Factorización de polinomios (1ºBach)
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| :(Observa que primero hemos sacado factor común <math>x\;</math> y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior). | :(Observa que primero hemos sacado factor común <math>x\;</math> y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior). | ||
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| - | {{p}} | ||
| - | ===División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini=== | ||
| - | <div style="background: white; border: 2px solid Goldenrod;border: 2px solid Goldenrod;border-left: 4px solid Goldenrod;border-bottom: 4px solid Goldenrod; padding:.75em;"> | ||
| - | [[Image:Teorema.PNG|44px|left|ejercicio]] | ||
| - | <font color="SaddleBrown">'''Regla de Ruffini'''</font> | ||
| - | ---- | ||
| - | La '''Regla de Ruffini''' nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma <math>(x-r)\;</math>, siendo <math>r\;</math> un número entero. | ||
| - | |||
| - | Debemos esta regla al matemático italiano [[Ruffini|Paolo Ruffini]], | ||
| - | <div class="NavFrame" style="background: white; border: 0px solid #aaaaaa; padding:3px; margin-bottom:0em; margin-left:0em;"> | ||
| - | <div class="NavHead rad" align="right" style="background: WhiteSmoke;">''Demostración:''</div><div class="NavContent" align="left"> | ||
| - | ---- | ||
| - | Vamos a dividir el polinomio | ||
| - | |||
| - | <center><math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math></center> | ||
| - | |||
| - | entre el binomio | ||
| - | |||
| - | <center><math>Q(x)=x-r\,\!</math></center> | ||
| - | |||
| - | para obtener el cociente | ||
| - | |||
| - | <center><math>C(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0</math></center> | ||
| - | |||
| - | y el resto <math>s\;</math>. | ||
| - | |||
| - | 1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de ''P''(''x'') y los escribimos ordenados. Entonces escribimos ''r'' en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea: | ||
| - | |||
| - | | a<sub>n</sub> a<sub>n-1</sub> ... a<sub>1</sub> a<sub>0</sub> | ||
| - | | | ||
| - | r | | ||
| - | ----|--------------------------------------------------------- | ||
| - | | | ||
| - | | | ||
| - | 2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda (''a''<sub>''n''</sub>) abajo, justo debajo de la línea para obtener el primero de los coeficientes ''b'': | ||
| - | |||
| - | | a<sub>n</sub> a<sub>n-1</sub> ... a<sub>1</sub> a<sub>0</sub> | ||
| - | | | ||
| - | r | | ||
| - | ----|--------------------------------------------------------- | ||
| - | | a<sub>n</sub> | ||
| - | | | ||
| - | | = b<sub>n-1</sub> | ||
| - | | | ||
| - | 3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por ''r'' y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha: | ||
| - | | a<sub>n</sub> a<sub>n-1</sub> ... a<sub>1</sub> a<sub>0</sub> | ||
| - | | | ||
| - | r | b<sub>n-1</sub>r | ||
| - | ----|--------------------------------------------------------- | ||
| - | | a<sub>n</sub> | ||
| - | | | ||
| - | | = b<sub>n-1</sub> | ||
| - | | | ||
| - | 4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna: | ||
| - | | a<sub>n</sub> a<sub>n-1</sub> ... a<sub>1</sub> a<sub>0</sub> | ||
| - | | | ||
| - | r | b<sub>n-1</sub>r | ||
| - | ----|--------------------------------------------------------- | ||
| - | | a<sub>n</sub> a<sub>n-1</sub>+(b<sub>n-1</sub>r) | ||
| - | | | ||
| - | | = b<sub>n-1</sub> = b<sub>n-2</sub> | ||
| - | | | ||
| - | 5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números: | ||
| - | | a<sub>n</sub> a<sub>n-1</sub> ... a<sub>1</sub> a<sub>0</sub> | ||
| - | | | ||
| - | r | b<sub>n-1</sub>r ... b<sub>1</sub>r b<sub>0</sub>r | ||
| - | ----|--------------------------------------------------------- | ||
| - | | a<sub>n</sub> a<sub>n-1</sub>+(b<sub>n-1</sub>r) ... a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>r a<sub>0</sub>+b<sub>0</sub>r | ||
| - | | | ||
| - | | = b<sub>n-1</sub> = b<sub>n-2</sub> ... = b<sub>0</sub> = s | ||
| - | | | ||
| - | |||
| - | Los valores ''b'' son los coeficientes del polinomio resultante <math>C(x)\;</math>, el grado será menor que el grado de <math>P(x)\;</math>. El resto será <math>s\;</math>. | ||
| - | |||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | |||
| - | <div style="background: white; padding:.75em; border:2px solid MediumBlue;border-left:4px solid MediumBlue;border-bottom:4px solid MediumBlue;"> | ||
| - | [[Image:ejemplo_blue.png|44px|left|ejercicio]] | ||
| - | <font color="MediumBlue">'''Ejemplo: Regla de Ruffini'''</font> | ||
| - | ---- | ||
| - | Divide los polinomios usando la regla de [[Ruffini]]: | ||
| - | ::<math> P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\! </math> | ||
| - | ::<math> Q(x)=x-2\,\! </math> | ||
| - | |||
| - | <div class="NavFrame" style="background: white; border: 0px solid #aaaaaa; padding:3px; margin-bottom:0em; margin-left:0em;"> | ||
| - | <div class="NavHead rad" align="right" style="background: WhiteSmoke;">''Solución:''</div><div class="NavContent" align="left"> | ||
| - | ---- | ||
| - | ::{| | ||
| - | | | ||
| - | {| | ||
| - | |- style="height:50px" | ||
| - | | | ||
| - | |align="center" style="width:25px; border-left:1px solid black"|7 | ||
| - | |align="center" style="width:25px"| -5 | ||
| - | |align="center" style="width:25px"| -4 | ||
| - | |align="center" style="width:25px"|6 | ||
| - | |align="center" style="width:25px"| -1 | ||
| - | |- | ||
| - | |align="center" style="border-bottom:1px solid black"|2 | ||
| - | |align="center" style="border-left:1px solid black; border-bottom:1px solid black"| | ||
| - | |align="center" style="border-bottom:1px solid black"|14 | ||
| - | |align="center" style="border-bottom:1px solid black"|18 | ||
| - | |align="center" style="border-bottom:1px solid black"|28 | ||
| - | |align="center" style="border-bottom:1px solid black"|68 | ||
| - | |- | ||
| - | | | ||
| - | |align="center" style="border-left:1px solid black"|7 | ||
| - | |align="center"|9 | ||
| - | |align="center"|14 | ||
| - | |align="center"|34 | ||
| - | |align="center" style="border-left:1px solid black; border-bottom:1px solid black"|67 | ||
| - | |} | ||
| - | |style="width:80px"| | ||
| - | |'''Operaciones:''' | ||
| - | * <math>2 \cdot 7=14\,\!</math> | ||
| - | |||
| - | * <math>-5+14=9\,\!</math> | ||
| - | |||
| - | * <math>2 \cdot 9 =18\,\!</math> | ||
| - | |||
| - | * <math>-4+18=14\,\!</math> | ||
| - | |||
| - | * <math>2\cdot 14=28\,\!</math> | ||
| - | |||
| - | * <math>6+28=34\,\!</math> | ||
| - | |||
| - | * <math>2 \cdot 34=68\,\!</math> | ||
| - | |||
| - | * <math>-1+68=67\,\!</math> | ||
| - | |} | ||
| - | |||
| - | El resultado significa que el cociente de la división <math>C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!</math> y el resto es <math>67\,\!</math> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | {{p}} | ||
| - | |||
| ===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2=== | ===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2=== | ||
| - | *Siempre que se pueda, sacaremos <math>x\;</math> '''factor común'''. | + | *Siempre que se pueda, sacaremos x '''factor común'''. |
| - | *Mediante la '''regla de [[Ruffini]]''' buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz <math>x=a\;</math> de un polinomio <math>P(x)\;</math>, tendremos que <math>P(x)=(x-a)Q(x)\;</math>, donde <math>Q(x)\;</math> tiene un grado menos que <math>P(x)\;</math>. | + | *Mediante la '''[[Cociente de Polinomios. Regla de Ruffini (4ºESO-B)#División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini|regla de Ruffini]]''' buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz <math>x=a\;</math> de un polinomio <math>P(x)\;</math>, tendremos que <math>P(x)=(x-a)Q(x)\;</math>, donde <math>Q(x)\;</math> tiene un grado menos que <math>P(x)\;</math>. |
| *Si es un '''polinomio bicuadrado''', ax^4+bx^2+c\;, podremos hallarle las raices resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero. | *Si es un '''polinomio bicuadrado''', ax^4+bx^2+c\;, podremos hallarle las raices resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero. | ||
| *Si un polinomio de grado mayor que 2 no puede factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con lo sconocimientos que tenemos. | *Si un polinomio de grado mayor que 2 no puede factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con lo sconocimientos que tenemos. | ||
| [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]] | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]] | ||
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Divisibilidad de polinomios
Polinomios múltiplos y divisores
La divisibilidad en el conjunto de los polinomios es muy similar a la .
Un polinomio 
es divisor de otro, 
y lo representaremos por 
, si la división 
es exacta. Es decir, cuando
|
|
En tal caso, diremos que es divisible por 
. También diremos que es un múltiplo de .
Ejemplos:
La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.
Polinomios irreducibles
Un polinomio es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior es divisor suyo.
Ejemplos:
Son polinomios irreducibles, entre otros:
- Los de primer grado:
- Los de segundo grado sin raíces:
Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.
Factorización de polinomios de grado 2
Factorización de polinomios de segundo grado
Un polinomio de segundo grado, 
, con raíces rales, 
y 
, se puede factorizar de la forma
Demostración:
Ejemplos:
- El polinomio
tiene dos raíces: 
, que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado 
. Entonces:
- El polinomio incompleto de grado 3,
, se puede descomponer de la siguiente manera:
- (Observa que primero hemos sacado factor común
y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).
Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2
- Siempre que se pueda, sacaremos x factor común.
- Mediante la regla de Ruffini buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz
de un polinomio 
, tendremos que 
, donde 
tiene un grado menos que .
- Si es un polinomio bicuadrado, ax^4+bx^2+c\;, podremos hallarle las raices resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.
- Si un polinomio de grado mayor que 2 no puede factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con lo sconocimientos que tenemos.
