Composición de funciones (1ºBach)

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Función compuesta

La función compuesta es una función formada por la aplicación sucesiva de otras dos funciones. Formalmente:

Dadas dos funciones $f: X \rightarrow Y$ y $g: Y \rightarrow Z$ , donde la imagen de $f\;$ está contenida en el dominio de definición de $g\;$ , se define la función compuesta como:

$\begin{matrix} g \circ f : X & \rightarrow & Z \qquad \\ \qquad \quad x & \rightarrow & g(f(x)) \end{matrix}$

Se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

$\begin{matrix} X & \to & \,\,Y\;\; & \to & Z \\ x & \to & f(x) & \to & g(f(x)) \end{matrix}$

A $g \circ f$ se le llama composición de f y g o f compuesta con g. Nótese que se nombra, no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

g o f, es el resultado de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g o f)(a)=@.

Ejemplo: Composición de funciones

Dadas las funciones

$f(x) = x^2 \,$

$g(x) = sen(x) \,$

a) Halla la función $g\;$ compuesta con $f\;$ .

b) Halla la función $f\;$ compuesta con $g\;$ .

Solución:

a) La función $g\;$ compuesta con $f\;$ es:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(sen(x)) = (sen(x))^2=sen^2 (x) \,$

b) La función $f\;$ compuesta con $g\;$ es:

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = sen(x^2) \,$

Obsérvese que las funciones obtenidas en ambos apartados son distintas. El orden en que se efectúe la composición afecta al resultado.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Composici%C3%B3n_de_funciones_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Funciones

 </math></center>
-A <math>g \circ f</math> se le llama '''composición de f y g'''. Nótese que se nombra, no siguiendo el orden de escritura, sino  el orden en que se aplican las funciones a su argumento.
+A <math>g \circ f</math> se le llama '''composición de f y g''' o '''f compuesta con g'''. Nótese que se nombra, no siguiendo el orden de escritura, sino  el orden en que se aplican las funciones a su argumento.
 }}
 |celda2=
 ::: <math> g(x) = sen(x) \,</math>
-:: a) Halla la función compuesta de <math>g\;</math> y <math>f\;</math>.
+:: a) Halla la función <math>g\;</math> compuesta con <math>f\;</math>.
-:: b) Halla la función compuesta de <math>f\;</math> y <math>g\;</math>.
+:: b) Halla la función <math>f\;</math> compuesta con <math>g\;</math>.
 |sol=
-a) La función compuesta de <math>g\;</math> y <math>f\;</math> es:
+a) La función <math>g\;</math> compuesta con <math>f\;</math> es:
 : <math> (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(sen(x)) = (sen(x))^2=sen^2 (x) \,</math>
 ----
-b) La función compuesta de <math>f\;</math> y <math>g\;</math> es:
+b) La función <math>f\;</math> compuesta con <math>g\;</math> es:
 : <math> (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = sen(x^2) \,</math>

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