Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)
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- | Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al [[teorema de Pitágoras]] cuando el ángulo <math>\hat A</math> es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso. | + | Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al [[teorema de Pitágoras]] cuando el ángulo {{sube|porcentaje=25%|contenido=<math>\hat A</math>}} es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso. |
- | '''Primer caso:<math>\hat A</math> es agudo. [[Imagen:CosenosPorPitagoras1.png|right|230px]] | + | '''Primer caso: {{sube|porcentaje=25%|contenido=<math>\hat A</math>}} es agudo. [[Imagen:CosenosPorPitagoras1.png|right|230px]] |
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+ | Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que | ||
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+ | Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos | ||
+ | <center><math>c^2 = u^2 + a^2 - b^2 + 2bu - u^2\,</math></center> | ||
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+ | es decir: | ||
- | Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que <math>c^2 = h^2 + u^2\,</math> de modo que <math>h^2 = a^2 - (b-u)^2\,</math>. | ||
- | Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos <math>c^2 = u^2 + a^2 - b^2 + 2bu - u^2\,</math>, es decir: | ||
<center><math>c^2 = a^2 - b^2 + 2bu\,</math></center> | <center><math>c^2 = a^2 - b^2 + 2bu\,</math></center> | ||
- | Por la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b-u)/a, por tanto | + | Por la definición de coseno, se tiene <math>cos \hat C = \cfrac{b-u}{a}</math>, por tanto |
- | <center><math> u = b- a \,\cos \hat C\,</math></center> | + | |
- | Sustituimos el valor de u en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos: <math>c^2 = a^2-b^2 +2b</math> (''b-a ''cos(γ)), concluyendo | + | <center><math> u = b-a \,\cos \hat C\,</math></center> |
+ | |||
+ | Sustituimos el valor de <math>u\,</math> en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos: <math>c^2 = a^2-b^2 +2b</math> (''b-a ''cos(γ)), concluyendo | ||
<center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C</math></center> | <center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C</math></center> | ||
y terminando con esto la prueba del primer caso. | y terminando con esto la prueba del primer caso. | ||
- | '''Segundo caso:<math>\hat A</math> es obtuso. [[Imagen:CosenosPorPitagoras2.png|right|230px]] | + | '''Segundo caso: {{sube|porcentaje=25%|contenido=<math>\hat A</math>}} es obtuso. [[Imagen:CosenosPorPitagoras2.png|right|230px]] |
Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que | Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que |