Plantilla:Ramas infinitas. Asíntotas

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Saltar a navegación, búsqueda

Revisión actual

Una función presenta una rama infinita si presenta una asíntota o una rama parabólica.

Pasamos a definir asíntota y rama parabólica.

Tabla de contenidos

1 Asíntota
2 Rama parabólica
3 Estudio de las asíntotas de una función

[editar]

Asíntota

Una asíntota es una recta hacia la que se acerca la gráfica de una función, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto, a $+ \infty$ o a $-\infty$ .

Hay tres tipos:

Asíntota vertical (A.V.)
Asíntota horizontal (A.H.)
Asíntota oblicua (A.O.)

Nota: La función nunca puede cortar una A.V., pero si puede cortar a una A.H. o a una A.O.

Asíntotas (5'34") Sinopsis:

Asíntotas. Tipos.

[editar]

Asíntota vertical

Una función $f(x)\;$ presenta en $x=a\;$ una asíntota vertical (A.V.) si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)$

$\lim_{x \to a^-} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Ejemplo:

Veamos cómo la función $f(x)=\cfrac{x^2}{x-2}$ presenta una A.V. en $x=2\;$

En efecto,

$\lim_{x \to 2^-} \cfrac{x^2}{x-2}= -\infty$

$\lim_{x \to 2^+} \cfrac{x^2}{x-2}= +\infty$

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Asíntota vertical: x = 2

[editar]

Asíntota horizontal

Una función $f(x)\;$ presenta una asíntota horizontal (A.H.) en $y=a\;$ si:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)= a$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} f(x)= a$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Ejemplo:

Veamos cómo la función $g(x)=\cfrac{x^2}{x^2+1}$ presenta una A.H. en $y=1\;$

En efecto,

$\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2+1}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2}= 1$

$\lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2}{x^2+1}=\lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2}{x^2}= 1$

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Asíntota horizontal: y = 1

[editar]

Asíntota oblicua

Una función $f(x)\;$ presenta una asíntota oblicua (A.O.) en $y=mx+n\;$ si:

$\lim_{x \to +\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Para calcular los coeficientes $m\;$ y $n\;$ de la asíntota, se procederá de la siguiente manera:

$m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{f(x)}{x}$ (o bien, con $x \to -\infty$ )

$n=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx]$ (o bien, con $x \to -\infty$ )

Ejemplo:

Veamos cómo la función $g(x)=\cfrac{x^2+1}{x-3}$ presenta una A.O. en $y=x+3\;$

En efecto, sea $y=mx+n\;$ la A.O., entonces:

$m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{g(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{\cfrac{x^2+1}{x-3}}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x(x-3)} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x^2-3x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2}=1$

$n=\lim_{x \to 1^+} [g(x)-x]= \lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x^2+1}{x-3}-x \right]= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1-x^2+3x}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x+1}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x}{x}= 3$

Para $x \to -\infty$ se obtendrían los mismo valores.

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Asíntota oblicua: y = x + 3

[editar]

Rama parabólica

Una función $f(x)\;$ presenta una rama parabólica si no presenta una asíntota oblicua pero cumple que:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)$

Ramas parabólicas

Ejemplo:

Las funciones exponenciales, las polinómicas de grado mayor que 1, las logarítmicas y las irracionales tienen ramas parabólicas. Las dos primeras tienen un crecimiento/decrecimiento más rápido que las dos últimas.

[editar]

Estudio de las asíntotas de una función

Tutorial 1 (15'24") Sinopsis:

Asíntotas. Conceptos básicos. Ejemplos.

Tutorial 2a (A.V.) (9'04") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas verticales de una función.

Tutorial 2b (A.H.) (9'03") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas horizontales de una función.

Tutorial 2c (A.O.) (7'42") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas oblicuas de una función racional (Introducción).

Tutorial 2d (A.O.) (7'32") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas oblicuas de una función racional.

Tutorial 2e (A.O.) (8'05") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas oblicuas de una función no racional.

Ejemplos (30'17") Sinopsis:

Estudia las asíntotas de las siguientes funciones:

$\cfrac{x}{x^2-4}\;$
$\cfrac{3x^2}{x^2+9}\;$
$\cfrac{x^3+2x^2+x-3}{x^2-1}\;$
$\cfrac{x^3-2}{2x+1}\;$
$\cfrac{x^3-4x}{x+2}\;$

Tendencia de una función

Actividad: Tendencia de una función

a) Averigua la tendencia de la función $f(x)=\cfrac{1}{x}\;$ . cuando $x\;$ se hace infinitamente grande.

b) Observa lo que ocurre en el apartado anterior dibujando la función desde x=0 a x=100000.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) limit x to +oo 1/x

b) plot 1/x {x,0,100000}

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ramas_infinitas._As%C3%ADntotas"

 }}
 {{Video_enlace_8cifras
-|titulo1=Tutorial 2a
+|titulo1=Tutorial 2a (A.V.)
 |duracion=9'04"
 |sinopsis=Estudio de las asíntotas verticales de una función.
 }}
 {{Video_enlace_8cifras
-|titulo1=Tutorial 2b
+|titulo1=Tutorial 2b (A.H.)
 |duracion=9'03"
 |sinopsis=Estudio de las asíntotas horizontales de una función.
 }}
 {{Video_enlace_8cifras
-|titulo1=Tutorial 2c
+|titulo1=Tutorial 2c (A.O.)
 |duracion=7'42"
 |sinopsis=Estudio de las asíntotas oblicuas de una función racional (Introducción).
 }}
 {{Video_enlace_8cifras
-|titulo1=Tutorial 2d
+|titulo1=Tutorial 2d (A.O.)
 |duracion=7'32"
 |sinopsis=Estudio de las asíntotas oblicuas de una función racional.
 }}
 {{Video_enlace_8cifras
-|titulo1=Tutorial 2e
+|titulo1=Tutorial 2e (A.O.)
 |duracion=8'05"
 |sinopsis=Estudio de las asíntotas oblicuas de una función no racional.
 |url1=https://youtu.be/SHlZHxOtNx4?list=PLpbLLqs33gIkbfeAzPddpOc6wnOu309-K
 }}
+----
+{{Video_enlace_matesandres
+|titulo1=Ejemplos
+|duracion=30'17"
+|sinopsis=Estudia las asíntotas de las siguientes funciones:
+#<math>\cfrac{x}{x^2-4}\;</math>
+#<math>\cfrac{3x^2}{x^2+9}\;</math>
+#<math>\cfrac{x^3+2x^2+x-3}{x^2-1}\;</math>
+#<math>\cfrac{x^3-2}{2x+1}\;</math>
+#<math>\cfrac{x^3-4x}{x+2}\;</math>
+|url1=https://youtu.be/jc29ZOVapDQ
+}}
 {{Wolfram: Tendencias de una funcion}}

Plantilla:Ramas infinitas. Asíntotas

De Wikipedia

Revisión actual

Tabla de contenidos

Asíntota

Asíntota vertical

Asíntota horizontal

Asíntota oblicua

Rama parabólica

Estudio de las asíntotas de una función

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas