Plantilla:Cálculo de límites en el infinito (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito
- 1.1 Ejercicios propuestos
2 Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito
3 Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito
4 Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito
5 Ejercicios y videotutoriales
- 5.1 Ejercicios propuestos

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Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

Decimos que " $x\;$ tiende a + infinito" ( $x \rightarrow + \infty$ ) cuando $x\;$ toma valores positivos tan grandes como queramos.

Decimos que " $x\;$ tiende a - infinito" ( $x \rightarrow - \infty$ ) cuando $x\;$ toma valores negativos tan pequeños como queramos.

A veces te podrás encontrar también la expresión " $x\;$ tiende a infinito" ( $x \rightarrow \infty$ ) cuando $x\;$ tiende, indistintamente, a $+ \infty$ o a $- \infty$ , aunque también hay quien la usa en lugar de $x \rightarrow + \infty$ .

Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a $+ \infty$ (o a $- \infty$ ) son los siguientes:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$ si cuando $x \to + \infty$ , los valores de $f(x)\;$ se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
$\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$ si cuando $x \to + \infty$ , los valores de $f(x)\;$ se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
$\lim_{x \to +\infty} f(x)=L \in \mathbb{R}$ si cuando $x \to + \infty$ , los valores de $f(x)\;$ se hacen tan proximos a $L\;$ como se quiera.

En este caso se dice que la recta $y=L\;$ es una asíntota horizontal (A.H.) de la función.

En estas tres definiciones se puede cambiar $x \to +\infty$ por $x \to -\infty$ para obtener otras tres definiciones análogas.

Límite de una función en el infinito [Mostrar]

Ejemplo: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en $+ \infty$ y $- \infty$ , cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.

a) $f(x)= \cfrac{1}{x}$ b) $f(x)= x^3\;$ c) $f(x)= 2^x\;$ d) $f(x)= log \, x$ e) $f(x)= sen \, x$

Solución:[Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

(Pág. 282)

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Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

Proposición

Sea $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\;$ una función polinómica en la variable x, de grado n.

Se cumple que:

$\lim_{x \to + \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \end{cases}$
$\lim_{x \to - \infty} P(x)= \lim_{x \to - \infty} a_nx^n = \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par} \\ +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es impar} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es par} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es impar} \end{cases}$

Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).

Ejemplos: [Mostrar]

Límite de un polinomio en el infinito [Mostrar]

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Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

Proposición

Sea $P(x)\;$ una función polinómica en la variable x. Se cumple que:

$\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0$ (lo mismo si $x \to - \infty$ )

Ejemplos: [Mostrar]

Ejemplos (15'59") Sinopsis: [Mostrar]

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Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito

Proposición

Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:

$\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;$

Se cumple que:

$\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}$ (análogamente si $x \to - \infty$ )

Se pueden dar los siguientes casos:

grado(P) > grado(Q): tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser $+ \infty$ ó $- \infty$ .
grado(P ) = grado(Q): tras simplificar la fracción queda una constante, $\cfrac{a_n}{b_n}$ , que es el valor del límite.
grado(P) < grado(Q): tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.

Ejemplos: [Mostrar]

Límite de una función racional en el infinito [Mostrar]

Tutorial 1 (14'19") Sinopsis: [Mostrar]

Tutorial 2 (26'20") Sinopsis: [Mostrar]

Tutorial 3a (3'43") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 3b (3'55") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 3c (2'57") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 4 (11'23") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 1a (5'16") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 1b (5'40") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 1c (4'32") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2a (8'40") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2b (11'01") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2c (15'16") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2d (7'47") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3a (7'55") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3b (5'24") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3c (8'02") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3d (11'08") Sinopsis: [Mostrar]

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Ejercicios y videotutoriales

Operaciones con infinito y 0 [Mostrar]

Comparación de infinitos [Mostrar]

Límites cuando x tiende a -infinito (6'48") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicios 1 (12'45") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2 (26'20") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3 (6'57") Sinopsis:[Mostrar]

Límite de funciones con radicales [Mostrar]

Límite de funciones trigonométricas [Mostrar]

Indeterminación 1 elevado a infinito (número e) (Nivel superior) [Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Cálculo de límites cuando x tiende a (+/-) infinito

(Pág. 283-284)

1, 4, 5

2, 3

(Pág. 285)

1, 2

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:C%C3%A1lculo_de_l%C3%ADmites_en_el_infinito_%281%C2%BABach%29"

Plantilla:Cálculo de límites en el infinito (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

Ejercicios propuestos

Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito

Ejercicios y videotutoriales

Ejercicios propuestos

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 ==Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito==
-Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a <math> + \infty</math> (o a <math> - \infty</math>) son los siguientes:
+{{limite en el infinito}}
-{{p}}
-{{Caja_Amarilla|texto=
-*<math>\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty</math> si cuando <math>x \to + \infty</math>, los valores de <math>f(x)\;</math> se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
-*<math>\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty</math> si cuando <math>x \to + \infty</math>, los valores de <math>f(x)\;</math> se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
-*<math>\lim_{x \to +\infty} f(x)=L \in \mathbb{R}</math> si cuando <math>x \to + \infty</math>, los valores de <math>f(x)\;</math> se hacen tan proximos a <math>L\;</math> como se quiera. En este caso se dice que la recta <math>y=L\;</math> es una '''asíntota horizontal''' (A.H.) de la función.
-{{p}}
-----
-En estas tres definiciones se puede cambiar <math>x \to +\infty</math> por <math>x \to -\infty</math> para obtener otras tres definiciones análogas.
-}}
-{{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito''|enunciado=
-Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en <math>+ \infty</math> y <math>- \infty</math>, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.
-:a) <math>f(x)= \cfrac{1}{x}</math>{{b4}}{{b4}}b) <math>f(x)= x^3\;</math>{{b4}}{{b4}}c) <math>f(x)= 2^x\;</math>{{b4}}{{b4}}d) <math>f(x)= log \, x</math>{{b4}}{{b4}}e) <math>f(x)= sen \, x </math>
-|sol=
-:a) <math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{x}=0</math>{{b4}}(La recta y=0 es una A.H. por <math>+ \infty</math>)
-:{{b4}}<math>\lim_{x \to -\infty} \cfrac{1}{x}=0</math>{{b4}}(La recta y=0 es una A.H. por <math>- \infty</math>)
-{{p}}
-{{b}}
-:b) <math>\lim_{x \to + \infty} x^3= + \infty</math>
-:{{b4}}<math>\lim_{x \to - \infty} x^3= - \infty</math>
-{{p}}
-{{b}}
-:c) <math>\lim_{x \to + \infty} 2^x= + \infty</math>
-:{{b4}}<math>\lim_{x \to - \infty} 2^x= 0</math>{{b4}}(La recta y=0 es una A.H. por <math>- \infty</math>)
-{{p}}
-{{b}}
-:d) <math>\lim_{x \to + \infty} log \, x=+ \infty</math>
-:{{b4}}<math>\lim_{x \to - \infty} log \, x= \mbox{no tiene sentido plantearlo}</math>
-{{p}}
-{{b}}
-:e) <math>\lim_{x \to + \infty} f(x)= sen \, x = \mbox{ no existe por ser oscilante} </math>
-:{{b4}}<math>\lim_{x \to - \infty} f(x)= sen \, x = \mbox{ no existe por ser oscilante} </math>
-----
-Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:
-{{p}}
-{{Geogebra_enlace
-|descripcion=En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
-|enlace=[https://ggbm.at/JCV99Kf8 Representador de funciones]
-}}
-}}
 {{p}}
 ===Ejercicios propuestos===
 ==Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito==
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Sea <math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\;</math> una función polinómica en la variable x, de grado n.
+{{Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a infinito}}
-Se cumple que:
+==Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito==
+{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Sea <math>P(x)\;</math> una función polinómica en la variable x. Se cumple que:
-*<math>\lim_{x \to + \infty} P(x)= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \end{cases}</math>
+*<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0</math>{{b4}}{{b4}}(lo mismo si <math>x \to - \infty</math>)
-*<math>\lim_{x \to - \infty} P(x)=
+}}
-\begin{cases}
+{{p}}
-+\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par}
+{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=
-\\
+*<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{5x^4-2x^2} = 0</math>
-+\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \ \mbox{y n es impar}
-\\
--\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \ \mbox{y n es par}
-\\
--\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0  \ \mbox{y n es impar}
-\end{cases}</math>
+*<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{1}{-3x^2} = 0 </math>
 }}
 {{p}}
-Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).
+{{Video_enlace_matefacil
+|titulo1=Ejemplos
+|duracion=15'59"
+|sinopsis=Límites cuando x tiende a infinito de de una función inversa de polinómica.
+|url1=https://youtu.be/wm-HUNf0y28?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
+}}
 {{p}}
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=
-*<math>\lim_{x \to + \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty</math>
-*<math>\lim_{x \to + \infty} -3x^4-2x^2 = - \infty</math>
+==Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito==
+{{Límite de funciones racionales cuando x tiende a infinito}}
+{{p}}
+==Ejercicios y videotutoriales==
+{{Videotutoriales|titulo=Operaciones con infinito y 0|enunciado=
+{{Video_enlace_8cifras
+|titulo1=Tutorial 1a
+|duracion=6'38"
+|sinopsis=Reglas para operar con infinito. Indeterminaciones.
-*<math>\lim_{x \to - \infty} -2x^3-2x^2 = + \infty</math>
+|url1=https://youtu.be/2dFx8LLjSQQ?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K
+}}
+{{Video_enlace_8cifras
+|titulo1=Tutorial 1b
+|duracion=6'07"
+|sinopsis=Reglas para operar con infinito. Indeterminaciones.
-*<math>\lim_{x \to - \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty</math>
+|url1=https://youtu.be/kTiavcG5xE4?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K
+}}
+}}
+{{Videotutoriales|titulo=Comparación de infinitos|enunciado=
+{{Video_enlace_matesandres
+|titulo1=Tutorial 1a
+|duracion=14'10"
+|sinopsis=Comparación de infinitos (exponenciales, polinómicas y logarítmicas)
-*<math>\lim_{x \to - \infty} -2x^2-2x^2 = - \infty</math>
+|url1=https://youtu.be/jeTPlVGA0_U?list=PLNQqRPuLTic-qVXmLl-4BSvfbCDN9Xt8W
+}}
+{{Video_enlace_8cifras
+|titulo1=Tutorial 1b
+|duracion=7'20"
+|sinopsis=Comparación de infinitos: orden de un infinito (casos más sencillos)
-*<math>\lim_{x \to - \infty} 2x^3-2x^2 = - \infty</math>
+|url1=https://youtu.be/C-QW0QpkYlQ?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K
+}}
+{{Video_enlace_8cifras
+|titulo1=Tutorial 1c
+|duracion=7'18"
+|sinopsis=Comparación de infinitos: orden de un infinito (casos más complejos)
+|url1=https://youtu.be/GSqY4mm4hkw?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K
 }}
+}}
+{{Video_enlace_matesandres
+|titulo1=Límites cuando x tiende a -infinito
+|duracion=6'48"
+|sinopsis=Límites cuando x tiende a -infinito. Otra forma de hacerlos.
-==Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito==
+|url1=https://youtu.be/51l3p_mJyRc?list=PLNQqRPuLTic-qVXmLl-4BSvfbCDN9Xt8W
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Sea <math>P(x)\;</math> una función polinómica en la variable x. Se cumple que:
+}}
+----
+{{Video_enlace_matesandres
+|titulo1=Ejercicios 1
+|duracion=12'45"
+|sinopsis=Límites cuando x tiende a infinito de diferencias con radicales y límites de potencias.
-*<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0</math>
+|url1=https://youtu.be/k5GJeQZuDNw?list=PLNQqRPuLTic-qVXmLl-4BSvfbCDN9Xt8W
+}}
+{{Video_enlace_LaMejorAsesoríaEducativa
+|titulo1=Ejercicio 2
+|duracion=26'20"
+|sinopsis=Ejercicios de límites de funciones racionales, polinómicas y radicales de racionales, cuando x tiende a infinito
-*<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0</math>
+|url1=https://youtu.be/_R8z7XRevHc?list=PLyC1b2B57_HFW-7Heqe9j0gMggFTSUSOZ
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_8cifras
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=
+|titulo1=Ejercicio 3
-*<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{5x^4-2x^2} = 0</math>
+|duracion=6'57"
+|sinopsis=Límite con indeterminación infinito menos infinito: funciones racionales.
-*<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{1}{-3x^2} = 0 </math>
+|url1=https://youtu.be/iigWu-aTWn4?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K
+}}
+{{Videotutoriales|titulo=Límite de funciones con radicales|enunciado=
+{{Video_enlace_profealex
+|titulo1=Ejercicio 1a
+|duracion=9'50"
+|sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
+|url1=https://youtu.be/LBmXC7WkGoI?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
 }}
+{{Video_enlace_profealex
+|titulo1=Ejercicio 1b
+|duracion=12'01"
+|sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
-==Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito==
+|url1=https://youtu.be/MdCyLM4Kduk?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Sea <math>\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^n+b_{m-1}x^{n-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;</math> una función racional en la variable x.
+}}
+{{Video_enlace_profealex
+|titulo1=Ejercicio 1c
+|duracion=10'00"
+|sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
-Se cumple que:
+|url1=https://youtu.be/Qpc_NkjJ8kc?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
+}}
+{{Video_enlace_profealex
+|titulo1=Ejercicio 1d
+|duracion=14'49"
+|sinopsis=Límite de raíces de funciones con radicales en el infinito.
-:<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}</math> {{b4}}{{b4}}(lo mismo si <math>x \to - \infty</math>)
+|url1=https://youtu.be/PO47o0ibDV4?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
+}}
+{{Video_enlace_matefacil
+|titulo1=Ejercicio 2a
+|duracion=4'14"
+|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-Tras simplificar esa fracción, se pueden dar los siguientes casos:
+|url1=https://youtu.be/VluV3fxCySg?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
+}}
+{{Video_enlace_matefacil
+|titulo1=Ejercicio 2b
+|duracion=3'51"
+|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-*'''grado(P)>grado(Q):''' tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular y que sabemos que puede ser <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math>.
+|url1=https://youtu.be/YdEunJEwsoA?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
-*'''grado(P)=grado(Q):''' tras simplificar la fracción queda una constante, <math>\cfrac{a_n}{b_n}</math>, que es el valor del límite.
-*'''grado(P)<grado(Q):''' tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_matefacil
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=
+|titulo1=Ejercicio 2c
-*<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x^2-5x+3}{3x-5} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x^2}{3x} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x}{3} = - \infty</math>
+|duracion=6'46"
+|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-*<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{x^2+3}{x^3} =\lim_{x \to + \infty} \cfrac{x^2}{x^3} =\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{x} = 0</math>
+|url1=https://youtu.be/jILqifoOxeE?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
+}}
+{{Video_enlace_matefacil
+|titulo1=Ejercicio 2d
+|duracion=7'45"
+|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-*<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3x^2-5x+1}{2x^2-6} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3x^2}{2x^2} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3}{2} = \cfrac{3}{2}</math>
+|url1=https://youtu.be/403jr0WxYNo?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
+}}
+{{Video_enlace_matefacil
+|titulo1=Ejercicio 2e
+|duracion=5'14"
+|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
+|url1=https://youtu.be/sCzBpMfYT_0?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 }}
-{{Video_enlace2
+{{Video_enlace_matefacil
-|titulo1=Límite de una función en el infinito
+|titulo1=Ejercicio 2f
-|duracion=17'30"
+|duracion=5'39"
-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com
+|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_02/vdf0209.html
+|url1=https://youtu.be/mLNWhDXveuE?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_matefacil
-{{Video_enlace2
+|titulo1=Ejercicio 2g
-|titulo1=Límite de un polinomio en el infinito
+|duracion=5'44"
-|duracion=9'59"
+|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_02/vdf0210.html
+|url1=https://youtu.be/LuqmcGbardg?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_8cifras
-{{Video_enlace2
+|titulo1=Ejercicio 3a
-|titulo1=Límite de una función racional en el infinito
+|duracion=6'32"
-|duracion=11'23"
+|sinopsis=Caso de racional con radicales.
-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_02/vdf0211.html
+|url1=https://youtu.be/w938VSKWEIk?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_8cifras
-{{ejemplo2
+|titulo1=Tutorial 3b
-|titulo=Ejemplos: ''Límite de una función racional en el infinito''
+|duracion=6'23"
-|enunciado=
+|sinopsis=Límite con indeterminación infinito menos infinito: funciones irracionales.
-{{Video_enlace2
-|titulo1=1. Ejemplos
+|url1=https://youtu.be/aMZfTIOWVIQ?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K
-|duracion=10'18"
-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_02/vdf0211_01.html
 }}
-{{Video_enlace2
-|titulo1=2. Ejemplos
-|duracion=12'19"
-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com
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+{{Videotutoriales|titulo=Límite de funciones trigonométricas|enunciado=
-|titulo1=3. Ejemplos
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-|duracion=9'20"
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+|sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
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+{{Video_enlace_profealex
+|titulo1=Ejercicio 7
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+{{Video_enlace_profealex
+|titulo1=Ejercicio 8
+|duracion=4'38"
+|sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
+|url1=https://youtu.be/vWQf6Ydowuk?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
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+}}
+{{Videotutoriales|titulo=Indeterminación 1 elevado a infinito (número e) (Nivel superior)|enunciado=
+{{Video_enlace_8cifras
+|titulo1=Ejercicio 1a
+|duracion=9'25"
+|sinopsis=Indeterminación 1 elevado a infinito.
+|url1=https://youtu.be/kP1WVXUXR94?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K
+}}
+{{Video_enlace_8cifras
+|titulo1=Ejercicio 1b
+|duracion=4'27"
+|sinopsis=Mismo ejercicio que el anterior por otro método más corto que requiere el uso de una fórmula.
+|url1=https://youtu.be/iSvsDVmhe4U?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K
+}}
+{{Video_enlace_8cifras
+|titulo1=Tutorial
+|duracion=5'08"
+|sinopsis=Demostración de la fórmula usada en el ejercicio anterior.
+|url1=https://youtu.be/YcD3cFKMDXU?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K
+}}
 }}
 ===Ejercicios propuestos===