Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Circunferencia goniométrica
2 Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
3 Signo de las razones trigonométricas
4 Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes

Circunferencia goniométrica

Vamos a establecer un sistema de referencia para el estudio de los ángulos de cualquier cuadrante.

Consideremos una circunferencia de radio 1 centrada en un sistema de referencia cartesiano, es decir, con su centro en el origen de coordenadas O. Sobre ella situaremos nuestro triángulo rectángulo ABC, haciendo coincidir su vértice A con O, el cateto contiguo al ángulo $\alpha \;$ lo situaremos en el eje X positivo y la hipotenusa coincidiendo con el radio, tal y como se muestra en la figura. A esta circunferencia la llamaremos circunferencia goniométrica.

Teniendo en cuenta que $\overline{AB} = \overline{OE}= radio = 1$ y la semejanza de los triángulos ABC y ADE, las razones trigonométricas del águlo $\alpha \;$ se expresan de la siguiente manera:

$sen \, \alpha = \cfrac{\overline{CB}}{\overline{AB}}=\overline{CB}$

$cos \, \alpha = \cfrac{\overline{OC}}{\overline{AB}}=\overline{OC}$

$tg \, \alpha = \cfrac {\overline{CB}}{\overline{OC}}=\cfrac{\overline{DE}}{\overline{OE}}=\overline{DE}$

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Obsérvese como las coordenadas del punto B son $(cos \, \alpha , sen \, \alpha )$ . Y por extensión, podemos dar la siguiente definición del seno y del coseno de un ángulo de cualquier cuadrante:

Dado un ángulo $\alpha \,$ , se define el coseno y el seno de dicho ángulo, como las coordenadas del punto de corte del segundo lado del ángulo con la circunferencia goniométrica:

$B=(cos \, \alpha , sen \, \alpha )$

Nota: Las relaciones fundamentales de la trigonometría, ya estudiadas anteriormente, siguen siendo válidas con esta definición.

Signo de las razones trigonométricas

Según en qué cuadrante estemos, el segmento OC que determina al coseno, puede estar situado a la derecha o a la izquierda del origen O. Así, asignaremos signo positivo al coseno si está a la derecha de O y negativo si está a la izquierda.

Analogamente, el segmento CB que determina al seno, puede estar situado por encima o por debajo del eje X . Asignaremos signo positivo al seno si está por encima y negativo si está por debajo.

Los siguientes gráficos muestran los distintos casos según en qué cuadrante se encuentre el ángulo:

Círculo Goniométrico (12'55") Sinopsis:

Razones trigonométricas de un ángulo. Fórmula fundamental.
Circúlo goniométrico.
Interpretación geométrica de las razones trigonométricas.
Medida en grados y radianes.
Tablas de las razones trigonométricas de los ángulos principales.
Signo de las razones trigonométricas segun el cuadrante del ángulo.

Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes

A continuación las razones trigonométricas de algunos ángulos que es conveniente recordar:

Radianes	Grados	sen	cos	tg	cosec	sec	cot
$0 \;$	$0^o \,$	$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$	$\frac{\sqrt{4}}{2}=1$	$0 \,$	$\not{\exists} (\pm \infty) \,\!$	$1 \,$	$\not{\exists} (\pm \infty) \,\!$
$\frac{\pi}{6}$	$30^o \,$	$\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$2 \,$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$\frac{\pi}{4}$	$45^o \,$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1 \,$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	$1 \,$
$\frac{\pi}{3}$	$60^o \,$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$2 \,$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\pi}{2}$	$90^o \,$	$\frac{\sqrt{4}}{2}=1$	$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$	$\not{\exists} (\pm \infty) \,\!$	$1 \,$	$\not{\exists} (\pm \infty) \,\!$	$0 \,$