Plantilla:Cálculo de límites en el infinito (1ºBach)
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==Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito== | ==Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito== | ||
+ | {{limite en el infinito}} | ||
+ | {{p}} | ||
+ | ===Ejercicios propuestos=== | ||
+ | {{ejercicio | ||
+ | |titulo=Ejercicios propuestos: ''Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito'' | ||
+ | |cuerpo= | ||
+ | (Pág. 282) | ||
+ | |||
+ | [[Imagen:red_star.png|12px]] 1 | ||
- | {{Caja_Amarilla|texto= | ||
- | *Decimos que '''"<math>x\;</math> tiende a + infinito"''' (<math>x \rightarrow + \infty</math>) cuando <math>x\;</math> toma valores positivos tan grandes como queramos. | ||
- | *Decimos que '''"<math>x\;</math> tiende a - infinito"''' (<math>x \rightarrow - \infty</math>) cuando <math>x\;</math> toma valores negativos tan pequeños como queramos. | ||
}} | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | '''Nota:''' A veces te podrás encontrar también la expresión '''"<math>x\;</math> tiende a infinito"''' (<math>x \rightarrow \infty</math>) cuando <math>x\;</math> tiende, indistintamente, a + infinito o a - infinito. Nosotros intentaremos evitarlo para no crear confusión aunque eso nos suponga tener que escribir más. | ||
- | {{p}} | ||
- | Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a <math> + \infty</math> (o a <math> - \infty</math>) son los siguientes: | ||
- | {{p}} | ||
- | {{Caja_Amarilla|texto= | ||
- | *<math>\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty</math> si cuando <math>x \to + \infty</math>, los valores de <math>f(x)\;</math> se hacen tan grandes que no se pueden acotar. | ||
- | *<math>\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty</math> si cuando <math>x \to + \infty</math>, los valores de <math>f(x)\;</math> se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar. | ||
- | *<math>\lim_{x \to +\infty} f(x)=L \in \mathbb{R}</math> si cuando <math>x \to + \infty</math>, los valores de <math>f(x)\;</math> se hacen tan proximos a <math>L\;</math> como se quiera. | ||
- | :En este caso se dice que la recta <math>y=L\;</math> es una '''asíntota horizontal''' (A.H.) de la función. | + | ==Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito== |
- | {{p}} | + | {{Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a infinito}} |
- | ---- | + | |
- | En estas tres definiciones se puede cambiar <math>x \to +\infty</math> por <math>x \to -\infty</math> para obtener otras tres definiciones análogas. | + | ==Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito== |
+ | {{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Sea <math>P(x)\;</math> una función polinómica en la variable x. Se cumple que: | ||
+ | |||
+ | *<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0</math>{{b4}}{{b4}}(lo mismo si <math>x \to - \infty</math>) | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | {{Videotutoriales|titulo=Límite de una función en el infinito|enunciado= | + | {{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido= |
- | {{Video_enlace_fonemato | + | *<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{5x^4-2x^2} = 0</math> |
- | |titulo1=Tutorial | + | |
- | |duracion=17'30" | + | *<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{1}{-3x^2} = 0 </math> |
- | |sinopsis=En este vídeo hablamos del límite de la función "f" cuando x → +∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞. También hablamos del límite de "f" cuando x → -∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞. | + | |
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/16-limites-de-funciones/09-limite-de-una-funcion-en-el-infinito-3 | + | |
}} | }} | ||
- | {{Video_enlace_julioprofe | + | {{p}} |
+ | {{Video_enlace_matefacil | ||
|titulo1=Ejemplos | |titulo1=Ejemplos | ||
- | |duracion=12'33" | + | |duracion=15'59" |
- | |sinopsis=4 ejemplos muy sencillos. | + | |sinopsis=Límites cuando x tiende a infinito de de una función inversa de polinómica. |
- | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=P4Ui8wukDK0 | + | |
- | }} | + | |url1=https://youtu.be/wm-HUNf0y28?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS |
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | {{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito''|enunciado= | ||
- | Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en <math>+ \infty</math> y <math>- \infty</math>, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos. | ||
- | :a) <math>f(x)= \cfrac{1}{x}</math>{{b4}}{{b4}}b) <math>f(x)= x^3\;</math>{{b4}}{{b4}}c) <math>f(x)= 2^x\;</math>{{b4}}{{b4}}d) <math>f(x)= log \, x</math>{{b4}}{{b4}}e) <math>f(x)= sen \, x </math> | ||
- | |sol= | ||
- | :a) <math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{x}=0</math>{{b4}}(La recta y=0 es una A.H. por <math>+ \infty</math>) | ||
- | :{{b4}}<math>\lim_{x \to -\infty} \cfrac{1}{x}=0</math>{{b4}}(La recta y=0 es una A.H. por <math>- \infty</math>) | ||
- | {{p}} | ||
- | {{b}} | ||
- | :b) <math>\lim_{x \to + \infty} x^3= + \infty</math> | + | ==Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito== |
- | :{{b4}}<math>\lim_{x \to - \infty} x^3= - \infty</math> | + | {{Límite de funciones racionales cuando x tiende a infinito}} |
{{p}} | {{p}} | ||
- | {{b}} | + | ==Ejercicios y videotutoriales== |
+ | {{Videotutoriales|titulo=Operaciones con infinito y 0|enunciado= | ||
+ | {{Video_enlace_8cifras | ||
+ | |titulo1=Tutorial 1a | ||
+ | |duracion=6'38" | ||
+ | |sinopsis=Reglas para operar con infinito. Indeterminaciones. | ||
- | :c) <math>\lim_{x \to + \infty} 2^x= + \infty</math> | + | |url1=https://youtu.be/2dFx8LLjSQQ?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K |
- | :{{b4}}<math>\lim_{x \to - \infty} 2^x= 0</math>{{b4}}(La recta y=0 es una A.H. por <math>- \infty</math>) | + | }} |
- | {{p}} | + | {{Video_enlace_8cifras |
- | {{b}} | + | |titulo1=Tutorial 1b |
- | + | |duracion=6'07" | |
- | :d) <math>\lim_{x \to + \infty} log \, x=+ \infty</math> | + | |sinopsis=Reglas para operar con infinito. Indeterminaciones. |
- | :{{b4}}<math>\lim_{x \to - \infty} log \, x= \mbox{no tiene sentido plantearlo}</math> | + | |
- | {{p}} | + | |
- | {{b}} | + | |
- | + | ||
- | :e) <math>\lim_{x \to + \infty} f(x)= sen \, x = \mbox{ no existe por ser oscilante} </math> | + | |
- | :{{b4}}<math>\lim_{x \to - \infty} f(x)= sen \, x = \mbox{ no existe por ser oscilante} </math> | + | |
- | ---- | + | |
- | Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución: | + | |
- | {{p}} | + | |url1=https://youtu.be/kTiavcG5xE4?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K |
- | {{Geogebra_enlace | + | |
- | |descripcion=En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos. | + | |
- | |enlace=[https://ggbm.at/JCV99Kf8 Representador de funciones] | + | |
}} | }} | ||
}} | }} | ||
- | {{p}} | + | {{Videotutoriales|titulo=Comparación de infinitos|enunciado= |
- | ===Ejercicios propuestos=== | + | {{Video_enlace_matesandres |
- | {{ejercicio | + | |titulo1=Tutorial 1a |
- | |titulo=Ejercicios propuestos: ''Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito'' | + | |duracion=14'10" |
- | |cuerpo= | + | |sinopsis=Comparación de infinitos (exponenciales, polinómicas y logarítmicas) |
- | (Pág. 282) | + | |
- | [[Imagen:red_star.png|12px]] 1 | + | |url1=https://youtu.be/jeTPlVGA0_U?list=PLNQqRPuLTic-qVXmLl-4BSvfbCDN9Xt8W |
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_8cifras | ||
+ | |titulo1=Tutorial 1b | ||
+ | |duracion=7'20" | ||
+ | |sinopsis=Comparación de infinitos: orden de un infinito (casos más sencillos) | ||
+ | |url1=https://youtu.be/C-QW0QpkYlQ?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K | ||
}} | }} | ||
+ | {{Video_enlace_8cifras | ||
+ | |titulo1=Tutorial 1c | ||
+ | |duracion=7'18" | ||
+ | |sinopsis=Comparación de infinitos: orden de un infinito (casos más complejos) | ||
- | ==Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito== | + | |url1=https://youtu.be/GSqY4mm4hkw?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K |
- | {{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Sea <math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\;</math> una función polinómica en la variable x, de grado n. | + | }} |
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matesandres | ||
+ | |titulo1=Límites cuando x tiende a -infinito | ||
+ | |duracion=6'48" | ||
+ | |sinopsis=Límites cuando x tiende a -infinito. Otra forma de hacerlos. | ||
- | Se cumple que: | + | |url1=https://youtu.be/51l3p_mJyRc?list=PLNQqRPuLTic-qVXmLl-4BSvfbCDN9Xt8W |
+ | }} | ||
+ | ---- | ||
+ | {{Video_enlace_matesandres | ||
+ | |titulo1=Ejercicios 1 | ||
+ | |duracion=12'45" | ||
+ | |sinopsis=Límites cuando x tiende a infinito de diferencias con radicales y límites de potencias. | ||
- | *<math>\lim_{x \to + \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \end{cases}</math> | + | |url1=https://youtu.be/k5GJeQZuDNw?list=PLNQqRPuLTic-qVXmLl-4BSvfbCDN9Xt8W |
- | *<math>\lim_{x \to - \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n = | + | }} |
- | \begin{cases} | + | {{Video_enlace_LaMejorAsesoríaEducativa |
- | +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par} | + | |titulo1=Ejercicio 2 |
- | \\ | + | |duracion=26'20" |
- | +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es impar} | + | |sinopsis=Ejercicios de límites de funciones racionales, polinómicas y radicales de racionales, cuando x tiende a infinito |
- | \\ | + | |
- | -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es par} | + | |
- | \\ | + | |
- | -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es impar} | + | |
- | \end{cases}</math> | + | |url1=https://youtu.be/_R8z7XRevHc?list=PLyC1b2B57_HFW-7Heqe9j0gMggFTSUSOZ |
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_8cifras | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 3 | ||
+ | |duracion=6'57" | ||
+ | |sinopsis=Límite con indeterminación infinito menos infinito: funciones racionales. | ||
+ | |url1=https://youtu.be/iigWu-aTWn4?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K | ||
}} | }} | ||
- | {{p}} | + | {{Videotutoriales|titulo=Límite de funciones con radicales|enunciado= |
- | Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x). | + | {{Video_enlace_profealex |
- | {{p}} | + | |titulo1=Ejercicio 1a |
- | {{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido= | + | |duracion=9'50" |
- | *<math>\lim_{x \to + \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty</math> | + | |sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito. |
- | *<math>\lim_{x \to + \infty} -3x^4-2x^2 = - \infty</math> | + | |url1=https://youtu.be/LBmXC7WkGoI?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn |
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_profealex | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 1b | ||
+ | |duracion=12'01" | ||
+ | |sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito. | ||
- | *<math>\lim_{x \to - \infty} -2x^3-2x^2 = + \infty</math> | + | |url1=https://youtu.be/MdCyLM4Kduk?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn |
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_profealex | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 1c | ||
+ | |duracion=10'00" | ||
+ | |sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito. | ||
- | *<math>\lim_{x \to - \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty</math> | + | |url1=https://youtu.be/Qpc_NkjJ8kc?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn |
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_profealex | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 1d | ||
+ | |duracion=14'49" | ||
+ | |sinopsis=Límite de raíces de funciones con radicales en el infinito. | ||
- | *<math>\lim_{x \to - \infty} -2x^2-2x^2 = - \infty</math> | + | |url1=https://youtu.be/PO47o0ibDV4?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn |
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matefacil | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 2a | ||
+ | |duracion=4'14" | ||
+ | |sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso. | ||
- | *<math>\lim_{x \to - \infty} 2x^3-2x^2 = - \infty</math> | + | |url1=https://youtu.be/VluV3fxCySg?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS |
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matefacil | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 2b | ||
+ | |duracion=3'51" | ||
+ | |sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso. | ||
+ | |url1=https://youtu.be/YdEunJEwsoA?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS | ||
}} | }} | ||
- | {{p}} | + | {{Video_enlace_matefacil |
- | {{Video_enlace_fonemato | + | |titulo1=Ejercicio 2c |
- | |titulo1=Límite de un polinomio en el infinito | + | |duracion=6'46" |
- | |duracion=9'59" | + | |sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso. |
- | |sinopsis=Al calcular el límite de un polinomio en el infinito (x → +∞ ó x → -∞) sólo debes preocuparte del sumando de mayor grado, pues es él quien corta el bacalao. | + | |
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/16-limites-de-funciones/10-limite-de-un-polinomio-en-el-infinito-3 | + | |url1=https://youtu.be/jILqifoOxeE?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS |
}} | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matefacil | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 2d | ||
+ | |duracion=7'45" | ||
+ | |sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso. | ||
- | ==Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito== | + | |url1=https://youtu.be/403jr0WxYNo?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS |
- | {{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Sea <math>P(x)\;</math> una función polinómica en la variable x. Se cumple que: | + | }} |
+ | {{Video_enlace_matefacil | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 2e | ||
+ | |duracion=5'14" | ||
+ | |sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso. | ||
- | *<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0</math>{{b4}}{{b4}}(lo mismo si <math>x \to - \infty</math>) | + | |url1=https://youtu.be/sCzBpMfYT_0?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS |
}} | }} | ||
- | {{p}} | + | {{Video_enlace_matefacil |
- | {{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido= | + | |titulo1=Ejercicio 2f |
- | *<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{5x^4-2x^2} = 0</math> | + | |duracion=5'39" |
+ | |sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso. | ||
- | *<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{1}{-3x^2} = 0 </math> | + | |url1=https://youtu.be/mLNWhDXveuE?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS |
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_matefacil | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 2g | ||
+ | |duracion=5'44" | ||
+ | |sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso. | ||
+ | |url1=https://youtu.be/LuqmcGbardg?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS | ||
}} | }} | ||
+ | {{Video_enlace_8cifras | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 3a | ||
+ | |duracion=6'32" | ||
+ | |sinopsis=Caso de racional con radicales. | ||
- | {{p}} | + | |url1=https://youtu.be/w938VSKWEIk?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K |
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_8cifras | ||
+ | |titulo1=Tutorial 3b | ||
+ | |duracion=6'23" | ||
+ | |sinopsis=Límite con indeterminación infinito menos infinito: funciones irracionales. | ||
- | ==Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito== | + | |url1=https://youtu.be/aMZfTIOWVIQ?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K |
- | {{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada: | + | }} |
- | {{p}} | + | }} |
- | <center><math>\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;</math></center> | + | {{Videotutoriales|titulo=Límite de funciones trigonométricas|enunciado= |
- | {{p}} | + | {{Video_enlace_profealex |
- | Se cumple que: | + | |titulo1=Ejercicio 1 |
+ | |duracion=5'52" | ||
+ | |sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito. | ||
- | <center><math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}</math> {{b4}}{{b4}}(análogamente si <math>x \to - \infty</math>)</center> | + | |url1=https://youtu.be/SCbkQD9LcRs?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn |
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_profealex | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 2 | ||
+ | |duracion=8'06" | ||
+ | |sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito. | ||
- | Se pueden dar los siguientes casos: | + | |url1=https://youtu.be/kqOPi_-gWjs?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn |
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_profealex | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 3 | ||
+ | |duracion=7'35" | ||
+ | |sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito. | ||
- | *'''grado(P) > grado(Q):''' tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math>. | + | |url1=https://youtu.be/Bjbreq2J48g?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn |
- | *'''grado(P ) = grado(Q):''' tras simplificar la fracción queda una constante, <math>\cfrac{a_n}{b_n}</math>, que es el valor del límite. | + | |
- | *'''grado(P) < grado(Q):''' tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0. | + | |
}} | }} | ||
- | {{p}} | + | {{Video_enlace_profealex |
- | {{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido= | + | |titulo1=Ejercicio 4 |
- | *<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x^2-5x+3}{3x-5} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x^2}{3x} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x}{3} = - \infty</math> | + | |duracion=6'19" |
+ | |sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito. | ||
- | *<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{x^2+3}{x^3} =\lim_{x \to + \infty} \cfrac{x^2}{x^3} =\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{x} = 0</math> | + | |url1=https://youtu.be/pF-olTyz-0k?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn |
- | + | }} | |
- | *<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3x^2-5x+1}{2x^2-6} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3x^2}{2x^2} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3}{2} = \cfrac{3}{2}</math> | + | {{Video_enlace_profealex |
+ | |titulo1=Ejercicio 5 | ||
+ | |duracion=7'43" | ||
+ | |sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito. | ||
+ | |url1=https://youtu.be/qxfxyb6p14U?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn | ||
}} | }} | ||
- | {{p}} | + | {{Video_enlace_profealex |
- | {{Videotutoriales|titulo=Límite de una función racional en el infinito|enunciado= | + | |titulo1=Ejercicio 6 |
- | {{Video_enlace_fonemato | + | |duracion=8'20" |
- | |titulo1=Tutorial | + | |sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito. |
- | |duracion=11'23" | + | |
- | |sinopsis=Para calcular el límite de un cociente de polinomios cuando x → +∞ o cuando x → -∞, dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de "x" que aparezca en el denominador. | + | |
- | *Si numerador y denominador son de igual grado, el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador y el denominador. | + | |url1=https://youtu.be/Xq39rh0qe0Y?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn |
- | *Si el numerador es de menor grado que el denominador, el límite es 0. | + | |
- | *Si el numerador es de mayor grado que el denominador, el límite es +∞ ó -∞ según que el numerador y el denominador tengan igual signo o no. | + | |
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/16-limites-de-funciones/11-limite-de-un-cociente-de-polinomio-en-el-infinito | + | |
}} | }} | ||
- | ---- | + | {{Video_enlace_profealex |
- | {{Video_enlace_virtual | + | |titulo1=Ejercicio 7 |
- | |titulo1=Ejercicio 1 | + | |duracion=10'53" |
- | |duracion=5'16" | + | |sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito. |
- | |sinopsis=Calcula: <math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{4x}{x^2+9}</math> | + | |
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- | {{Video_enlace_virtual | + | {{Video_enlace_profealex |
- | |titulo1=Ejercicio 2 | + | |titulo1=Ejercicio 8 |
- | |duracion=5'40" | + | |duracion=4'38" |
- | |sinopsis=Calcula: <math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{3x^2+x-2}{x^2-5}</math> | + | |sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito. |
- | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=z7RRAEptsZE&list=PLo7_lpX1yruNU7jUrbruoH5X98zcImk5W&index=2 | + | |url1=https://youtu.be/vWQf6Ydowuk?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn |
}} | }} | ||
}} | }} | ||
- | {{p}} | + | {{Videotutoriales|titulo=Indeterminación 1 elevado a infinito (número e) (Nivel superior)|enunciado= |
+ | {{Video_enlace_8cifras | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 1a | ||
+ | |duracion=9'25" | ||
+ | |sinopsis=Indeterminación 1 elevado a infinito. | ||
+ | |url1=https://youtu.be/kP1WVXUXR94?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_8cifras | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 1b | ||
+ | |duracion=4'27" | ||
+ | |sinopsis=Mismo ejercicio que el anterior por otro método más corto que requiere el uso de una fórmula. | ||
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+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_8cifras | ||
+ | |titulo1=Tutorial | ||
+ | |duracion=5'08" | ||
+ | |sinopsis=Demostración de la fórmula usada en el ejercicio anterior. | ||
+ | |url1=https://youtu.be/YcD3cFKMDXU?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | }} | ||
===Ejercicios propuestos=== | ===Ejercicios propuestos=== | ||
{{ejercicio | {{ejercicio |
Revisión actual
Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito
- Decimos que "
tiende a + infinito" (
) cuando
toma valores positivos tan grandes como queramos.
- Decimos que "
tiende a - infinito" (
) cuando
toma valores negativos tan pequeños como queramos.
- A veces te podrás encontrar también la expresión "
tiende a infinito" (
) cuando
tiende, indistintamente, a
o a
, aunque también hay quien la usa en lugar de
.
Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a (o a
) son los siguientes:
si cuando
, los valores de
se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
si cuando
, los valores de
se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
si cuando
, los valores de
se hacen tan proximos a
como se quiera.
- En este caso se dice que la recta
es una asíntota horizontal (A.H.) de la función.
En estas tres definiciones se puede cambiar por
para obtener otras tres definiciones análogas.
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Idea gráfica del límite de una función cuando x tiende a infinito
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
4 ejemplos muy sencillos.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
En este vídeo hablamos del límite de la función "f" cuando x → +∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞. También hablamos del límite de "f" cuando x → -∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Definición rigurosa de límite de una función cuando x tiende a (+/-) infinito.
Ejemplo: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito
Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en y
, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.
- a)
b)
c)
d)
e)
- a)
(La recta y=0 es una A.H. por
)
-
(La recta y=0 es una A.H. por
)
- b)
-
- c)
-
(La recta y=0 es una A.H. por
)
- d)
-
- e)
-
Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito |
Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito
Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Al calcular el límite de un polinomio en el infinito (x → +∞ ó x → -∞) sólo debes preocuparte del sumando de mayor grado, pues es él quien corta el bacalao.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e5/Lamejorasesoriajuridica.jpg/22px-Lamejorasesoriajuridica.jpg)
Otra forma de calcular el límite de un polinomio en el infinito (x → +∞ ó x → -∞). También se incluyen otros casos de funciones radicales que tienen un tratamiento similar.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Ejercicios de límites de funciones polinómicas.
![](/wikipedia/images/thumb/7/75/TodoSobresaliente.jpg/22px-TodoSobresaliente.jpg)
Ejercicios de límites de funciones polinómicas.
Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límites cuando x tiende a infinito de de una función inversa de polinómica.
Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito
Proposición
Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:
![\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;](/wikipedia/images/math/a/b/4/ab48694d35b72da0b3b611d4077bf564.png)
Se cumple que:
![\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}](/wikipedia/images/math/f/7/0/f70b5aa7be1744f26878920301bd8bbd.png)
![x \to - \infty](/wikipedia/images/math/1/6/3/1634096fed95ec95058e301f55adfed1.png)
Se pueden dar los siguientes casos:
- grado(P) > grado(Q): tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser
ó
.
- grado(P ) = grado(Q): tras simplificar la fracción queda una constante,
, que es el valor del límite.
- grado(P) < grado(Q): tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Límites cuando x tiende a infinito de cocientes de polinomios (método rápido) y diferencias de expresiones infinitas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e5/Lamejorasesoriajuridica.jpg/22px-Lamejorasesoriajuridica.jpg)
Límite de funciones racionales y de raíces de funciones racionales.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Caso 1: denominador con grado mayor que el numerador.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Caso 2: denominador con grado igual que el numerador.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Caso 3: denominador con grado menor que el numerador.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Para calcular el límite de un cociente de polinomios cuando x → +∞ o cuando x → -∞, dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de "x" que aparezca en el denominador.
- Si numerador y denominador son de igual grado, el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador y el denominador.
- Si el numerador es de menor grado que el denominador, el límite es 0.
- Si el numerador es de mayor grado que el denominador, el límite es +∞ ó -∞ según que el numerador y el denominador tengan igual signo o no.
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de funciones racionales sencillas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
Ejercicios y videotutoriales
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Reglas para operar con infinito. Indeterminaciones.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Reglas para operar con infinito. Indeterminaciones.
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Comparación de infinitos (exponenciales, polinómicas y logarítmicas)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Comparación de infinitos: orden de un infinito (casos más sencillos)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Comparación de infinitos: orden de un infinito (casos más complejos)
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Límites cuando x tiende a -infinito. Otra forma de hacerlos.
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Límites cuando x tiende a infinito de diferencias con radicales y límites de potencias.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e5/Lamejorasesoriajuridica.jpg/22px-Lamejorasesoriajuridica.jpg)
Ejercicios de límites de funciones racionales, polinómicas y radicales de racionales, cuando x tiende a infinito
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Límite con indeterminación infinito menos infinito: funciones racionales.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones con radicales en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Caso de racional con radicales.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Límite con indeterminación infinito menos infinito: funciones irracionales.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Indeterminación 1 elevado a infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Mismo ejercicio que el anterior por otro método más corto que requiere el uso de una fórmula.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Demostración de la fórmula usada en el ejercicio anterior.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Cálculo de límites cuando x tiende a (+/-) infinito |