Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)

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Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al [[teorema de Pitágoras]] cuando el ángulo {{sube|porcentaje=25%|contenido=<math>\hat A</math>}} es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso. Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al [[teorema de Pitágoras]] cuando el ángulo {{sube|porcentaje=25%|contenido=<math>\hat A</math>}} es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso.
-'''Primer caso: {{sube|porcentaje=25%|contenido=<math>\hat A</math>}} es agudo. [[Imagen:CosenosPorPitagoras1.png|right|230px]]+'''Primer caso: {{sube|porcentaje=25%|contenido=<math>\hat A</math>}} es agudo.
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Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que
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<center><math>c^2 = a^2 - b^2 + 2bu\,</math></center> <center><math>c^2 = a^2 - b^2 + 2bu\,</math></center>
-Por la definición de coseno, se tiene <math>cos \hat C = \cfrac{b-u}{a}</math>, por tanto+Por la definición de coseno, se tiene <math>cos \, \hat C = \cfrac{b-u}{a}</math>, por tanto
<center><math> u = b-a \,\cos \hat C\,</math></center> <center><math> u = b-a \,\cos \hat C\,</math></center>
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<center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C</math></center> <center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C</math></center>
y terminando con esto la prueba del primer caso. y terminando con esto la prueba del primer caso.
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- +'''Segundo caso: {{sube|porcentaje=25%|contenido=<math>\hat A</math>}} es obtuso.
-'''Segundo caso: {{sube|porcentaje=25%|contenido=<math>\hat A</math>}} es obtuso. [[Imagen:CosenosPorPitagoras2.png|right|230px]]+{{Tabla75|celda2=[[Imagen:CosenosPorPitagoras2.png|right|230px]]
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Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que
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<center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,</math></center> <center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,</math></center>
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Esto concluye la demostración. Esto concluye la demostración.
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Teorema de los senos

ejercicio

Teorema de los senos

En un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:

\cfrac{a}{sen \, \hat A}=\cfrac{b}{sen \, \hat B}=\cfrac{c}{sen \, \hat C}
Demostración:
El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento \overline{BO} hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro \overline{BP}.

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que \overline{BP} es un diámetro, y además los ángulos \hat A y \hat P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo segmento \overline{BC}. Por la definición de seno, se tiene

sen \, \hat A=sen \, \hat P=\cfrac{\overline{BC}}{\overline{BP}} = \cfrac{a}{2R}

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

\frac{a}{sen \, \hat A} = 2R
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

Teorema del coseno

ejercicio

Teorema del coseno

En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación:

c^2=a^2+b^2-2bc \, cos \, \hat C

Y analogamente:

b^2=a^2+c^2-2ac \, cos \, \hat B

a^2=b^2+c^2-2bc \, cos \, \hat A
Demostración:

Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al teorema de Pitágoras cuando el ángulo \hat A es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso.

Primer caso: \hat A es agudo.

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que
c^2 = h^2 + u^2\,

y también que

h^2 = a^2 - (b-u)^2\,

Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos

c^2 = u^2 + a^2 - b^2 + 2bu - u^2\,

es decir:

c^2 = a^2 - b^2 + 2bu\,

Por la definición de coseno, se tiene cos \, \hat C = \cfrac{b-u}{a}, por tanto

u = b-a \,\cos \hat C\,

Sustituimos el valor de u\, en la expresión para c^2\, y simplificamos: c2 = a2 − b2 + 2b (b-a cos(γ)), concluyendo

c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C

y terminando con esto la prueba del primer caso.

Segundo caso: \hat A es obtuso.

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que
c^2 = h^2 + u^2\;

pero en este caso

h^2 = a^2 - (b+u)^2\,

Combinando ambas ecuaciones obtenemos

c2 = u2 + a2 − b2 − 2bu − u2

y de este modo

c^2 = a^2 -b^2 -2bu\,

De la definición de coseno, se tiene cos \, \hat C = \cfrac{b+u}{a} y por tanto

u = a\, \cos\gamma -b\,

Sustituimos en la expresión para c^2\, y simplificamos c^2 = a^2-b^2 -2b\,(a cos(γ)-b), concluyendo nuevamente

c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,
Esto concluye la demostración.

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