Plantilla:Límite de funciones a trozos
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<center><math>f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \mbox{si }x < a \\ f_2(x) & \mbox{si }x>a \end{cases}</math></center> | <center><math>f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \mbox{si }x < a \\ f_2(x) & \mbox{si }x>a \end{cases}</math></center> | ||
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+ | con <math>f_1(x)\;</math> y <math>f_2(x)\;</math> continuas. | ||
Para el estudio del <math>\lim_{x \to c} f(x)</math> consideraremos los siguientes casos: | Para el estudio del <math>\lim_{x \to c} f(x)</math> consideraremos los siguientes casos: | ||
- | # <math>c<a\;</math>: <math>\lim_{x \to c} f(x)=\lim_{x \to c} f_1(x)</math> | + | # Si <math>c<a\;</math>, entonces <math>\lim_{x \to c} f(x)=f_1(c)</math> |
- | # <math>c>a\;</math>: <math>\lim_{x \to c} f(x)=\lim_{x \to c} f_2(x)</math> | + | # Si <math>c>a\;</math>, entonces <math>\lim_{x \to c} f(x)=f_2(c)</math> |
- | # <math>c=a\;</math>: Es necesario calcular los límites laterales y si éstos coinciden existirá el límite. | + | # Si <math>c=a\;</math>, entonces es necesario calcular los límites laterales y si éstos coinciden existirá el límite. Para calcular los límites laterales procederemos como se indica a continuación: |
- | :::{{b4}} <math>\lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to a^-} f_1(x) </math> | + | :{{b4}} <math>\lim_{x \to a^-} f(x)=f_1(a) </math> |
- | :::{{b4}} <math>\lim_{x \to a^+} f(x)=\lim_{x \to a^+} f_2(x) </math> | + | :{{b4}} <math>\lim_{x \to a^+} f(x)=f_2(a) </math> |
+ | Entonces, si <math>f_1(a)=f_2(a)=k\;</math>, existirá el límite y será: <math>\lim_{x \to a} f(x)=k</math>. | ||
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- | {{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Límite de una función definida a trozos'' | + | {{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Límite de una función definida a trozos. Estudio de la continuidad'' |
|enunciado=Estudia la continuidad de la siguiente función: | |enunciado=Estudia la continuidad de la siguiente función: | ||
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+ | |sinopsis=Estudia la continuidad de la función: | ||
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+ | :<math>f(x) = \begin{cases} x-2 & \mbox{si }x < -1 \\ -3 & \mbox{si } -1 \le x \le 2 \\ 3+x & \mbox{si }2<x<4 \\ 7 & \mbox{si }x>4 \end{cases}</math> | ||
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+ | |sinopsis=Comprueba que la siguiente función tiene una discontinuidad evitable: | ||
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+ | |sinopsis=Comprueba que la siguiente función tiene una discontinuidad evitable: | ||
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+ | :<math>f(x) = \begin{cases} x^2+2 & \mbox{si }x \le 1 \\ -x^2+2x+2 & \mbox{si }x>1 \end{cases}</math> | ||
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+ | Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema. | ||
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+ | :<math>f(x) = \begin{cases} x^2+4x+2 & \mbox{si }x < -1 \\ x^3 & \mbox{si } -1<x \le 1 \\ 3x & \mbox{si }x>1 \end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema. | ||
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+ | :<math>f(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{si }x \le -2 \\ \cfrac{x}{2} & \mbox{si } -2<x<4 \\ \sqrt{x} & \mbox{si }x \ge 4 \end{cases}</math> | ||
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+ | {{p}} | ||
+ | {{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Límite de una función definida a trozos con parámetros. Estudio de la continuidad'' | ||
|enunciado=Halla el valor del parámetro "n" para que la función sea continua en toda la recta real: | |enunciado=Halla el valor del parámetro "n" para que la función sea continua en toda la recta real: | ||
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- | {{Videotutoriales|titulo=Ejercicios: ''Límite de una función definida a trozos''|enunciado= | + | {{Videotutoriales|titulo=Ejercicios: ''Límite de una función definida a trozos con parámetros. Estudio de la continuidad''|enunciado= |
- | {{Video_enlace_matesandres | + | {{Video_enlace_unicoos |
|titulo1=Ejercicio 1 | |titulo1=Ejercicio 1 | ||
- | |duracion=13'38" | + | |duracion=9'13" |
- | |sinopsis=Estudia la continuidad de la función: | + | |sinopsis=Averigua los valores de "a" y "b" para que la siguiente función sea continua. |
- | :<math>f(x) = \begin{cases} x^2+2 & \mbox{si }x \le 1 \\ -x^2+2x+2 & \mbox{si }x>1 \end{cases}</math> | + | :<math>f(x) = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x < 0 \\ ax+b & \mbox{si } 0 \le x < 1 \\ 2 & \mbox{si } x \ge1 \end{cases}</math> |
- | + | |url1=https://youtu.be/N4BG7SW6gZw | |
- | Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema. | + | |
- | |url1=https://youtu.be/Nk-tvz_0mmQ | + | |
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{{Video_enlace_matesandres | {{Video_enlace_matesandres | ||
- | |titulo1=Ejercicio 2 | + | |titulo1=Ejercicio 2a |
- | |duracion=13'38" | + | |duracion=17'24" |
- | |sinopsis=Estudia la continuidad de la función: | + | |sinopsis=Averigua los valores de "m" para que la siguiente función sea continua en x=1. |
- | :<math>f(x) = \begin{cases} x^2+4x+2 & \mbox{si }x < -1 \\ x^3 & \mbox{si } -1<x \le 1 \\ 3x & \mbox{si }x>1 \end{cases}</math> | + | :<math>f(x) = \begin{cases} 3-mx^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ \cfrac{2}{mx} & \mbox{si }x>1 \end{cases}</math> |
Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema. | Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema. | ||
- | |url1=https://youtu.be/ogvWHVAiwq8 | + | |url1=https://youtu.be/pZuqOolznKw |
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{{Video_enlace_matesandres | {{Video_enlace_matesandres | ||
- | |titulo1=Ejercicio 3 | + | |titulo1=Ejercicio 2b |
- | |duracion=13'38" | + | |duracion=13'04" |
- | |sinopsis=Estudia la continuidad de la función: | + | |sinopsis=Averigua los valores de "a" y "b" para que la siguiente función sea continua en x=1: |
- | :<math>f(x) = \begin{cases} 3-mx^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ \cfrac{2}{mx} & \mbox{si }x>1 \end{cases}</math> | + | :<math>f(x) = \begin{cases} x^2+\cfrac{a}{x}+be^{x-1} & \mbox{si }x \le 1 \\ \cfrac{2}{x+1} & \mbox{si }x>1 \end{cases}</math> |
Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema. | Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema. | ||
- | |url1=https://youtu.be/pZuqOolznKw | + | |url1=https://youtu.be/XlmUHL7opwY |
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{{Video_enlace_julioprofe | {{Video_enlace_julioprofe | ||
- | |titulo1=Ejercicio 4 | + | |titulo1=Ejercicio 3a |
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|sinopsis=Halla el valor de "h" para que la siguiente función se continua en el conjunto de los números reales: | |sinopsis=Halla el valor de "h" para que la siguiente función se continua en el conjunto de los números reales: | ||
Línea 137: | Línea 198: | ||
}} | }} | ||
{{Video_enlace_julioprofe | {{Video_enlace_julioprofe | ||
- | |titulo1=Ejercicio 5 | + | |titulo1=Ejercicio 3b |
|duracion=13'12" | |duracion=13'12" | ||
|sinopsis=Halla el valor de "a" y "b" para que la siguiente función se continua en el conjunto de los números reales: | |sinopsis=Halla el valor de "a" y "b" para que la siguiente función se continua en el conjunto de los números reales: | ||
Línea 145: | Línea 206: | ||
}} | }} | ||
{{Video_enlace_fonemato | {{Video_enlace_fonemato | ||
- | |titulo1=Ejercicio 6 | + | |titulo1=Ejercicio 4a |
|duracion=9'41" | |duracion=9'41" | ||
|sinopsis=Halla el valor de "a" y "b" para que las siguientes funciones sean continuas en el conjunto de los números reales: | |sinopsis=Halla el valor de "a" y "b" para que las siguientes funciones sean continuas en el conjunto de los números reales: | ||
Línea 154: | Línea 215: | ||
}} | }} | ||
{{Video_enlace_fonemato | {{Video_enlace_fonemato | ||
- | |titulo1=Ejercicio 7 | + | |titulo1=Ejercicio 4b |
|duracion=7'49" | |duracion=7'49" | ||
|sinopsis=Halla el valor de "a" y "b" para que la siguiente función sea continua en el conjunto de los números reales: | |sinopsis=Halla el valor de "a" y "b" para que la siguiente función sea continua en el conjunto de los números reales: |
Revisión actual
A continuación vamos a ver cómo se estudian los límites de una función definida a trozos. Por simplicidad supondremos que la función consta de sólo dos trozos, pero el procedimiento es extensible a funciones definidas en más de dos trozos.
Procedimiento
Consideremos la siguiente función definida a trozos:
![f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \mbox{si }x < a \\ f_2(x) & \mbox{si }x>a \end{cases}](/wikipedia/images/math/9/c/8/9c803247b9318b867984321ef52043c9.png)
con y
continuas.
Para el estudio del consideraremos los siguientes casos:
- Si
, entonces
- Si
, entonces
- Si
, entonces es necesario calcular los límites laterales y si éstos coinciden existirá el límite. Para calcular los límites laterales procederemos como se indica a continuación:
Entonces, si , existirá el límite y será:
.
Ejemplo: Límite de una función definida a trozos. Estudio de la continuidad
Estudia la continuidad de la siguiente función:
![y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ 2x+1 & \mbox{si }x>1 \end{cases}](/wikipedia/images/math/7/7/3/773513f50fdb7cd43eb1c89c48b2a059.png)
Veamos primero como es la función en cada trozo:
- Si
,
es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en
, en particular en
.
- Si
,
es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en
, en particular en
.
Falta estudiar la continuidad en .
Recordemos que una función es continua en
si
![\lim_{x \to c} f(x)=f(c)](/wikipedia/images/math/0/c/3/0c373e48d6df16de85d88509e28a8ba2.png)
o equivalentemente, si
![\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^-} f(x)=f(c)](/wikipedia/images/math/f/2/c/f2c0081f1c1fb17bfcacd5f60f43aa3b.png)
Calculemos los límites laterales y el valor de la función en :
.
Como , los límites laterales no coinciden y, por tanto, no existe el límite en
. En consecuencia, la función no es continua en
.
![](/wikipedia/images/thumb/1/12/Unicoos.jpg/22px-Unicoos.jpg)
Estudia la continuidad de la función:
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Comprueba que la siguiente función tiene una discontinuidad evitable:
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Comprueba que la siguiente función tiene una discontinuidad evitable:
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Estudia la continuidad de la función:
Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema.
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Estudia la continuidad de la función:
Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Estudia la continuidad de la función:
Ejemplo: Límite de una función definida a trozos con parámetros. Estudio de la continuidad
Halla el valor del parámetro "n" para que la función sea continua en toda la recta real:
![y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ 2x+n & \mbox{si }x>1 \end{cases}](/wikipedia/images/math/a/1/a/a1a6b426d0aba7a3b683acf929328bd3.png)
Veamos primero como es la función en cada trozo:
- Si
,
es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en
, en particular en
.
- Si
,
es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en
, en particular en
.
Falta estudiar la continuidad en .
Recordemos que una función es continua en
si
![\lim_{x \to c} f(x)=f(c)](/wikipedia/images/math/0/c/3/0c373e48d6df16de85d88509e28a8ba2.png)
o equivalentemente, si
![\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^-} f(x)=f(c)](/wikipedia/images/math/f/2/c/f2c0081f1c1fb17bfcacd5f60f43aa3b.png)
Calculemos los límites laterales y el valor de la función en :
.
Para que los dos límites laterales coincidan con deberá ocurrir que:
![2+n = 1 \ \rightarrow \ n=-1](/wikipedia/images/math/d/4/7/d47e0903e5d7bf54479449ed256c040e.png)
Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
![](/wikipedia/images/thumb/1/12/Unicoos.jpg/22px-Unicoos.jpg)
Averigua los valores de "a" y "b" para que la siguiente función sea continua.
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Averigua los valores de "m" para que la siguiente función sea continua en x=1.
Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema.
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Averigua los valores de "a" y "b" para que la siguiente función sea continua en x=1:
Nota: En este vídeo también estudia la derivabilidad que se verá en el siguiente tema.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Halla el valor de "h" para que la siguiente función se continua en el conjunto de los números reales:
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Halla el valor de "a" y "b" para que la siguiente función se continua en el conjunto de los números reales:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Halla el valor de "a" y "b" para que las siguientes funciones sean continuas en el conjunto de los números reales:
- a)
- b)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Halla el valor de "a" y "b" para que la siguiente función sea continua en el conjunto de los números reales: