Composición de funciones (1ºBach)

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Función compuesta

La función compuesta es una función formada por la aplicación sucesiva de otras dos funciones. Formalmente:

Dadas dos funciones $f \colon X \rightarrow Y$ y $g \colon Y \rightarrow Z$ , donde la imagen de $f\;$ está contenida en el dominio de definición de $g\;$ , se define la función compuesta de $f\;$ y $g\;$ como:

$\begin{matrix} g \circ f \colon X & \rightarrow & Z \qquad \\ \qquad \quad x & \rightarrow & g(f(x)) \end{matrix}$

Se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

$\begin{matrix} X & \to & \,\,\,Y\;\; & \to & Z \; \\ x & \to & f(x) & \to & g(f(x)) \end{matrix}$

La expresión $g \circ f$ se lee f compuesta con g. Nótese que se nombra, no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

g o f, es el resultado de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g o f)(a)=@.

Ejemplo: Composición de funciones

Dadas las funciones

$f(x) = x^2 \,$

$g(x) = sen(x) \,$

a) Halla la función $g\;$ compuesta con $f\;$ .

b) Halla la función $f\;$ compuesta con $g\;$ .

Solución:

a) La función $g\;$ compuesta con $f\;$ es:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(sen(x)) = (sen(x))^2=sen^2 (x) \,$

b) La función $f\;$ compuesta con $g\;$ es:

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = sen(x^2) \,$

Obsérvese que las funciones obtenidas en ambos apartados son distintas. El orden en que se efectúe la composición afecta al resultado.

Videos sobre composición de funciones

Composición de funciones (4'54") Sinopsis:

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Video-Ejemplos: Composición de funciones

Ejemplos 1 Ejemplos 2

Cadenas de más de dos eslabones () Sinopsis:

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Utilidad de la composición de funciones () Sinopsis:

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Dominio de una función compuesta () Sinopsis:

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Categorías: Matemáticas | Funciones

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