Factorización de polinomios (4ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

Teorema del resto

ejercicio

Teorema del Resto

El valor que toma un polinomio, P(x)\;, cuando hacemos x=a\;, coincide con el resto de la división de P(x)\; entre (x-a)\;. Es decir, P(a)\,= r\,, donde r\, es el resto de dicha división.

Demostración:

Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que:

P(x)=Q(x)C(x) + R(x)\,,

donde P(x)\, es el dividendo, Q(x)\, el divisor, C(x)\, el cociente y R(x)\, el resto y verificándose además, que el grado de R(x)\, es menor que el grado de Q(x)\,.

En efecto, si tomamos el divisor Qx) = x-a\,, entonces R(x)\, tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar r\;, y la fórmula anterior se convierte en:

P(x)=(x-a)c(x) + r\,.

Tomando el valor x=a \!\, se obtiene que:

\frac{}{}P(a)=r

ejercicio

Ejemplo: Teorema del Resto

Calcula el resto de dividir el polinomio x^3 - 3x^2 - 7\; entre (x-2)\;

Solución:

Primer método:

Bastará calcular P(2)=2^3-3 \cdot 2^2-7=-11

Así el resto será r=P(2)=-11\;

Segundo método:

Usando la regla de Ruffini: 

   | 1  -3   0   -7
   |                   
  2|     2  -2   -4
 --|----------------
   | 1  -1  -2  |-11
                |____
Así, el resto de la división es -11, y por el teorema del resto, P(2) = -11.

video
Teorema del resto
Tutorial 1 (4´11")     Sinopsis:

Teorema del resto. Ejemplos.

Tutorial 2 (7´51")     Sinopsis:

Si P(x) es un polinomio de grado no inferior a 1, el resto de la división P(x)/(x-a) es el número P(a) que se obtiene al sustituir "x" por "a" en P(x). La división P(x)/(x-a) es "exacta" si P(a) = 0; y en tal caso se dice que "a" es un "cero" o "raíz" del polinomio P(x), o una solución de la ecuación P(x) = 0.

Tutorial 3 (más general) (12´46")     Sinopsis:
  • Teorema del resto para la división de un polinomio entre un binomio del tipo (ax+b).
  • Como ejemplo, también resolveremos los siguientes ejercicios:
1) Halla el resto de dividir el polinomio 2x^4-5x^3+3x-6\; entre el binomio (x-2)\;.
2) Halla el resto de dividir el polinomio 9x^3+3x^2+3x+1\; entre el binomio (3x+1)\;.
Ejercicio 1 (3'33")     Sinopsis:

Halla el resto de la división del polinomio x^3-2x^2+9\; entre (x+2)\;.

Ejercicio 2 (7'08")     Sinopsis:

Halla el valor de k\; para que la división del polinomio 5x^4-x^2+kx-4\; entre (x+2)\; sea exacta.

Ejercicio 3 (10´49")     Sinopsis:

1) Halla el resto de la división del polinomio x^3+x^2+x-1\; entre (x-2)\;, (x+2)\;, (x-0)\; y (3-x)\;.

2) Determina el valor de k para que el polinomio Q(x)=kx^3+(2k-1)x^2+x-k\; sea divisible por (x-2)\;.

3) Sea T(x)=4x^3-2kx^2+k^2 x-k\;. Halla el valor de k para que el resto de la división de T(x)\; entre (x-1)\; sea igual a 2.

Ejercicio 4 (18´08)     Sinopsis:

a) Halla el resto de la división de 5x^4-7x+6\; entre x+1\;.

b) y c) Otros dos ejercicios de nivel superior.

Autoevaluación: Teorema del resto     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el teorema del resto.

Raíces de un polinomio

Un número a\, es una raíz de un polinomio P(x)\, si P(a)\, = 0\,. Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P(x)\,= 0\,.

ejercicio

Corolario al Teorema del Resto

Si x=a\; es una raíz de un polinomio P(x)\;, entonces (x-a)\; es un factor de dicho polinomio.

Demostración:
Es una consecuencia directa del teorema del resto. En efecto, si x=a\; es una raíz de P(x)\;, entonces P(a)=0\; y, por el teorema del resto, el resto de dividir P(x)\; entre (x-a)\; es cero. Así (x-a)\; es un factor de P(x)\;.

Raíces enteras de un polinomio

Tenemos un polinomio P(x)\,\! con raíces entera y queremos encontrarlas. Para hacerlo tenemos que ir probando a dividirlo por (x-a)\,\!, pero ¿qué valor puede tomar a\,\!? El siguiente resultado nos da la respuesta:

ejercicio

Teorema

Las raíces enteras de un polinomio son divisores de su término independiente.

Demostración:

En efecto, sea x=a\; una raíz entera de un polinomio

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

Entonces, como P(a)=0\;, tendremos que

P(a)=a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}+\cdots+a_1a+a_0=0

de donde, despejando el termino independiente

-a_0=a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}+\cdots+a_1a
Como el miembro de la derecha contiene al factor a\; en todos sus sumandos, es un múltiplo de a\;, entonces a_0\; también. Luego a\; divide al término independiente.

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

Factorización de polinomios de grado 2

ejercicio

Factorización de polinomios de segundo grado

Un polinomio de segundo grado, kx^2+mx+n\;, con raíces rales, a\; y b\;, se puede factorizar de la forma

k(x-a)(x-b)\;

Demostración:

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles

Factoriza los siguientes polinomios

a) 5x^2+5x-60\;
b) 5x^3+5x^2-60x\;
Solución:
  • El polinomio 5x^2+5x-60\; tiene dos raíces: x_1=3,\ x_2=-4, que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado 5x^2+5x-60=0\;. Entonces:

5x^2+5x-60=5(x-3)(x+4)\;

  • El polinomio incompleto de grado 3, 5x^3+5x^2-60x\;, se puede descomponer de la siguiente manera:

5x^3+5x^2-60x=x(5x^2+5x-60)=5x(x-3)(x+4)\;

(Observa que primero hemos sacado factor común x\; y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

  • Siempre que se pueda, sacaremos x\; factor común.
  • Mediante la regla de Ruffini buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz x=a\; de un polinomio P(x)\;, tendremos que P(x)=(x-a)Q(x)\;, donde Q(x)\; tiene un grado menos que P(x)\;.

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces los divisores del término independiente, hasta que nos quede un polinomio de segundo grado. Cuando estemos en este punto, aplicaremos la fórmula de la ecuación de segundo grado y obtendremos las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más.

ejercicio

Ejemplo: Factorización de polinomios

Factoriza el siguiente polinomio:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!
Solución:

Primero sacamos factor común 3x^2\,\!:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 = 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)\,\!

Ahora aplicamos Ruffini. Los divisores de 70\,\! son 1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 5,\ -5,\ \mbox{etc.}\,\!

Empezaremos probando con el 1: 

   | 1  -1  -39  109  -70
   |                   
  1|     1    0  -39   70
 --|----------------------
   | 1   0  -39   70  |0
                      |____

Como el resto es cero, hemos encontrado una de las raíces, x=1\; y uno de los factores (x-1)\;.

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!
= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70=\,\!
= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!

Seguimos aplicando Ruffini. Probamos con 1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz: 

   | 1   0  -39   70
   |                   
  1|     1    1   38
 --|-----------------
   | 1   1   38 |108
                |____

El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1: 

   | 1   0  -39   70
   |                   
 -1|    -1    1   38
 --|-----------------
   | 1  -1  -38 |108
                |____

El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2: 

   | 1  0  -39   70
   |                   
  2|    2    4  -70
 --|----------------
   | 1  2  -35   |0
                 |____

Ya hemos encontrado otra raíz, x=2\;, y el factor correspondiente, (x-2)\;.

El polinomio quedará de la siguiente forma:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!
= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70=\,\!
= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!
= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!

Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula de la ecuación de 2º grado:

x^2+2x-35=0 \rightarrow x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 -4 \cdot (-35)}}{2}=\frac{-2 \pm 12}{2}=\begin{cases} x_1=-7 \\ x_2=5 \end{cases}

Así, sus raíces son 5 y -7 y sus factores (x-5) y (x+7).

De esta manera:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!
= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70=\,\!
= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!
= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!
= 3x^2(x-1)(x-2)(x-5)(x+7)\,\!
Con lo que queda descompuesto el polinomio.
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Factorizaci%C3%B3n_de_polinomios_%284%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"
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