Funciones Cuadráticas (PACS)

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	==Definición==		==Definición==
-	Una '''función cuadrática''' es la que corresponde a un polinomio en '''x''' de segundo grado, según la forma:	+
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	donde '''a''', '''b''' y '''c''' son constantes y '''a''' distinto de 0.		donde '''a''', '''b''' y '''c''' son constantes y '''a''' distinto de 0.
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		+	'''La representación gráfica''' en el plano '''xy''' haciendo:
-	la representación gráfica en el plano '''xy''' haciendo:
	: <math> y = f(x) \, </math>		: <math> y = f(x) \, </math>
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	es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de '''a'''.		es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de '''a'''.
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	== Estudio de la función ==		== Estudio de la función ==
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	==== Corte con el eje y ====		==== Corte con el eje y ====
-	[[Image:Función cuadrática 11.svg |right|300px]]
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	La función corta el '''eje y''' en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje '''y''' cuando '''x''' vale cero (0):		La función corta el '''eje y''' en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje '''y''' cuando '''x''' vale cero (0):
	: <math> y = f(0) = a * 0^2 + b * 0 + c \, </math>		: <math> y = f(0) = a * 0^2 + b * 0 + c \, </math>
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-	las distintas soluciones de esta [[ecuación de segundo grado]], son los casos de corte con el '''eje x''', que se obtienen como es sabido por la expresión:	+	las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el '''eje x''', que se obtienen como es sabido por la expresión:
	: <math> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} </math>		: <math> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} </math>
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	* D > 0		* D > 0
-	La ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al '''eje x''' en dos puntos: '''x1''', '''x2'''	+	La ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al '''eje x''' en dos puntos: <math> \ x_1 \ , \ x_2 </math>
	* D = 0		* D = 0
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	=== Extremos relativos ===		=== Extremos relativos ===
-	Para localizar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:	+	Para localizar los extremos relativos, se calcula '''x''':
-	: <math> y = ax^2 + bx + c \, </math>	+
-	calculamos su derivada respecto a '''x''':
-	: <math> \frac{dy}{dx} = 2ax + b </math>
-
-	que si la igualamos a cero, tenemos:
-	: <math> 2ax + b = 0 \, </math>
-
-	donde '''x''' valdrá:
	: <math> x = \frac{-b}{2a} </math>		: <math> x = \frac{-b}{2a} </math>
	En la vertical que pasa por este valor de '''x''' se encontrara el valor máximo o mínimo de la función.		En la vertical que pasa por este valor de '''x''' se encontrara el valor máximo o mínimo de la función.
		+
		+	[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]

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Revisión actual

Tabla de contenidos 1 Definición 2 Estudio de la función 2.1 Corte con el eje y 2.2 Corte con el eje x 2.3 Extremos relativos

Definición

La representación gráfica en el plano xy haciendo:

esto es:

es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

Estudio de la función

Corte con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

lo que resulta:

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función.

Corte con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0:

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:

donde:

se le llama discriminante, D:

según el signo del discriminante podemos distinguir:

• D > 0

La ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos:

• D = 0

La ecuación tiene una solución, la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, en la cual es tangente a este eje donde las dos ramas de la parábola confluyen.

• D < 0

La ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.

Extremos relativos

Para localizar los extremos relativos, se calcula x:

En la vertical que pasa por este valor de x se encontrara el valor máximo o mínimo de la función.