Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)
De Wikipedia
| Revisión de 07:53 2 mar 2009 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Teorema del coseno) ← Ir a diferencia anterior |
Revisión de 08:02 2 mar 2009 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Teorema del coseno) Ir a siguiente diferencia → |
||
| Línea 50: | Línea 50: | ||
| {{Tabla75|celda2=[[Imagen:CosenosPorPitagoras1.png|right|230px]] | {{Tabla75|celda2=[[Imagen:CosenosPorPitagoras1.png|right|230px]] | ||
| |celda1= | |celda1= | ||
| - | Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que | + | Consideremos la figura adjunta. La altura <math>h\,</math> divide al triángulo '''ABC''' en dos triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras aplicado a ambos establece que |
| - | + | {{p}} | |
| - | <center><math>c^2 = h^2 + u^2\,</math></center> | + | <center><math>c^2 = h^2 + u^2\,</math>{{b4}} y {{b4}}<math>h^2 = a^2 - (b-u)^2\,</math></center> |
| - | + | ||
| - | y también que | + | |
| - | + | ||
| - | <center><math>h^2 = a^2 - (b-u)^2\,</math></center> | + | |
| Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos | Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos | ||
| + | |||
| <center><math>c^2 = u^2 + a^2 - b^2 + 2bu - u^2=a^2 - b^2 + 2bu\,</math></center> | <center><math>c^2 = u^2 + a^2 - b^2 + 2bu - u^2=a^2 - b^2 + 2bu\,</math></center> | ||
| Por la definición de coseno, se tiene: | Por la definición de coseno, se tiene: | ||
| - | <center><math> cos \, \hat C = \cfrac{b-u}{a} \rightarrow u = b-a \,\cos \hat C\,</math></center> | + | <center><math> cos \, \hat C = \cfrac{b-u}{a} \quad \rightarrow \quad u = b-a \,\cos \hat C\,</math></center> |
| + | |||
| + | Sustituimos el valor de <math>u\,</math> en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos: | ||
| + | |||
| + | <center><math>c^2 = a^2-b^2 +2b (b-a ''cos \, \hat C</math></center> | ||
| + | |||
| + | concluyendo que | ||
| - | Sustituimos el valor de <math>u\,</math> en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos: <math>c^2 = a^2-b^2 +2b</math> (''b-a ''cos(γ)), concluyendo | ||
| <center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C</math></center> | <center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C</math></center> | ||
| + | |||
| y terminando con esto la prueba del primer caso. | y terminando con esto la prueba del primer caso. | ||
| }} | }} | ||
Revisión de 08:02 2 mar 2009
| Enlaces internos | Para repasar o ampliar | Enlaces externos |
| Indice Descartes Manual Casio | WIRIS Geogebra Calculadoras |
Teorema de los senos
Teorema de los senos
|
En un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:  |  |
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento 
hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro 
.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que es un diámetro, y además los ángulos 
y 
son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo segmento 
. Por la definición de seno, se tiene
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
Teorema del coseno
Teorema del coseno
|
En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación:  Y analogamente:   | |
Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al teorema de Pitágoras cuando el ángulo es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso.
Primer caso: es agudo.
Consideremos la figura adjunta. La altura  divide al triángulo ABC en dos triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras aplicado a ambos establece que
 y  Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos  Por la definición de coseno, se tiene:  Sustituimos el valor de  concluyendo que  y terminando con esto la prueba del primer caso. |  |
en la expresión para 
y simplificamos:
Segundo caso: es obtuso.
Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que
 pero en este caso  Combinando ambas ecuaciones obtenemos c2 = u2 + a2 − b2 − 2bu − u2
y de este modo  De la definición de coseno, se tiene cos \, \hat C = \cfrac{b+u}{a} y por tanto  Sustituimos en la expresión para  |  |
(a cos(γ)-b), concluyendo nuevamente
