Algunos límites importantes (1ºBach)
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::* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> existe y su valor es: | ::* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> existe y su valor es: | ||
- | <center><math>lim \ S_n = S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}</math></center> | + | <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}</math></center> |
::*Si <math>r\ge 1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> es <math>+\infty \;</math> o <math>-\infty</math>: | ::*Si <math>r\ge 1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> es <math>+\infty \;</math> o <math>-\infty</math>: | ||
- | <center><math>lim \ S_n = S_{\infty}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> | + | <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> |
::*Si <math>r\le -1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe. | ::*Si <math>r\le -1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe. | ||
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y por tanto | y por tanto | ||
- | <center><math>lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math></center> | + | <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math></center> |
*Si <math>r>1\;</math>, entonces | *Si <math>r>1\;</math>, entonces | ||
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y por tanto | y por tanto | ||
- | <center><math>lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> | + | <center><math>S_{\infty}= lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> |
*Si <math>r<-1\;</math>, entonces <math>a_1 r^n\;</math> va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión <math>S_n\;</math> también va a oscilar en signo y no tiene límite. | *Si <math>r<-1\;</math>, entonces <math>a_1 r^n\;</math> va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión <math>S_n\;</math> también va a oscilar en signo y no tiene límite. | ||
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y la sucesión <math>S_n \;</math> sería: | y la sucesión <math>S_n \;</math> sería: | ||
- | <center><math>a_1,\ -a_1,\ a_1,\ -a_1,\ \cdots</math></center> | + | <center><math>a_1,\ 0,\ a_1,\ 0,\ \cdots</math></center> |
que oscila y no tiene límite. | que oscila y no tiene límite. | ||
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y tendríamos que <math>S_n = a_1 n \;</math>, cuyo límite es: | y tendríamos que <math>S_n = a_1 n \;</math>, cuyo límite es: | ||
- | <center><math>lim \ S_n = S_n = lim \ a_1 n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> | + | <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = S_n = lim \ a_1 n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> |
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Suma de los términos de una progresión geométrica
Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica
Sea una progresión geométrica de razón
y sea
la suma de sus n primeros términos
- Si
, entonces el límite de
existe y su valor es:
- Si
![S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}](/wikipedia/images/math/f/9/6/f96ed5ab38b57600157ee68c63eeb750.png)
- Si
, entonces el límite de
es
o
:
- Si
![S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}](/wikipedia/images/math/5/8/2/58269f24014e4b2e642353c094622e50.png)
- Si
, entonces el límite de
no existe.
- Si
- Si
, entonces
![lim \ r^n = 0 \;](/wikipedia/images/math/5/1/1/511c6abc0886e21ec147cc731d6e62f7.png)
![lim \ a_1 r^n = 0](/wikipedia/images/math/6/9/d/69dfa9ef30071aa7ae0374c18748330b.png)
(Por ejemplo, si a1 = 3 y r = 0.5, al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.)
y por tanto
![S_{\infty}=lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}](/wikipedia/images/math/a/c/8/ac8f6e5a41a74a98c81d276beb13f2a9.png)
- Si
, entonces
![lim \ r^n \; = +\infty](/wikipedia/images/math/2/6/4/2645b1b00e96bb31f59215754623ac5b.png)
![lim \ a_1 r^n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}](/wikipedia/images/math/7/5/f/75f95f843588badacf58c5f0e282cb94.png)
(Por ejemplo, si a1 = 3 y r = 5, al multiplicar sucesivas veces 3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a . Mientras que si a1 = − 3 y r = 5, al multiplicar sucesivas veces -3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a
)
y por tanto
![S_{\infty}= lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}](/wikipedia/images/math/1/4/1/14189b625a90cea3bb1bf09a4d893c49.png)
- Si
, entonces
va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión
también va a oscilar en signo y no tiene límite.
- Si
, el caso es muy sencillo, porque la progresión quedaría:
![a_1,\ -a_1,\ a_1,\ -a_1,\ \cdots](/wikipedia/images/math/0/6/c/06c2702192d9fc6e871cd24ff6aad943.png)
y la sucesión sería:
![a_1,\ 0,\ a_1,\ 0,\ \cdots](/wikipedia/images/math/8/2/2/8223f04ecad68748ef50b94b2fe706bf.png)
que oscila y no tiene límite.
- Si
, la progresión quedaría constante:
![a_1,\ a_1,\ a_1,\ a_1,\ \cdots](/wikipedia/images/math/f/2/8/f28029c04b3a68d068abb63466661ea0.png)
y tendríamos que , cuyo límite es:
![S_{\infty}=lim \ S_n = S_n = lim \ a_1 n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}](/wikipedia/images/math/f/3/c/f3cca30c64d2e8a28847ce34a44a1f74.png)
El número e
El número áureo, ![\phi \;](/wikipedia/images/math/9/a/f/9affcab55e4aa002efc90e45fe664b99.png)
La sucesión de Fibonacci y el número áureo
Si a partir de la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...), construimos, por recurrencia, la sucesión , se cumple que:
![lim \ b_n=lim \ \cfrac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618 \cdots](/wikipedia/images/math/e/b/1/eb1cecb7a3f1d436ae393e81d219af34.png)
Lo siguiente no es una demostración, sino una comprobación:
En efecto, si en la sucesión de Fibonacci
![1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots](/wikipedia/images/math/2/6/3/2637272e9b89a451884bf0203999b2d7.png)
dividimos cada término entre el anterior, tenemos:
![\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots](/wikipedia/images/math/4/2/f/42f48e88df031560abc1a5992e2c1313.png)
que expresada con decimales nos da:
![1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi](/wikipedia/images/math/3/b/1/3b17212b81f45d9802f2e4793938cf92.png)
Video: La divina proporción. El número Phi. (6´)
Documental sobre la historia del número áureo, Phi
![(\phi)\;](/wikipedia/images/math/5/3/c/53c0b48cd85edb179c40de50ae363998.png)
Web: [Phi, el número de oro Phi, el número de oro]
A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.