Números Naturales (4ºESO-A)

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Revisión de 11:52 22 may 2008

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Tabla de contenidos

1 Números naturales
2 Representación de los números naturales
3 Suma y multiplicación de naturales
4 Resta y división de naturales
- 4.1 Propiedades de la suma y el producto de naturales
5 Sacar factor común
6 División con naturales
- 6.1 Algoritmo de la división
7 Jerarquía de las operaciones
8 Potenciación de naturales

Números naturales

El conjunto de los números naturales es:

$\mathbb{N}=\left \lbrace 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$

Son infinitos y sirven para contar (números cardinales: 1, 2, 3, ...) o para ordenar (números ordinales: 1º, 2º, 3º, ...).

Representación de los números naturales

Podemos representarlos en una recta:

Suma y multiplicación de naturales

La suma (o adición) y la multiplicación (o producto) de dos números naturales es otro número natural. Por eso se dice que estas dos operaciones son leyes de composición interna.

Resta y división de naturales

La resta (o substracción) y la división (o cociente) de dos números naturales no siempre es otro número natural. Por eso se dice que estas dos operaciones son leyes de composición externa.

Propiedades de la suma y el producto de naturales

La suma y la multiplicación cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa:

$(a+b)+c=a+(b+c)\,\!$

$(a \cdot b)\cdot c=a \cdot(b \cdot c)$

Propiedad conmutativa:

$a+b=b+a\,\!$

$a \cdot b=b \cdot a$

Propiedad distributiva:

$a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c$

Problema: Operaciones con naturales

1. Una empresa compra una máquina de café por 6000 €. Cada mes se gasta 100 € en mantenimiento pero obtiene 350 € por la venta de café. Al cabo de 2 años y medio la vende por 4920 €. ¿Qué beneficio le ha aportado la máquina?

Solución:

6420 €

Sacar factor común

La propiedad distributiva sirve para simplificar expresiones sacando factor común. Veamos un ejemplo

Ejemplo: Sacar factor común

Saca factor común en la expresión $16xyz-24xz+4x\;\!$

Solución:

El factor común, que se repite en los tres sumandos, es $4x\,\!$ . Ese factor lo multiplicamos por un paréntesis que contenga a otros tres sumandos. Cada uno de los sumandos del paréntesis deberá ser tal, que al multiplicarlo por el factor común $4x\,\!$ , dé como resultado cada uno de los sumandos de la expresión de partida. En nuestro caso:

$16xyz-24xz+4x\;\!=$

$(4x) \cdot 4yz - (4x) \cdot 6z + (4x) \cdot 1=\;\!$

$4x \cdot (4yz-6z+1)$

Ejercicios: Sacar factor común

1. Extrae factor común:

a) $-18a+20a-10a\,\!$ b) $15x-60x^2\,\!$ c) $5ba^2-3ab+2ba^3\;\!$

Solución:

a) $-8a\,\!$ b) $15x \cdot (1-4x)\,\!$ c) $ab \cdot (5a-3+2a^2)$

División con naturales

La división puede verse como un reparto de un número de elementos (dividendo) en un número de partes iguales (divisor), que da como resultado el número de elementos que corresponden a cada parte (cociente) y un posible número de elementos sobrantes (resto). Si el resto es cero la división se llama exacta, si no, se llama entera.

Algoritmo de la división

Algoritmo de la división

En toda división, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

$D=d \cdot c + r$

donde $D\;\!$ es el dividendo, $d\;\!$ el divisor, $c\;\!$ el cociente y $r\;\!$ el resto.

Demostración:

Ver demostración en Wikipedia

Problema: División con naturales

1. Al dividir 453 entre 32 se obtiene 5 de resto. ¿Cúal es el divisor?

Solución:

El divisor es 14 (Aplicando la regla de la división)

Jerarquía de las operaciones

A la hora de operar con números naturales seguiremos las siguientes pautas:

Se efectúan primero el contenido de los paréntesis. De las operaciones, la de mayor prioridad es la potenciación, seguida de la multiplicación y las división y, para terminar, la suma y la resta. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.

Actividad Interactiva: Jerarquía de las operaciones

1. Operaciones combinadas.

Actividad:

En esta actividad debes escribir en la ventana bajo la escena el número que sigue al resolver la expresión y pulsar "intro". Cuando el número marcado sea el correcto aparecerá en la escena, si no es el correcto no aparecerá.

Debes hacerlo sucesivamente, paso a paso, para ello debes borrar el número anterior. No se trata de que halles directamente el resultado final.

Al picar sobre inicio aparecerá otra expresión diferente de operaciones combinadas. Resuelve varias de ellas.

Potenciación de naturales

Una potencia de base $a\;\!$ y exponente $n\;\!$ consiste en multiplicar $n\;\!$ veces la base $a\;\!$ .

$a^n =a \cdot a \cdots a\;\!$

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo.

En la expresión de la potencia de un número consideramos dos partes:

La base es el número que se multiplica por sí mismo
El exponente es el número que indica las veces que la base aparece como factor.

Una potencia se escribe tradicionalmente poniendo el número base de tamaño normal y junto a él, arriba a su derecha se pone el exponente, de tamaño más pequeño.

Para nombrar o leer una potencia decimos primeramente el número base, después decimos lo referente al exponente. Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia".

Actividad Interactiva: Potencias

Actividad 1. Potencia de un número natural.

Actividad:

Observa cómo varía el resultado al modificar la base y el exponente.

Shift-Click aquí si no se ve bien la escena

Haz uso de la escena anterior y contesta en tu cuaderno:

a) ¿Qué valor tiene una potencia cuya base es el número 0 sea cual sea el exponente?

b) ¿Qué valor tiene una potencia cuya base es el número 1 sea cual sea el exponente?

c) ¿Qué valor tienen las potencias de cualquier base cuando su exponente es el número 0 ?

d) ¿Qué valor tiene una potencia cuyo exponente es el número 1 ?

Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_Naturales_%284%C2%BAESO-A%29"

 Podemos representarlos en una recta:
 <center>[[Imagen:recta_naturales.png|500px]]</center>
+{{p}}
+==Suma y multiplicación de naturales==
+La '''suma''' (o adición) y la '''multiplicación''' (o producto) de dos números naturales es otro número natural. Por eso se dice que estas dos operaciones son '''[http://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica leyes de composición interna]'''.
+{{p}}
+==Resta y división de naturales==
+La '''resta''' (o substracción) y la '''división''' (o cociente) de dos números naturales no siempre es otro número natural. Por eso se dice que estas dos operaciones son '''[http://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica leyes de composición externa]'''.
+{{p}}
+===Propiedades de la suma y el producto de naturales===
+La suma y la multiplicación cumplen las siguientes propiedades:
+{{Caja Amarilla|texto=
+*'''Propiedad asociativa:'''
+::<math>(a+b)+c=a+(b+c)\,\!</math>
+::<math>(a \cdot b)\cdot c=a \cdot(b \cdot c)</math>
+*'''Propiedad conmutativa:'''
+::<math>a+b=b+a\,\!</math>
+::<math>a \cdot b=b \cdot a</math>
+*'''Propiedad distributiva:'''
+::<math>a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c</math>
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+{{p}}
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+|titulo=Problema: ''Operaciones con naturales''
+|cuerpo=
+{{ejercicio_cuerpo
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+'''1. '''Una empresa compra una máquina de café por 6000 €. Cada mes se gasta 100 € en mantenimiento pero obtiene 350 € por la venta de café. Al cabo de 2 años y medio la vende por 4920 €. ¿Qué beneficio le ha aportado la máquina?
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+La propiedad distributiva sirve para simplificar expresiones '''sacando factor común'''. Veamos un ejemplo
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+:Saca factor común en la expresión <math>16xyz-24xz+4x\;\!</math>
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+El factor común, que se repite en los tres sumandos, es <math>4x\,\!</math>. Ese factor lo multiplicamos por un paréntesis que contenga a otros tres sumandos. Cada uno de los sumandos del paréntesis deberá ser tal, que al multiplicarlo por el factor común <math>4x\,\!</math>, dé como resultado cada uno de los sumandos de la expresión de partida. En nuestro caso:{{p}}
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+}}
+{{p}}
+==División con naturales==
+{{Caja_Amarilla|texto=La '''división''' puede verse como un reparto de un número de elementos ('''dividendo''') en un número de partes iguales ('''divisor'''), que da como resultado el número de elementos que corresponden a cada parte ('''cociente''') y un posible número de elementos sobrantes ('''resto'''). Si el resto es cero la división se llama '''exacta''', si no, se llama '''entera'''.
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+===Algoritmo de la división===
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+|titulo=Algoritmo de la división
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+:En toda división, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.
+{{caja|contenido=<math>D=d \cdot c + r</math>}}
+:donde <math>D\;\!</math> es el dividendo, <math>d\;\!</math> el divisor, <math>c\;\!</math> el cociente y <math>r\;\!</math> el resto.
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+Ver demostración en [http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_la_divisi%C3%B3n Wikipedia]
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+|titulo=Problema: ''División con naturales''
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+El divisor es 14 (Aplicando la regla de la división)
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+}}
+{{p}}
 ==Jerarquía de las operaciones==
 A la hora de operar con números naturales seguiremos las siguientes pautas:

Números Naturales (4ºESO-A)

De Wikipedia

Revisión de 11:52 22 may 2008

Tabla de contenidos

Números naturales

Representación de los números naturales

Suma y multiplicación de naturales

Resta y división de naturales

Propiedades de la suma y el producto de naturales

Sacar factor común

División con naturales

Algoritmo de la división

Jerarquía de las operaciones

Potenciación de naturales

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