Plantilla:Regla de LHopital

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Regla de L'Hôpital

Si al calcular $\lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)}$ se presenta una indeterminación del tipo $\cfrac{0}{0}$ ó $\cfrac{\infty}{\infty}$ , y $\lim_{x \to a} \cfrac{f'(x)}{g'(x)}=l \, ; \ (l \in \mathbb{R})$ , entonces $\lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)}=l$ .

Esto también es cierto si $x \to +\infty$ o $x \to -\infty$ .

Demostración:

Demostración (16'32") Sinopsis:

Demostración de la regla de l'Hopital para el caso de indeterminación 0/0.
Ejemplos de aplicación de la regla.
Ejemplos en los que no se puede aplicar la regla por no verificarse las condiciones.

Ejercicio resuelto: Regla de L'Hôpital

Calcula:

a) $\lim_{x \to 3} \cfrac{x^3-5x-12}{x^2+3x-18}$

b) $\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3}{2^x}$

c) $\lim_{x \to 0} \cfrac{sen \, x}{x}$

Solución:

a) $\lim_{x \to 3} \cfrac{x^3-5x-12}{x^2+3x-18} = ind. \left( \cfrac{0}{0} \right)$

Aplicando la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x \to 3} \cfrac{x^3-5x-12}{x^2+3x-18} = \lim_{x \to 3} \cfrac{3x^2-5}{2x+3}=\cfrac{22}{9}$

b) $\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3}{2^x} = ind. \left( \cfrac{\infty}{\infty} \right)$

Aplicando la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3}{2^x} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x^2}{2^x \, ln \, 2}=ind. \left( \cfrac{\infty}{\infty} \right)$

Aplicando la regla de L'Hôpital otra vez:

$\lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x^2}{2^x \, ln \, 2} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x}{2^x \, (ln \, 2)^2}=ind. \left( \cfrac{\infty}{\infty} \right)$

Y aplicando la regla de L'Hôpital una vez más:

$\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x}{2^x \, (ln \, 2)^2} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6}{2^x \, (ln \, 2)^3}=0$

c) $\lim_{x \to 0} \cfrac{sen \, x}{x} = \cfrac{sen \, 0}{0} = ind. \left( \cfrac{0}{0} \right)$

Aplicando la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x \to 0} \cfrac{sen \, x}{x} = \lim_{x \to 0} \cfrac{cos \, x}{1} =\cfrac{cos \, 0}{1} = 1$

Regla de L'Hôpital

Tutorial 1 (11'41") Sinopsis:

Regla de l'Hopital para los casos de indeterminación básicos. Ejemplos.

Tutorial 2 (17'28") Sinopsis:

Regla de l'Hopital para todos los casos de indeterminación. Ejemplos.

Ejercicio 1a (3'14") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 1} \cfrac{1-x^2}{sen\,(\pi x)}$

Ejercicio 1b (5'22") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{n \to +\infty} \left( n \cdot sen\, \cfrac{\pi}{n} \right)$

Ejercicio 1c (3'26") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 0} \cfrac{ln(1+6x)}{x}$

Ejercicio 1d (2'35") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x^2+4x}{e^x+2}$

Ejercicio 2a (8'14") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 3} \cfrac{\sqrt{x^2-5}}{x-3}$

Ejercicio 2b (12'07") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 0} \cfrac{x-sen \, x}{2x^3}$

Ejercicio 2c (9'53") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to -1} \cfrac{x^2+2x+1}{x^4-1}$

Ejercicio 3 (11'07") Sinopsis:

Regla de l'Hopital. Ejemplos en los que hay que aplicarla varias veces.

Límites trigonométricos

Ejercicio 1 (6'09") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 0} \cfrac{tg \, 10x}{x}$

Ejercicio 2 (4'05") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{t \to 0} \cfrac{sen^3 \, t}{(2t)^3}$

Ejercicio 3 (12'35") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cfrac{tg \, 2x}{x-\frac{\pi}{2}}$

Ejercicio 4 (3'29") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 0} \cfrac{sen \, 5x}{2x}$

Ejercicio 5 (5'34") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 0} \cfrac{tg \, x}{sen \, 4x}$

Ejercicio 6 (8'40") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cfrac{\frac{\pi}{2}-x}{cos \, x}$

Ejercicio 7 (5'55") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to \pi} \cfrac{sen \, x}{x- \pi}$

Ejercicio 7 (7'23") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{t \to 0} \cfrac{tg \, 6t}{sen \, 2t}$

Ejercicio 8 (5'46") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{\theta \to 0} \cfrac{sen \, \theta}{\theta + tg \, \theta}$

Ejercicio 9 (9'29") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 0} \cfrac{tg \, 2x}{x+ sen \, x}$

Ejercicio 10 (5'24") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 0} \cfrac{arcsen \, x}{x}$

Ejercicio 11 (13'03") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 0} \cfrac{arctg \, x}{x}$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Regla_de_LHopital"

 Esto también es cierto si <math>x \to +\infty</math> o <math>x \to -\infty</math>.
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