{9}

b) \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3}{2^x} = ind. \left( \cfrac{\infty}{\infty} \right)

Aplicando la regla de L'Hôpital:

\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3}{2^x} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x^2}{2^x \, ln \, 2}=ind. \left( \cfrac{\infty}{\infty} \right)

Aplicando la regla de L'Hôpital otra vez:

\lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x^2}{2^x \, ln \, 2} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x}{2^x \, (ln \, 2)^2}=ind. \left( \cfrac{\infty}{\infty} \right)

Y aplicando la regla de L'Hôpital una vez más:

\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x}{2^x \, (ln \, 2)^2} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6}{2^x \, (ln \, 2)^3}=0

c)\lim_{x \to 0} \cfrac{sen \, x}{x} = \cfrac{sen \, 0}{0} = ind. \left( \cfrac{0}{0} \right)

Aplicando la regla de L'Hôpital:

\lim_{x \to 0} \cfrac{sen \, x}{x} = \lim_{x \to 0} \cfrac{cos \, x}{1} =\cfrac{cos \, 0}{1} = 1

video
Regla de L'Hôpital
Tutorial 1 (11'41")     Sinopsis:

Regla de l'Hopital para los casos de indeterminación básicos. Ejemplos.

Tutorial 2 (17'28")     Sinopsis:

Regla de l'Hopital para todos los casos de indeterminación. Ejemplos.

Ejercicio 1a (3'14")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 1} \cfrac{1-x^2}{sen\,(\pi x)}

Ejercicio 1b (5'22")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{n \to +\infty} \left( n \cdot sen\, \cfrac{\pi}{n} \right)

Ejercicio 1c (3'26")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 0} \cfrac{ln(1+6x)}{x}

Ejercicio 1d (2'35")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x^2+4x}{e^x+2}

Ejercicio 2a (8'14")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 3} \cfrac{\sqrt{x^2-5}}{x-3}

Ejercicio 2b (12'07")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 0} \cfrac{x-sen \, x}{2x^3}

Ejercicio 2c (9'53")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to -1} \cfrac{x^2+2x+1}{x^4-1}

Ejercicio 3 (11'07")     Sinopsis:

Regla de l'Hopital. Ejemplos en los que hay que aplicarla varias veces.

video
Límites trigonométricos
Ejercicio 1 (6'09")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 0} \cfrac{tg \, 10x}{x}

Ejercicio 2 (4'05")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{t \to 0} \cfrac{sen^3 \, t}{(2t)^3}

Ejercicio 3 (12'35")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cfrac{tg \, 2x}{x-\frac{\pi}{2}}

Ejercicio 4 (3'29")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 0} \cfrac{sen \, 5x}{2x}

Ejercicio 5 (5'34")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 0} \cfrac{tg \, x}{sen \, 4x}

Ejercicio 6 (8'40")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cfrac{\frac{\pi}{2}-x}{cos \, x}

Ejercicio 7 (5'55")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to \pi} \cfrac{sen \, x}{x- \pi}

Ejercicio 7 (7'23")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{t \to 0} \cfrac{tg \, 6t}{sen \, 2t}

Ejercicio 8 (5'46")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{\theta \to 0} \cfrac{sen \, \theta}{\theta + tg \, \theta}

Ejercicio 9 (9'29")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 0} \cfrac{tg \, 2x}{x+ sen \, x}

Ejercicio 10 (5'24")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 0} \cfrac{arcsen \, x}{x}

Ejercicio 11 (13'03")     Sinopsis:

Calcula: \lim_{x \to 0} \cfrac{arctg \, x}{x}

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Regla_de_LHopital"
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