Factorización de polinomios (1ºBach)
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Tabla de contenidos |
Divisibilidad de polinomios
Polinomios múltiplos y divisores
La divisibilidad en el conjunto de los polinomios es muy similar a la .
Un polinomio 
es divisor de otro, 
y lo representaremos por 
, si la división 
es exacta. Es decir, cuando
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|
En tal caso, diremos que es divisible por 
. También diremos que es un múltiplo de .
La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.
Polinomios irreducibles
Un polinomio es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior es divisor suyo.
Son polinomios irreducibles, entre otros:
- Los de primer grado:
- Los de segundo grado sin raíces:
Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.
Factorización de polinomios de grado 2
Factorización de polinomios de segundo grado
Un polinomio de segundo grado, 
, con raíces rales, 
y 
, se puede factorizar de la forma
Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles
Factoriza los siguientes polinomios
- a)
- b)
- a)
- El polinomio tiene dos raíces:
, que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado 
. Entonces:
- El polinomio incompleto de grado 3, , se puede descomponer de la siguiente manera:
- (Observa que primero hemos sacado factor común
y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).
Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2
- Siempre que se pueda, sacaremos factor común.
- Mediante la regla de Ruffini buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz
de un polinomio 
, tendremos que 
, donde 
tiene un grado menos que . (Ver raíces de un polinomio).
Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.
En algunos casos, como en el de los polinomios bicuadrados, que son polinomios de la forma 
, si podremos hallarle las raices, resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.
Ejemplos: Factorización de polinomios bicuadrados
Factoriza el siguiente polinomio: 
Resolvemos la ecuación bicuadrada: 
Soluciones: 
Entonces, la factorización del polinomio es la siguiente:
Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini
Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces los divisores del término independiente, hasta que nos quede un polinomio de segundo grado. Cuando estemos en este punto, aplicaremos la fórmula de la ecuación de segundo grado y obtendremos las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más.
Ejemplo: Factorización de polinomios
Factoriza el siguiente polinomio:
Primero sacamos factor común 
:
Ahora aplicamos Ruffini. Los divisores de 
son 
Empezaremos probando con el 1:
| 1 -1 -39 109 -70
|
1| 1 0 -39 70
--|-------------------
| 1 0 -39 70 |0
|____
Como el resto es cero, hemos encontrado una de las raíces, 
y uno de los factores 
.
Seguimos aplicando Ruffini. Probamos con 1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz:
| 1 0 -39 70
|
1| 1 1 38
--|-----------------
| 1 1 38 |108
|____
El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:
| 1 0 -39 70
|
-1| -1 1 38
--|-----------------
| 1 -1 -38 |108
|____
El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:
| 1 0 -39 70
|
2| 2 4 -70
--|---------------
| 1 2 -35 |0
|____
Ya hemos encontrado otra raíz, 
, y el factor correspondiente, 
.
El polinomio quedará de la siguiente forma:
Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula de la ecuación de 2º grado:
Así, sus raíces son 5 y -7 y sus factores (x-5) y (x+7).
De esta manera:
