Método de Gauss para sistemas lineales (1ºBach)
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Las '''operaciones''' que podemos realizar sobre las ecuaciones del sistema inicial para transformarlo en otro equivalente, son las siguientes: | Las '''operaciones''' que podemos realizar sobre las ecuaciones del sistema inicial para transformarlo en otro equivalente, son las siguientes: |
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Tabla de contenidos[esconder] |
Método reducción de Gauss
El método de Gauss que se debe al matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss, es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar el sistema de ecuaciones en un sistema escalonado.
Las operaciones que podemos realizar sobre las ecuaciones del sistema inicial para transformarlo en otro equivalente, son las siguientes:
- Multiplicar o dividir una ecuación por un número real distinto de cero.
- Sumarle o restarle a una ecuación otra ecuación.
- Sumarle a una ecuación otra ecuación multiplicada por un número distinto de cero.
- Cambiar el orden de las ecuaciones.
- Cambiar el orden de las incógnitas del sistema.
- Eliminar ecuaciones nulas (0=0).
Ejemplo: Método de reducción de Gauss
- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:
Discusión de sistemas
Después de realizar las transformaciones que se consideren pertinentes, se obtendrá un sistema escalonado. Suponiendo que hubiésemos eliminado, si las hubiera, las filas nulas (0 0 0 ... 0), que corresponden a ecuaciones del tipo 0 = 0, el sistema equivalente tendría ahora k ecuaciones lineales con n incógnitas. Analizando el sistema resultante, podemos efectuar su discusión del siguiente modo:
Sistema incompatible (S.I.)
Si alguna de las ecuaciones es del tipo 0 = b (siendo b distinto de cero), el sistema es incompatible y no tiene solución.
Sistema compatible determinado (S.C.D.)
Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b, y además k = n, es decir, el número de ecuaciones del sistema equivalente es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado (S.C.I.)
Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b y k < n, es decir, el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas principales de las no principales. Pero, ¿cuáles son las incógnitas principales? Se puede dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene k ecuaciones, las k primeras incógnitas serán las principales y las n - k restantes serán las no principales que pasaremos al segundo miembro como parámetros.
Actividades Interactivas: Método de Gauss
1. Discusión y resolución de sistemas por el método de Gauss.
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