Algunos límites importantes (1ºBach)

• Si , entonces

y también .

(Por ejemplo, si a₁ = 3 y r = 0.5, al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.)

y por tanto

• Si , entonces

  y  

(Por ejemplo, si a₁ = 3 y r = 5, al multiplicar sucesivas veces 3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a . Mientras que si a₁ = − 3 y r = 5, al multiplicar sucesivas veces -3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a )

y por tanto

• Si , entonces va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión también va a oscilar en signo y no tiene límite.

• Si , el caso es muy sencillo, porque la progresión quedaría:

y la sucesión sería:

que oscila y no tiene límite.

• Si , la progresión quedaría constante:

, .

y tendríamos que , cuyo límite es:

Lo siguiente no es una demostración, sino una comprobación:

En efecto, si en la sucesión de Fibonacci

dividimos cada término entre el anterior, tenemos:

que expresada con decimales nos da: